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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date选修4-4-第二讲-参数方程(圆锥曲线的参数方程)-教案二 圆锥曲线的参数方程二 圆锥曲线的参数方程教学目的：圆锥曲线的参数方程及其与普通方程的关系，系数a, b的含义；教学重点、难点：圆锥曲线参数方程的推导及应用，参数方程与普通方程的相互转化椭圆的参数方程复习： 1写出圆方程的标准式和对应的参数方程。(1)圆参数方程 （2）圆参数方程 2写出椭圆的标准方程，类比圆的
2、参数方程，能写出椭圆的参数方程吗？问题：以坐标原点O为圆心，分别以a、b(ab0)为半径作两个圆。点A是大圆上任意一点，点B是大圆半径与小圆的交点，过点A作ANx轴于点N，再过点B作BMAN于点M。求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。设以Ox为始边，OA为终边的角为，点M的坐标是(x, y)。那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。由于点A,B均在角的终边上，由三角函数的定义有xON|OA|cosacos，yNM|OB|sinbsin。当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是即 (为参数)。这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。常数a、b分别是椭圆的
3、长半轴长和短半轴长。在椭圆的参数方程中，通常规定参数的范围为。椭圆的参数方程中参数的意义与圆的参数方程(为参数)中参数的意义类似吗？由图可以看出，参数是点M所对应的圆的半径OA（或OB）的旋转角（称为点M的离心角），不是OM的旋转角。参数是半径OM的旋转角。焦点在轴上的椭圆的参数方程：练习：已知椭圆1，点M是椭圆上位于第一象限的弧上一点，且xOM60。(1)求点M的坐标；(2)如何表示椭圆在第一象限的弧？错解：由已知可得a3，b2，600,xacos3cos60，ybsin2sin60。从而，点M的坐标为。正解：设点M的坐标为(x,y)，则由已知可得yx,与1联立，解得x， y。所以点M的坐标
4、为(,)。另解：xOM=60，可设点M的坐标为(|OM|cos60，|OM|sin60)。代入椭圆方程解出|OM|，进而得到点M的坐标(略)。例1 求椭圆的内接矩形的面积及周长的最大值。 解：如图，设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点是A，矩形的面积和周长分别是S、L。，当且仅当时，此时存在。例2 动点M(x,y)在曲线上运动，(1)求2x+3y的最大值和最小值；(2)求M，使M到直线x+2y-10=0的距离最小。并求出最小距离。解：因为椭圆的参数方程为(为参数)，所以可设点M的坐标为。由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为其中满足 由三角函数性质知，当时，取最小值此时，所以，当点M位于时，
5、点M与直线的距离取最小值例3 设点P（x，y）在椭圆，试求点P到直线的距离d的最大值和最小值。解：点P（x，y）在椭圆上，设点P（）（是参数且），则。当时，距离d有最小值0，此时椭圆与直线相切；当时，距离d有最大值2。例4 取一切实数时，连接A(4sin,6cos)和B(-4cos, 6sin)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段例5 已知点A在椭圆上运动，点B（0，9）、点M在线段AB上，且，试求动点M的轨迹方程。解：由题意知B（0，9），设A（），并且设M（x，y）。则 ，动点M的轨迹的参数方程是（是参数），消去参数得。例6 椭圆与x轴的正向相交于点A，
6、O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OPAP。求该椭圆的离心率e的取值范围。解：设椭圆上的点P的坐标是（）（0且），A（a，0）。 则。而OPAP，于是，整理得解得（舍去），或。因为，所以。可转化为，解得，于是。故离心率e的取值范围是。例7 四边形ABCD内接于椭圆1，其中点A(3,0)，C(0,4)，B、D分别位于椭圆第一象限与第三象限的弧上。求四边形ABCD面积的最大值。双曲线的参数方程 与研究椭圆参数方程的方法类似，我们来研究双曲线的参数方程。如图, 以原点O为圆心, a, b(a0, b0)为半径分别作同心圆C1、C2。设A为圆C1上任一点, 作直线OA, 过A作圆C1的切线AA与
7、x轴交于点A, 过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB与直线OA交于点B。过点A,B分别作y轴, x轴的平行线AM, BM交于点M,设OA与OX所成的角为(0, 2)且/2，3/2), 求点M的轨迹方程, 并说出点M的轨迹。设为始边，为终边的角为，点M的坐标是那么点的坐标为，点的坐标为因为点A在圆上，由圆的参数方程得点A的坐标为（），所以，因为，所以，从而，解得记，（是正割函数，它表示余弦函数的倒数，现在只是为推导参数方程才引入，所以不要求引入，仅供同学们学习了解使用）则因为点在角的终边上，由三角函数的定义有，即所以，点M的轨迹的参数方程为（为参数）（2）因为，即，所以，从（2）方程中消去参
8、数后得到点M的轨迹的普通方程（1）这是中心在原点，焦点在轴上的双曲线所以（2）就是双曲线（1）的参数方程此时的参数的范围为，且由图可知，参数是点M所对应的圆的半径OA的旋转角（称为点M的离心角），而不是OM的旋转角.与椭圆类似，双曲线上任意一点的坐标可以设为，这是解决与双曲线有关的问题的重要方法. 例1.求点M0(0, 2)到双曲线x2y2=1的最小距离。例2 如图示，设为双曲线上(a,b0)任意一点，为原点过点作双曲线两渐近线的平行线，分别于两渐近线交于两点。探求平行四边形的面积，由此可以发现什么结论？解：双曲线的渐近线方程为，不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（，），则直线MA的方程为
