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1、平面解析几何 高考复习学问点一、 直线的倾斜角、斜率1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条及轴相交的直线，假如把轴围着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线及轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围。2、直线的斜率（1）定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即tan(90)；倾斜角为90的直线没有斜率；（2） 斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；（3）直线的方向向量，直线的方向向量及直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： 。例题：例1已知直线的倾斜角的改变范围为，求该直线斜率的改变范围；
2、 思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析：，总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.类型二：斜率定义例2已知ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，BAC的平分线在x轴上，求边AB及AC所在直线的斜率. 思路点拨：本题关键点是求出边AB及AC所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知BAO=OAC=30直线AB的倾斜角为180-30=150，
3、直线AC的倾斜角为30，kAB=tan150= kAC=tan30=总结升华：在做题的过程中，要清晰倾斜角的定义中含有的三个条件直线向上方向轴正向小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.类型三：斜率公式的应用例3求经过点，直线的斜率并推断倾斜角为锐角还是钝角 思路点拨：已知两点坐标求斜率，干脆利用斜率公式即可.解析：且，经过两点的直线的斜率，即即当时，为锐角，当时，为钝角例4、过两点，的直线的倾斜角为，求的值【答案】由题意得：直线的斜率，故由斜率公式，解得或经检验不合适，舍去.故例5已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，务实数a的值思路点拨：假如过点AB，BC的斜
4、率相等，那么A，B，C三点共线.解析：A、B、C三点在一条直线上，kAB=kAC即二、直线方程的几种形式 1、点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。 2、斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。 3、两点式：已知直线经过、两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线。 4、截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 5、一般式：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。提示：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐
5、标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距肯定值相等直线的斜率为或直线过原点。如过点，且纵横截距的肯定值相等的直线共有_条（答：3）注：设直线方程的一些常用技巧：（1） 知直线纵截距，常设其方程为；（2） 知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)； （3） 知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；（4） 及直线平行的直线可表示为；（5） 及直线垂直的直线可表示为.提示：求直线方程的根本思想和方法是恰中选择方程的形式，利用待定系数法求解。三、两直线之间的位置关系
6、1、间隔 公式（1）平面上的两点间的间隔 。特殊地，原点O（0，0）及随意一点的P(x,y)的间隔 （2）点到直线的间隔 ；（3）两平行线间的间隔 为。2、直线及直线的位置关系：（1）平行（斜率）且（在轴上截距）；（2）相交；（3）重合且；（4）垂直提示： （1） 、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，探讨两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；3、两直线夹角公式（1）到的角是指直线围着交点按逆时针方向转到和直线重合所转的角，且tan=()；（2）及的夹角是指不大于直角的角且tan=()。 提示：解析几
7、何中角的问题常用到角公式或向量学问求解。如已知点M是直线及轴的交点，把直线绕点M逆时针方向旋转45，得到的直线方程是_（答：）例题：例1、两条直线，求分别满意下列条件的的值(1) 及相交； (2) 及平行； (3) 及重合；(4) 及垂直； (5) 及夹角为解：由得，解得，由得(1)当且时，及相交；(2)当时，；(3)当时，及重合；(4)当，即，时，；(5) ，由条件有将，代入上式并化简得，；，当或-5或3时及夹角为例2当为何值时，直线及直线相互垂直？解：由题意，直线(1)若，即，此时直线，明显垂直；(2)若，即时，直线及直线不垂直；(3)若，且，则直线、斜率、存在，当时，即，.综上可知，当或
