《《寿险精算学》教案第二章 利息理论.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《寿险精算学》教案第二章 利息理论.docx（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、教学重点：掌握利息的基础理论，年金现值、年金终值的定义及计算方法，永续年金、变额年 金的现值和终值的计算；熟悉年金的定义及分类方法。人寿保险是以人的身体和为保险标的的保险。人生的各个不同阶段一直都面临着生、老、病、 死的风险，往往需要通过保险得到经济平安保障。为了在较长时期内平衡缴费水平，人寿保险 通常为长期合同。因此，在寿险精算中，必须要考虑资金的投资收益，利息理论便成为寿险精 算的基础。2.1利息基本理论利息是借入资金需要支付的使用代价，或者是出让资本使用权得到的报酬。在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值。资金周转使用的时间越长，实现的价值增 值也就越大。资金所有者在放弃资金使用权
2、得到报酬的同时，必须要考虑通货膨胀的影响。一.利息与积累函数.利息设年初以资本金40)投资，A为第t年末的资金累积额(本利和)，这里A称为总额函数。那么第t期的利息为：It = A(t) - A(t -1)(2.1)在利息的计算中，期初的资本金成为本金，利用本金的时间长度为投资期，相邻两次计息的时 间间隔为计息期。计息期可以是年、季度、月或天。【例2.1】某人投资本金10, 000元,一年后增值为10, 100元。试计算利息额。解:，A(O) = 1OOOO, 一年后即，=1,总额函数A= 10100,那么，年利息人=41) 40) = 10100 -10000 =100 (元)。1 .利息率
3、利息率指单位本金在一定时期(单位时间)内所产生的利息，它是衡量资金生息水平的指标。(2-2) *用符号i表示利息率，第t个时期的利息率为：it = 4。n)AQ 1)rm 2由“例2.1”数据计算利息率。解：i1A(l)-A(0) 10100 -10000 in/1000010000=1%40).积累函数(2-3) *(2-4)A是资本金A(0)经过时间t后的价值，这里定义积累函数为：。=絮 为单位资本金经过t时间后的积累额，t时间的总积累额为：A=A(0)Xa(t)(2-5)(2-5)引入积累函数后，利息率又可表示为：j,=-ad 1)、丁 口口 .、，i/ (i+iyn - nm证明：(1
4、+，)?=x(l + z)，n jaa(1 + 0一1(i+iy-fn二Vx dn-m *Sn又,（证毕）、？ (1 + i)m - vn-fn (1 + i)? 1 +1 .*1+)=-5-=5= % +最后一期付款后某时刻年金积累值（将终值向前折现m年）：=斗+ am，vmsn = sn_m + am（ 2-40c）最后一期付款后某时刻年金积累值（将终值向后积累m年）：3d + 户二心+ 一 9，与（1 + D = %+ - s（2-40d）3、递增型n年期年金的现值和终值1.期初付递增型n年期年金的现值和终值设第一年年初付给1元，以后每年年初增加1元，共付n年，用（Z）表示该年金的现值，
5、（/）表 示该年金的终值，贝九 a yv（ =l + 2u + 3d+ + m/i = （2-41）dV ii（/）=（/a）x（l +，）=（2-42）aII.期末付递增型n年期年金的现值和终值设第一年年末付给1元，以后每年年末增加1元，共付n年，用（上）表示该年金的现值，（/S）表 示该年金的终值，贝IJ：n（） =v + 2v2 H1- nvn = （2-43）i c n（/s）=（/*x（l + i）=（2-44）i【例2.18】某年金第一年末收付1000元,以后每隔一年收付额比前一年增加100元,共收付10 年、年利为5肌求第10年年末的终值。解：这一变额年金可以分解为每年900元的
6、10年定额年金和100元的10年等差递增年金之和。即,900s10 + 100（Zs）10 = 900 x 15. 9171265 + 100 x 94. 25966 = 17733. 684、递减型n年期年金的现值和终值1.期初付递减型n年期年金的现值和终值设第一年年初付给n元，以后每年减少1元，共付n年，用（。菊表示该年金的现值，（。）表 示该年金的终值，贝IJ：Y）一 Z7（Da）n = n + （h -1）v + （/I - 2）v2 HF vn = （2-45）n（ +，） 一 s（血=（皿 X（l + i） =-L（2-46）aII.期末付递减型n年期年金的现值和终值设第一年年末付
7、给n元，以后每年递减1元，共付n年，用（）表示该年金的现值，（。5）表示 该年金的终值，那么：(2-46)(Da),1=nv+(n-l)v2 + (-2)v3 HF vtl =nf J +，） 一 S（Z）S） = （3） x（l + i） =-上（2-48）i【例2.191某人从银行贷款50万元购买住房，年利为5肌贷款期限20年。I、采用期末递减还款 方式，求第一年末还款额和每年递减额；II、第一个月及每月递减额；III、该人预计5年内每 年还款10万元，然后采用递减还款方式，求第六年末还款额和以后每年递减额。解：I、每年递减额为 X, T x（加）2ooo5 = 150. 7558 x X