9、（1），将代入（1），解得点A的横坐标为，同理可得，点B的横坐标为设，则，所以，平行四边形MAOB的面积为 由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关经验：平行四边形的面积公式为：，由此可知，只要求得或表示出|OA|，|OB|的长度和的正弦值即可直接求出点A，B的坐标不容易，所以采用双曲线的参数方程，但注意正割函数的引入要做解释，特别是掌握渐近线的斜率为，与渐近线平行的直线的斜率是，写出直线方程，求得点A，B坐标 例3 求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角分析：（1）实轴和虚轴等长的双曲线，叫等轴双曲线，所以等轴双曲线的渐近线，方程为，两渐近线的夹
10、角为直角（2）此题求证：证明：设双曲线方程为，取顶点A2（），弦Ox，则弦AB对张直角，同理对也张直角经验：掌握等轴双曲线的定义和等轴双曲线方程的设法根据题义要能化出较标准的图象证明是直角，实际是证明所在直线的斜率积为-1例4 已知双曲线，A，B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P，求证：分析：证明题是学生学习较困难的部分，而不等式是更困难的部分，所以在证明前学会分析条件和结论之间的联系是解题的关键解：设A，B坐标分别为，则中点为M，于是线段AB中垂线方程为将代入上式，（A，B相异），经验：中垂线的特点是直线过AB中点且与线段AB垂直关键点是，由此得出结论抛物线的参数方
11、程前面曾经得到以时刻t为参数的抛物线的参数方程：对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？以抛物线的普通方程为例，其中p为焦点到准线的距离。 设M(x, y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作。显然，当在内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应，因此，可以取为参数来探求抛物线的参数方程因为点M在的终边上，根据三角函数定义可得，由方程，联立，得到 (为参数)，这是抛物线(不包括顶点)的参数方程如果令，则有（t为参数）当t=0时，由参数方程（t为参数）表示的点正好就是抛物线的顶点(0，0)，因此，当时，参数方程（t为参数）就表示整条抛物线参数
12、t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数说明：1、抛物线的参数方程因参数选择的不同会有不同的形式，要注意所选参数的几何意义(例如：抛物线的参数方程为时(为参数)，这是不包括顶点的抛物线的参数方程，是X轴正半轴到OM（M为抛物线上的点）所成的角抛物线的参数方程为时(t为参数)，参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数)2、抛物线参数方程要注意和普通方程的等价性，要注意抛物线的完整性例1 如图，O为原点，A,B为抛物线异于顶点的两动点，且OAOB，OMAB于M，求点M的轨迹方程又当点A,B在什么位置时，AOB面积最小？最小值是多少？分析：注意直线垂直时的条件，斜率积
13、为-1或向量的数量积为0，引出参数间的关系注意挖掘三点共线的条件：解：根据条件，设点M，A，B的坐标分别为，（）（，且），则，因为，所以，即 ，所以 因为，所以，即所以，即 因为，且A，M，B三点共线，所以，化简，得将和代入得到，即，这就是点M的轨迹方程（2） 经验：此题的重点是向量垂直，向量的数量积为0由此找到参数之间的关系三点共线得到，消去参数得到点M的轨迹方程此出用关系式得到方程，采用的方法是整体消元，方法不多见，但不可忽视，目的告诉学生在解题过程中注意分析规律，注意观察综合应用例2 过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）条A 0 B 1 C 2 D 3 分析：如图，当只有一个公共点
14、时，直线与抛物线相切或与对称轴平行，所以直线有两条，答案选C经验：抛物线的普通方程为，顶点在原点，开口向右；且点M在抛物线上判断椭圆和双曲线与直线交点个数时，一般联立方程，方程组有两解时，有两个交点；有惟一解时，有一个交点；无解时，没有交点但抛物线例外，因为直线与对称轴平行时，直线与抛物线有一个交点所以，判断抛物线与直线的交点个数时，把直线方程与抛物线方程联立，方程组两解时有两个交点；有一解时，如直线所过的点在抛物线内，则一条直线；若点在抛物线上，则两条直线，一条是切线，另一条是平行于对称轴的直线；若在抛物线外，且直线不过抛物线的顶点时，有三条直线于抛物线有一个公共点，其中两条切线，一条与对称
15、轴平行；当直线过抛物线外一点，且过抛物线顶点时，与抛物线有一个交点的直线有一条此题直线过点（且点在抛物线上，）所以与抛物线只有一个交点的直线有两条，所以选项为C例3 过抛物曲线（t为参数）的焦点F作直线交抛物线于A，B，设AOB(O为原点)的面积为S，求证：为定值分析：求面积的平方与弦长的比为定值，需要求出面积的表达式和弦长的表达式，此时再用参数方程表示未知数太多，不易表示，所以采用参数方程转化为普通方程形式，用直线方程与抛物线方程联立，一元二次方程求弦长方式即求解：抛物线的焦点为，(不妨设a0),过焦点的直线AB方程，代入抛物线方程得设，则又点O到直线的距离为定值经验：解题方法不是千篇一律的，有时要参数方程化为普通方程，有时要普通方程化为参数方程，此题即要求把参数方程化为普通方程，且抛物线的开口向上，焦点在轴上弦长公式为，面积公式为练习：例6 已知椭圆上任意一点M，(除短轴端点外)与短轴端点B1, B2的连线分别与x轴交于P, Q两点，O为椭圆的中心，求证：|OP|OQ|为定值。-