8、时，直线例3已知直线经过点，且被两平行直线和截得的线段之长为5，求直线的方程解法一：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时及、的交点分别为和，截得的线段的长，符合题意，若直线的斜率存在，则设直线的方程为解方程组得，解方程组得由，得解之，得，即欲求的直线方程为综上可知，所求的方程为或解法二：由题意，直线、之间的间隔 为，且直线被同等直线、所截得的线段的长为5（如上图），设直线及直线的夹角为，则，故由直线的倾斜角为135，知直线的倾斜角为0或90，又由直线过点，故直线的方程为或解法三：设直线及、分别相交、，则：，两式相减，得又联立、，可得或由上可知，直线的倾斜角分别为0或90故所求直线方程为或例
9、4已知直线和两点、(1)在上求一点，使最小；(2)在上求一点，使最大解：(1)如图，设关于的对称点为则，的的是，及的交点是，故所求的点为(2)如下图，是方程，即代入的方程，得直线及的交点，故所求的点为四、对称问题代入法（中心对称和轴对称）1、 中心对称(1)点关于点对称点P（）关于（）对称的点为（）； (2)线关于点对称：（转化为点点对称） 在已知直线上随意去两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再有两点式求出直线方程，或者求出一个点，再利用两直线平行（注：线关于点对称的另一条直线和已知直线平行），由点斜式求出直线方程。特殊的，直线x=a关于点P（）的对称直线为；直线y=b关
10、于点P（）的对称直线为2、 轴对称（1）点关于直线的对称问题：（1）点（）关于x轴对称的点为（）；（2）点（）关于y轴对称的点为（）；（3）点（）关于原点对称的点为（）；（4）点（）关于对称的点为（）；（5）点（）关于对称的点为（）。（6）设点P（）关于直线y=kx+b的对称点则有由此求出特殊的，点P（）关于直线x=a的对称点为；点P（）关于直线y=b的对称点为 。（2）直线关于直线的对称问题：它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点；2. 求出这点关于中心或轴的对称点及之间的关系；3. 利用求出曲线。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法许多，现以一道典型习题为例给出
11、几种常见解法，供大家参考。例题：试求直线关于直线对称的直线的方程。解法1：（动点转移法）在上任取点，设点P关于的对称点为，则又点P在上运动，所以，所以。即。所以直线的方程是。解法2：（到角公式法）解方程组所以直线的交点为A(1,0) 设所求直线的方程为，即,由题意知，到及到的角相等，则.所以直线的方程是。解法3：（取特殊点法）解方程组所以直线的交点为A(1,0) 在上取点P（2，1），设点P关于的对称点的坐标为，则而点A，Q在直线上，由两点式可求直线的方程是。解法4：（两点对称法）对解法3，在上取点P（2，1），设点P关于的对称点的坐标为，在上取点M（0，1），设点P关于的对称点的坐标为而N，
12、Q在直线上，由两点式可求直线的方程是。解法5：（角平分线法）解方程组所以直线的交点为A(1,0) 设所求直线的方程为：设所求直线的方程为,即.由题意知，为的角平分线，在上取点P（0，-3），则点P到的间隔 相等，由点到直线间隔 公式，有：时为直线，故。所以直线的方程是例题：例1 ： 已知点A（2，3），求关于点P（1，1）的对称点B（）。 分析：利用点关于点对称的几何特性，干脆应用中点坐标公式求解。 解：设点A（2，3）关于点P（1，1）的对称点为B（），则由中点坐标公式得解得所以点A关于点P（1，1）的对称点为B（4，1）。 评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的精确性
13、。例2 ： 求直线关于点P（2，1）对称的直线l的方程。 分析：由已知条件可得出所求直线及已知直线平行，所以可设所求直线方程为。 解：由直线l及平行，故设直线l方程为。由已知可得，点P到两条直线间隔 相等，得解得，或（舍）。则直线l的方程为评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线及已知直线平行且点P到两条直线的间隔 相等。几何图形特性的敏捷运用，可为解题找寻一些简捷途径。此题还可在直线上取两个特殊点，并分别求其关于点P（2，1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。例3 ：求点A（2，2）关于直线的对称点坐标。 利用点关于直线对称的性质求解。 解法1（利用中点转移法）：设点A（2，2）
14、关于直线的对称点为A（），则直线AA及已知直线垂直，故可设直线AA方程为，把A（2，2）坐标代入，可求得。直线AA方程为。由方程组解得AA中点M。由中点坐标公式得，解得所求的对称点坐标为（1，4）。评注：解题时，有时可先通过求中间量，再利用中间量求解结果。分析：设B（a，b）是A（2，2）关于直线的对称点，则直线AB及l垂直，线段AB中点在直线上。解法2（相关点法）：设B（a，b）是A（2，2）关于直线的对称点，依据直线AB及l垂直，线段AB中点在直线上，则有解得所求对称点的坐标为（1，4）。评注：中点在上；所求点及已知点的连线及垂直。例4 ： 求直线关于直线对称的直线l的方程。 分析：设所求
15、直线l上任一点为P（），利用“相关点法”求其对称点坐标，并将其对称点坐标代入直线方程进展求解。 解：设所求直线l上随意一点P（）（）关于的对称点为Q（）， 则解得又因为点Q在上运动，则0。，解得。即直线l的方程为。评注：直线关于直线对称本质是点关于线的对称。此题还可在直线上任取一点（非两直线交点）并求其关于直线的对称点，则该对称点及两直线交点的连线便是所求对称直线。五、圆的方程： 1、圆的标准方程：。2、圆的一般方程：特殊提示：只有当时，方程才表示圆，圆心为，半径为的圆。常见圆的方程圆心在原点：；过原点：；圆心在轴上：；圆心在轴上：；圆心在轴上且过原点：；圆心在轴上且过原点：；及轴相切：;及轴
