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1、一、高考要求一、高考要求 了解函数单调性的概念，掌握判断一些了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法简单函数的单调性的方法. 会用函数单调性会用函数单调性解决一些问题解决一些问题二、知识点归纳二、知识点归纳 1.单调性的概念单调性的概念 如果对于这个区间上的任意两个自变量如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2),那么就说那么就说f(x)在这个区间在这个区间上是增函数（或单调递增函数）上是增函数（或单调递增函数） 如果对于这个区间上的任意两个自变量如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当当x1f(x2),那么就说那么就
2、说f(x)在这个区间在这个区间上是减函数（或单调递减函数）上是减函数（或单调递减函数） 对于函数对于函数yf(x)在某个区间上单调递增或单调在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这在这个区间上的单调性，这个区间叫做个区间叫做f(x)的单调区间。的单调区间。对于给定区间上的函数对于给定区间上的函数f(x):二、知识点归纳二、知识点归纳 2.单调性是针对某个区间而言的，是个局部概念单调性是针对某个区间而言的，是个局部概念.3.单调性的证明步骤：单调性的证明步骤：取量定大小；取量定大小；作差定符号；作差定符号；判断定结论判断定结论.4.单调区间的求法
3、：单调区间的求法：通常用图象直接写出；利用单调性证明后得出；通常用图象直接写出；利用单调性证明后得出；求导法，根据导数的正增负减求导法，根据导数的正增负减.设设 x 1、x 2 给定区间，给定区间， 且且 x 1 x 2 f(x 1)f(x 2)的结果化积或化完全平的结果化积或化完全平方式的和；方式的和；判断判断f(x 1) 与与 f(x 2) 的大小的大小 ，下结论，下结论，结论一定要指出在那个区间上。结论一定要指出在那个区间上。针对针对 x 而言的而言的二、知识点归纳二、知识点归纳 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论函数论函数y=f(x)在给定区间上
4、的单调性，反映了在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质函数的单调性是对某个区间而言的，所体性质函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制以要受到区间的限制 例例1 证明：函数证明：函数 在在 ( 0 , + )上是上是增函数增函数.33( )1f xx 证明证明：设：设 0 x 1 x 2 + 则则 f ( x 1 ) f ( x 2)13(133231 xx313233xx )(332313231xxxx )(32221
5、21213231xxxxxxxx 43)21)(322221213231xxxxxxx 0 x 1 x 2 + x 1 x 2 0即即 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 故故 此函数在此函数在 ( 0 , + ) 上是增函数上是增函数.三、题型讲解三、题型讲解例例2 判断函数判断函数 在区间在区间 (-1 ,1 )上的单调性上的单调性.2( )1xf xx解：解：设设 1 x 1 x 2 1则则 f (x 1 ) -f ( x 2 )11222211 xxxx)1)(1(222122121221 xxxxxxxx)1)(1()(22211212
6、21 xxxxxxxx)1)(1()(1(22211221 xxxxxx 1 x 1 x 2 1 1 + x 1x 2 0，x 2 x 1 0，0112221 xx f ( x 1 ) f ( x 2) 0 即即 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 故此函数在故此函数在 (1 , 1 ) 上是减函数上是减函数.三、题型讲解三、题型讲解三、题型讲解三、题型讲解例例3 确定函数确定函数 在哪个区间是减在哪个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？函数？在哪个区间上是增函数？54)(2xxxf解解: (1)求函数的定义域是求函数的定义域是( ,)（2）求函数的导数）求函数的导数 42)(xxf（3）
7、令）令 以及以及求自变量求自变量x的取值范围，也即函数的取值范围，也即函数的单调区间。的单调区间。0)(xf0)(xf令令2x-40,解得解得x2，x(2,+)时，时， 是增函数是增函数)(xf令令2x-40,解得解得x0,解得解得x2或或x0当当x (2,+)时，时，f(x)是增函数；是增函数； 当当x (-,0)时，时，f(x)也是增函数也是增函数2f x 3-62oyx令令6x212x0,解得解得,0 x2当当x (0,2)时，时，f(x)是减函数。是减函数。三、题型讲解三、题型讲解 22log23, 1,5afxxxx 当时是增函数例.的取值范围求a 223130:xxxxx解 令,
8、13, 解得定义域是 2, 1log, 1axf xx 是上减且在上增22log010 | 1110aaaaa 由减且2log,ayR在上为减函数三、题型讲解三、题型讲解 1,log1,xaoayaka例6在上恒有意义.的取值范围求k:1,0,xxaka 恒成立解即xaakakaaxx 1, 10,1为减函数因为 上的增函数是所以也是减函数 , 1,1 xa . 1, 1111min1 kkaaaxx恒成立要使 , 1log,1 ,在则当xakaayk.上恒有意义1.求函数求函数 y = 2x 2 4x + 1 的单调区间的单调区间2.写出图中函数的单调区间写出图中函数的单调区间.xyo154
9、解：由题解：由题 y = 2( x 1 ) 2 1yxo111由图知：单调递增区间为由图知：单调递增区间为 1 , + )单调递减区间为单调递减区间为 ( , 1 解：由图知：单调递增区间为解：由图知：单调递增区间为 5 , 1 ， 4 , + )单调递减区间为单调递减区间为 ( , 5 ， 1 , 4 四、自我操练四、自我操练四、自我操练四、自我操练3. 确定函数确定函数 的单调区间的单调区间. 解：该函数的定义域为（解：该函数的定义域为（- ， ），由于），由于 当当 x （- ，1）时，有）时，有 f (x) 0， 所以，函数所以，函数 f(x)在这个区间内为严格单调增加。在这个区间内为
10、严格单调增加。 当当 x （1，2）时，有）时，有 f (x) 0， 所以，函数所以，函数 f(x)在该区间内为严格单调减少。在该区间内为严格单调减少。 当当 x （2，+ ）时，有）时，有 f (x) 0， 所以，函数所以，函数 f(x)在这个区间内为严格单调增加。在这个区间内为严格单调增加。31292)(23xxxxf) 2)(1( 6312186)(2xxxxxf五、小结五、小结 函数的性质是研究初等函数的基石，也是函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容在复习中要肯于在对定高考考查的重点内容在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫义的深入理解上下功夫 复习函数的性质，可以从复习函数的性质，可以从“数数”和和“形形”两个方面，从理解函数的单调性定义入手，在两个方面，从理解函数的单调性定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化题的过程中得以深化 求导法，是求函数单调区间及最（极）值求导法，是求函数单调区间及最（极）值的重要方法，要熟记导数公式及求导法则的重要方法，要熟记导数公式及求导法则.