8、 = 500000,解得，X=3316. 62, 第一年末还款额为3316.62x20 = 663324元，还款总额为696490元。H、月利率为（1 + /升=1.05 = j = 0.00407412 4,每月递减额为X,那么有：X x （Da）= 5OOOOO ,解得，X=23.4元，第一月末还款额为23.4x240 = 5616元，还款总额为676728元。HI、设第六年开始每年递减额为X。该问题可分解为5年等额年金和15年延期递减年金之和。 即，lOOOOOx51OO5 + X x V5 x（D）151OO5 = 500000,解得,X=926. 1 元。5、等比递增（减）型n年期年
9、金的现值和终值I.期初付等比递增（减）型n年期年金的现值和终值设第一年年初付给1元，以后每年收付额递增（减）j比例，共付n年，用（&i）表示该年金的现 值，（P）表示该年金的终值，那么：（收） = 1 + （1 + j）V + （1 + j）? / + + （1 +1 - (1 +1 - (1 + j)v1 - (1 +1 - (1 + j)v设 v = (1 + 7)v(省)=1 + r + v2 + + vn=-； d(2-48a)（咫） =（1 + iY X （咫） =X （咫）1 + J其中，d = 1 - v = r， i = -1+i1+JII.期末付等比递增（减）型n年期年金的现
10、值和终值设第一年年末付给1元，以后以后每年收付额递增（减）j比例，共付n年，用（尸。）表示该年金 的现值，（PS） 表示该年金的终值，那么： （&） = （1 + j）v + （l + j）2v2+. + （+/） 设 u = (1 + j)v，2 n V nV + V + - + V =;1(2-48b)1 (1 +(i j) + (1 + j)其中,【例2. 19】某人从20岁开始购买养老保险，其保险账户拟以个人工资8%即如。如果当年工资为 6000元，工资年增长率为2%,个人账户累积利率为4%。I、n、解:I、计算他在退休时个人账户累积额；如果累积利率前10年内为4队退休前10年内为2%
11、,中间20年为3%,计算退休时个人账户 累积额。个人账户在20岁时的现值，(咫*1 _ 1 QO40 40=6000 X 0. 08 X = 480 x 28. 0846555 = 13480. 631 1. 02r（元）个人账户在60岁时的累积额，(产菊40 x(l+，)4 =13480 .63x1.0440 = 64720.78 (元)II、20-29岁期间，个人账户在20岁的现值为:480 x J。02/1.040=44G$ .2165541-L02/1.0430-49岁期间，个人账户在20岁的现值为：480 x 1.0210 x 1-(L02/L03) x ()10 = 7217 .2
12、96894 (元) 1-1.02/1.031.0450-59岁期间，个人账户在20岁的现值为：480x 1.023x10x ()10 x (-)20 = 3252.134534 (元)1.041.03最后，个人账户在60岁的累积值为：(4405 .216554 + 7217.296894 + 3252.134534 )x 1.O410 x l.O32ox 1.O210 = 48475 .95（元）。三、一般年金的现值和终值当支付周期和利息周期不一致时，如利息率为年利息率、年金按月结转，这时的年金称为一般 年金。1、一年支付m次的n年年金I. 期初付年金设一年支付m次，每年期初支付,，期限为n年
13、，年利率为i。记47m为该年金现值，目为该年金终值，那么:1 i 1 i 2i泮)=一 十 口 + u？ + + u 机?mm mm1 - v _ 1 u 厂一/哂 m(l - vm)(2-49)(1 +，)一 1(2-50)一般年金与基本年金的关系为:方)一 d - a x d(m)一心)dd.萨“(2-51)II.d (l + i)-1河 x 3期末付年金d.(2-52)设一年支付m次，每年期末支付工, m期限为n年，年利率为i。记为该年金现值，5黑）为该年金终值，那么:11 I 11”a(-n) = vni + v,7? + + v,?7 =m mm() l-vn(2-53)m(l v,
14、n)m(ym 1)端)=(1 + iy x a, =+端)=(1 + iy x a, =+(2-54)一般年金与基本年金的关系为:l-vn；（?）；（机）(2-55)(2-56)i (l + i)一l i X c ：(加)：j(m) n【例2. 20】某人计划在30岁时每年年初存入6000元建立个人账户，年利率为2%。该人60岁退休, 问在20年内，I、每年可领取多少钱？ II、每月可领取多少钱（利息周期和支付周期不一致）？ 解I、每年领取额为X,16.678462X,16.678462X,6000 x 6,柏 o 02 = J x 瓦0? 0 6000 x 41. 379441OU | v.
15、 U4乙U | Uu乙解得 X=14886. 06 （元/年）oII、解法一，首先计算实际利息率。（1 +/严=1.020/ = 0.001651581 ,每月领取额为X, 那么有，6000 x 63010.02 二4 x 瓦4（）0.001651581 6000 x 41. 379441 = 198. 336484/ u /=1251. 80 （元/月）解法二，6000 x s30 0 02 = 12 x 才 x 2黑 02 0 6000 x 41. 379441 = 12 x 16. 528038J o 4=1251.80 (元/月)【例2. 21】某人计划在30岁时每月月初存入500元建
16、立个人账户，年利率为2%。该人60岁退休，问在20年内，I、每年可领取多少钱？ II、每月可领取多少钱？解I、每年领取额为X,500 x 836010.001651581 - x 20 o, 02 = 500 x 492. 07482 = 16. 678462/ o X = 14751. 804 (元/年)。II、每月领取额为X,500 x 636010.001651581 = X x 524010,001651581 o 500 x 492. 07482 = 198. 336462才 o X = 1240. 5052 (元/月)。2、一年结转k次的年金.期初付年金设一年结转k次利息，每次利息
17、结转周期的实际利息率为j,每年年初支付1元，共支付n年。记(外为该年金现值，(幻为该年金终值，那么：% (6=1 + V/ + 产攵 +. +乂 =七二二%( 2-57)3(%) = (1 + / x团*)=1 =%(2-58)1-U 为.期末付年金设一年结转k次利息，每次利息结转周期的实际利息率为j,每年年末支付1元，共支付n年。记 an(k)为该年金现值，sn(k)为该年金终值，那么：a(k) = a +v2k + + / J( ：)二%(2-59)1-u Sk力/)= (1 + i)nk X%(k) = %(2-60)1-v 以【例2.22】某人向银行贷款20000元，年利率5肌 期限为
18、10年。约定每年年初还款，每年结转4 次利息，求每年还款额。解、（1 + J）4 = 1.05 = / = 0.012272234o 才=2467(元/年)20000 o T x %。皿23454010. 012272234其中，a。 012272234 (4) = 8.10782173 ,名4|0 012272234之40 0.0122722343.880226431.460184四、连续年金的现值和终值支付（付款）频率无限大（即连续支付，在一般年金中，令根8）的年金称为连续年金。设 连续支付n个计息期，每个计息期的支付额为1的年金现值为万，终值为3,那么：_.(M. 1-Vn 1-Vn(2
19、-61)(2-62)(2-61)(2-62)an Lima - Lim (Z77)- “7-00dO- 广(1 + i) 1(1 + i) 1= Limsn = Lim=77?00784O五、永续年金的现值支付次数没有限制（无限期收入或支出相等金额的年金），永远持续的年金称为永续年金。如 股票中不能赎回的优先股，其固定红利的付给就是永续年金的形式。由于支付没有终点时刻， 永续年金的终值不存在。当8时，每年支付1元的永续年金现值为：(2-63)(2-64)(2-65)(2-66). . 一 1Qg = Lima = Lim二 8 ns d dl-v 1a8 = Lim 册=Lim ;=二 一88
20、 II小吟=i 。(吟= g Lim %Lim (-8/：- a aag，= Lim a，) = Lim .(帆)=受有一8II2.3债务归还借债人对债务的归还通常采取分期归还和偿债基金两种基本方法。在分期归还方式下，借款人 在还款期内分期还清全部本金和利息；在偿债基金方式下，借款人在贷款期间分期归还借款利 息，同时积累一笔偿债基金，用于贷款到期时一次性清偿贷款本金。一、分期归还分期归还指借款人按一定周期分期偿清当期应支付的利息及本金。这里需要计算每次归还的总 金额、每次归还总金额中包含的利息及本金、当期尚未归还的贷款余额等。1、等额分期归还等额分期归还债务的方法是在规定还款期内每次归还相等金
21、额的还款方式。设贷款本金为舔, 还款期为n年，每年还款一次，年实际利率为i, %（攵= 1,2,第k期未归还的本金余额。T.期末等额分期归还平均每年归还金额R为：/?二员册，第一期末：g=纥一(火一五稣)=线(1 +，) H第二期末：B2 = Bi-(R-ixBi) = Bi(l + i)-R = B(l + i)-RQ + i)-R=与(1 + Z)2 - R1 + (1 + /) = B0(l + 02 - Rs2V第三期末:B3=B2-(R-ixB2) = B2(l + i)-R = B0(l + i)2-Il + (l + i)依此类推：纥=5。(1 + 加 R%.(2-67)i _
22、m?( + /)&_i _ Vn-k由= R*可知：Bk= R。而(1 + U % % J = R (1 + zf- - = R xIII即：Bk = Ra时ki(2-68)计算未归还的本金余额采用式(2-67)称为过去法、式(2-68)称为将来法。在每期未归还的本金余额综的基础上，令。为第k期应支付的利息，匕为第k期归还的本金，s/表示支付利息总额，那么：Ik =，x Bk_ =ixRx。_&+巾=R(l- vHk+)(2-69)Pk=R Ik=R/i(2-70)M =/md) + dT) + + (i) = R-(2-71)k=付款总金额为H,归还本金总额为30。II. 期初等额分期归还平
23、均每年归还金额R为：R = 32=4(1+府妹Bk =网/【例2. 23】某企业向银行借款20000元，期限为5年，年利率为6虬该企业在每年你年末以等额 分期方式归还贷款，计算等额分期归还表。解、E =旦= 991 = 4747 .93 (元/年)ani “510.06由纭=Rx %_川().()6 n1k=ix Bk_x = 0.06 x By n Pk =/?-，(k=l 2、3、4、5)依次得表2-3：贷款等额分期归还表时期-k归还金额-R归还利息归还本金PK未归还余额bk020000. 0014747. 931200.003547. 9316452. 0724747. 93987. 1
24、23760.8012691.2734747. 93761.483986. 458704. 8244747. 93522. 294225. 644479.1854747. 93268.754479.180合计23739.653739.6420000. 00【例2. 24】某笔7000元的贷款，每年年末归还1000元，年利率10%。计算第九次付款后的贷款余 额。解、Bk = B0(l + i)k -Rski B9= 7000x(1 + 0.1)9 -lOOOx5910, = 2926.16 (元)2、变额分期归还变额分期归还债务的方法是在规定还款期内每次归还不等金额的还款方式。设初始贷款金额为B。
25、,第k期归还的金额为4(2 = 1,2,，力，那么有为=凡。k=l(1)每期归还本金相等最常见的变额分期归还方式是每期归还的本金相等。这样，逐期归还本金，本金余额递减的同 时归还利息也逐期递减。设每期归还本金为P,年利率为i,还款期限为n,贷款总金额为nP。那么，每期未归还的本金余额：Bk=(n k)P第k期应支付利息：Ik=ixBk_ =i(n-k + 1)P第k期归还本利和：Rk=P+Ik =Pl + i(n-k + l)支付利息总和：s/Z + DP=xPx二k=k=2付款金额总和：sRn=nP + ixPx “伽 + D2【例2. 25】某笔20000元的贷款，每年年末归还4000元本
26、金，年利率696。I、计算第三次付款金 额、支付利息和贷款余额；H、计算利息总额和付款总额；HI、制作贷款归还表。解：还款期限，n=5I、第三次付款金额：=4000 xl + 0.06x(5-3 + l) = 4720 (元)第三次支付利息：= 0.06x(5 - 3 + 1)x4000 =720 (元)第三次贷款余额：=(5-3)x4000 =8000 (元)H、利息总额：si, 0.06x4000x5(5 + 1) 3600 (元)2付款总额：sR, =5x4000 + 0.06x4000x = 23600 (元)2HI、表2-4：贷款分期归还表时期-k归还金额-4归还利息人归还本金P未归
27、还余额8人020000. 0015200.001200.004000. 0016000. 0024960.00960. 004000. 0012000. 0034720.00720. 004000. 008000. 0044480.00480. 004000. 004000. 0054240.00240. 004000. 000合计23600.003600. 0020000. 00【例2. 261某人从银行获得一笔贷款，期限为10年，年利率5%。该人采用变额分期归还法归还 贷款，每年年末归还金额分别为20000元、19000元 11000元。I、贷款本金；II、第五年 所归还的本金和利息(还款
28、等额递减)。解I、贷款本金：() = 10000 x6ZIOIOO5 + 1000 x(Z)6/)10l005 = 122782 .65 (元)IK 第4年未归还贷款余额：以=10000 xq +1000 x(0)。=69243.08 (元)第5年归还利息：I5=ixB4= 0.05 x 69243 .08 = 3462.154 (元)第5年归还本金：=/?5 -75 =16000 -3462.154 = 12537 .846 (元)(2)每期递增(减)变额还款最初贷款额综，每期归还金额为4( = 1,2,)，第一笔归还额为R,以后每年递增(减)比 例为1+j。那么有，纥=f /4 =(咽 +
29、v27?2+ . + vnRn) = vR + v2 (1 + j)R +. + / (1 + j)e R k=vR + v(l + ；) +. +(1 + J)1=vRi-v7i+;r当。w J)时，为分期等额选举还款，此时,l-v(l + y)R旦Clni(i解得R=船在舄=葺昌+i1+z(i w j)第k期付款：Rk =(1 +尸R 第k期利息：4=，纥_第k期本金：Pk = Rk -1k第k期贷款余额：Bk=BkPk【例2. 26】某人从银行获得10000贷款，期限为8年，年利率10%。每年年末归还一次，每次归还 金额以30%递增制作分期归还表。100001-解、n=8,i=0.l,
30、j=0. 3,= 10000 , R = -U= 712.9xl-()81.1 1.1表2-5：贷款变额递增分期归还表时期-k付款金额-凡支付利息4归还本金-Pk未归还贷款余额- Bk010000.001712. 901000.00-287. 1010287. 102926. 771028.71-101.9410389. 0431204. 801038. 90165.910223. 1441566. 241022. 31543. 939679.2152036. 11967. 921068.198611.0262646. 95861. 101785.846826.1873441. 03682.5
31、22758.514066.6784473. 34406. 674066. 670合计17008.157008.1510000.01二、偿债基金偿债基金的还款方法是借款人在贷款期间分期归还贷款利息，同时为了能够在贷款期末一次性 归还本金，定期向一各“基金”存款，使该基金在贷款期末的累积值正好等于本金。这一基金 称为偿债基金。一般情况下，采用等额偿债基金方式，借款人每期向偿债基金储蓄的金额相等，记为D。如果偿 债基金各期利率为j、银行贷款利率为i,贷款期为n,期初贷款额为及)，那么有， 各期利息为：1 = 1x3.每期向偿债基金储蓄金额：。=旦Snj每期支付总额为： R = / + Q = ix与
32、+旦=综。+ L)第k期末贷款余额为：纥=B_DxSkii = 4)旦第k期末贷款余额为：纥=B_DxSkii = 4)旦snj%小稣(1-阻)【例2.3】由“例2.1”数据计算累积函数和利息率。解:Q 一(0) _ L011a(0)1=1%二.单利和复利 计算利息的方法有单利和复利两种，单利只在本金上计算利息，而复利那么是采用“利滚利”计 算利息。1.单利在单利条件下，设第t年利率为小那么各年末累积额依次为，第一年末累积额：A=40) + 4。) X= 40)(1 +)第二年末累积额：A(2) = A(0)(l + ) + A(0) x i2 = A(0)(l + i1 + i2) 第t年末
33、累积额：A(Z)= A(0)(l + z; + i2 +. +，；)(2-6)当各年利率相等时，即i = z； = i2 =.=乙时，累积额为：A=A(0)(l + txi)(2-7)由(2-4)可知，单利条件下积累函数为：a(，)= (l +，xi)(2-8) *此时，由于每年得到的利息额不变，在本金逐年增大后，年实际利率递减。由利率计算公式，,_ 一-1) _ + + _ i1t -a(t -1) l + (Z-l)f- l + (f，可见，；随t增大而减小。【例2. 4】某人2005年3月1日存入银行13600元,年利率为5%, 3年后取出,计算本利和(单利)。解：A(3) = A(0)
34、x(1 + 3x5%) = 13600x 1.15 = 15640 (元)。注:在本教案附带的精算函数库用户界面的精算表达式文本框内输入“13600*jsDL0.05) ”, 以后记为“精算表达式:13600*jsDL (3, 0. 05) ”2.复利在复利条件下，设第t年利率为3 那么各年末累积额依次为，第一年末累积额：4D = 4(0) + 4。) x i1 = 40)(1 +)第二年末累积额:第2) = 40)(1+ 力)+40)(1+ i,2 =40)(1+， )(1 +，2)第t年末累积额：A=A(0)(l + % )(1 + %) + + (1 + 乙)(2-9)当各年利率相等时，
35、即i = ix = i2 =.=%时， 累积额为：AQ) = A(0)(l +(2-10)第k期偿债基金的余额：Fk=DxSkj=B（）又迎ss第k期偿债基金所生成的利息：Mk =jxDxs = /x5x上以%注：偿债基金每期产生的利息为上期期末累积值与基金利率的乘积。第k期实际支付的利息：儿:一乂口 的。Snj注：i二j时，等额偿债基金等价于等额分期还款。【例2. 27】某笔20000元的贷款，基金存款年利率5%,银行贷款年利率6%,贷款期限为5年。I、制作等额偿债基金表；H、如果基金存款年利率也为6%,制作等额偿债基金表。解：I、n=5, i=0. 06, j=0. 05,。=旦_ =二9
36、999_ = 3619 .50 （元）八东 5.525631表2-6：贷款等额偿债基金还款表时期 k付款金额R=I+D贷款利息I -ix偿债基金D基金利息Mk实际利息基金余额Fk贷款余额Bk00. 0020000. 0014819. 501200.003619.500. 001200.003619. 5016380. 5024819.501200.003619.50180. 971019. 037419. 9712580. 0334819.501200. 003619.50371.00829. 0011410.468589.5444819.501200. 003619. 50570. 5262
37、9.4815600.484399. 5254819.501200. 003619.50780. 02419. 9820000.000. 00合计24097. 486000. 0018097. 481902.524097. 48由(2-4)可知，复利条件下积累函数为：。=(1 +，)(2-11) *此时，利息额增大，利息率不变，由利率计算公式，._凶)-(1) _ (1 +，) - (1 + 产)_ .lt 一1) - (1+ 产) 1【例2.5】某人2005年3月1日存入银行13600元,年利率为5%, 3年后取出,计算本利和(复利)。 解:A(3) = A(O)x(1 + 5%)3 = 13
38、600 x 1.157625 =15743.7 (元)。精算表达式:13600* jsFL (3, a 05)三.贴现率 通常，利息支付的方式有两种：一种是期末支付，它是本金的增加值。如，年初存入银行100 元，一年后到期获得5元利息，它就是100元本金的增加值，且在年末支付。这种利息称为滞后 利息或期末付利息；另一种是期初支付，它是积累额的减少额，这种利息称为贴现。如，购买 面额为100元的一年期国债，现时支付90元即可，那么本期国债的利息为10元，它是在100元基础 上的减少额，10元利息在购买时就已获得，10元称为贴现额。贴现率用来衡量贴现水平，它是单位货币在一定时期内的贴现额。用符号d
39、表示贴现率，第t个时期的贴现率为：4=(2-12) *AQ)(2-13)在复利条件下，如果利率不变，有：4 J1 + D _，+”) (1 + OZ上式表示常数贴现率与常数利息率的关系为：d=上式表示常数贴现率与常数利息率的关系为：d=(2-14) *在常数贴现率条件下，积累额为：A) = A(O)x(1 d)，(2-15)*在常数利息率条件下，由式(2-10) , A(/) = A(O)(l + z)z,可知，以利率i积累的积累值与以 贴现率d积累的积累值是等价的。【例2. 6计算1998年1月1日1000元在复利贴现率5%下1995年1月1日的现值及利息率。解：I、1995年1月 1 日的
40、现值为，1000 x(l 0.05)3 =857.375 (元)II、年利息率为，i = -=0.0526 cl 1 0.05四.名义利率和名义贴现率 利息可以按年结算，也可按半年、季或月结算。在单利情况下，计息单位不影响利息额；在复 利条件下，即使年利率不变，但由于结算的时间单位不同，使实际利息值也不同。如本金1元、 年利率10%,按年结算到期利息为0.1元。但如果半年结算一次(一年结算两次)，此时半年的 实际利率为5%,年利息额为1X(1+ 世)2 1 = 0.1025元，实际利率为10.25虬 这样，由于复 2利计算期和年利率基本时间单位不一致，出现了利息率名不副实的现象。1 .名义利率
41、这里，我们把原来规定可以屡次用来结算的利率称为名义利率，符号表示为产匕m为结算次数, /(?)每次结算的实际利率为，那么有，1 +，= (1 + )加，解得： mm/(Mz = (l + -yn(2-16) *m炉)=mx(l + f)-1(2-17)在年利率为6%时，一年不同结算次数的名义利率如下表：2-1： 6%年利率条件下一年不同结算次数的名义利率m1234612001/0. 0600000.0591260.0588380.0586950.0585530. 0584110.0582692 .名义贴现率心)名义贴现率符号表示为m为结算次数，每次结算的实际贴现率为,那么有, m小增l-d =
42、 (l)w,解得:mdH) j = i-(iyn(2-i8)*m_L_j_小哂=mxl-(l-J)- = mxl-(l + z)-(2-19)在年利率为6%时，一年不同结算次数的名义贴现率如下表：表2-2： 6%年利率条件下一年不同结算次数的名义贴现率m123461200d(m)0. 0566040.0574280.0577070.0578470.0579870.0581280.0582693 .名义利率和名义贴现率的关系1由式(2-16) (2-18)得:由(2-14)贴现率与利息率关系式，d =一得，l-d = ；1 + z1 + /*)二(1 +/ m整理得:；(?)d”n)x或：心)加
43、+产)由(2-17)得：小l)+mx d()由(2-19)得：H)=mx(l-d) w -1(2-20)(2-21)(2-22)(2-23)(2-24)一般地，如果一年支付m次利息的名义利率为产”，一年支付n次贴现的名义贴现率为d，年 初的本金为1,那么年末的累积额有：(2-25)【例2. 7】某人以每年3.6%的利率从银行贷款1000元，在复利条件下按月结算，3年后欠银行多 少钱？解：按月结算时，年利率3.6%,月利率为0.3%。3年36个月的欠款额为：1000 X (1 + 0.003 )36 =1113.87 (元)。如果按年利息率计算，3年的欠款额为：1000 x(1 + 0.036)3 =1111.93 (元)。1名义利率 严)=12 x (1 + 0.036)丘1 = 0.035419313，名义利率计算的3年36个月欠款 额为：1000 X (1 + 0,035 9313)36 = H n .93 (元)。【例2.8】I、求每月结算的年利率为12%的实际利率；II、求每季结算的年贴现率为10%的实际贴现率;贴现率;解：I、in、求相当于每月结算的年利率为12%的半年结算的贴现率。产)o 12实际利率为：i = Q+ )? 1 = (1 + )12 -1 = 12.68%m12n、实际贴现率为:in、7,(加由(1 +产八)0 01d = l-(l-)，=1 (1