16、相切：及两坐标轴都相切： 3、圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元：；。4、为直径端点的圆方程例题例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并推断点及圆的关系解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为圆心在上，故圆的方程为又该圆过、两点 解之得：，所以所求圆的方程为解法二：（干脆求出圆心坐标和半径）因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即又知圆心在直线上，故圆心坐标为半径故所求圆的方程为又点到圆心的间隔 为点在圆外例2 求半径为4，及圆相切，且和直线相切的圆的方程解：则题意，设所求圆的方
17、程为圆圆及直线相切，且半径为4，则圆心的坐标为或又已知圆的圆心的坐标为，半径为3若两圆相切，则或(1)当时，或(无解)，故可得所求圆方程为，或(2)当时，或(无解)，故所求圆的方程为，或例3 求经过点，且及直线和都相切的圆的方程解：圆和直线及相切，圆心在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线和的间隔 相等两直线交角的平分线方程是或又圆过点，圆心只能在直线上设圆心到直线的间隔 等于，化简整理得解得：或圆心是，半径为或圆心是，半径为所求圆的方程为或例4、 设圆满意：(1)截轴所得弦长为2；(2)被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满意条件(1)(2)的全部圆中，求圆心到直线的间隔 最小的圆的方程解：
18、设圆心为，半径为则到轴、轴的间隔 分别为和由题设知：圆截轴所得劣弧所对的圆心角为，故圆截轴所得弦长为又圆截轴所得弦长为2又到直线的间隔 为当且仅当时取“=”号，此时这时有或又故所求圆的方程为或六、点、直线及圆的位置关系1、点及圆的位置关系 已知点及圆，（1） 点M在圆C外； （2）点M在圆C内；（3）点M在圆C上。2、直线及圆的位置关系（1）直线及圆的位置关系有相交、相切、相离三种状况，分别对应直线及圆有两个公共点、一个公共点、没有公共点。 相交 相切 相离 （两个公共点） （一个公共点） （没有公共点）（2）直线及圆的位置关系的推断方法几何法：通过圆心到直线的间隔 及半径的大小比拟来推断。设
19、直线l：Ax+By+C=0 圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0) 则圆半径为设圆心到直线的间隔 为，则则 直线及圆相离则 直线及圆相切则 直线及圆相交代数法：通过直线及圆的方程联立的方程组的解的个数来推断直线方程及圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来推断：（1）当方程组有2个公共解时（直线及圆有2个交点），直线及圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线及圆只有1个交点），直线及圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线及圆没有交点），直线及圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心C到直线l的间隔 为d,则直线及圆的位置关系满意以下关系：相切d=
20、r0；相交d0；相离dr1，m10.答案：(，0)(10，)4已知直线xy2m0及圆x2y2n2相切，其中m，nN*，且nm5，则满意条件的有序实数对(m，n)共有_个解析：由题意可得，圆心到直线的间隔 等于圆的半径，即2m1n，所以2m1mr.答案：相离7已知：以点C(t，)(tR，t0)为圆心的圆及x轴交于点O、A，及y轴交于点O、B，其中O为原点(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4及圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程解：(1)证明：圆C过原点O，OC2t2.设圆C的方程是(xt)2(y)2t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t.SOABOAOB|
21、2t|4，即OAB的面积为定值(2)OMON，CMCN，OC垂直平分线段MN.kMN2，kO C，直线OC的方程是yx.t，解得：t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC，此时圆心C到直线y2x4的间隔 d，圆C及直线y2x4不相交，t2不符合题意舍去圆C的方程为(x2)2(y1)25.七、 圆及圆的位置关系(1)两圆位置关系的断定方法几何法：设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。； 外离 相切 相交 内切 内含 代数法： 推断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组推断公共解的个数来解决（方法同直线及圆位置关系的代数法）【一般不提倡用此法，太过繁琐】(2)两圆的公共线
22、定义：当两圆相交时，必有两个交点，那么过这两点交点的弦为圆的公共点。 公共弦所在直线方程设圆 若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是用-得 若圆C1及C2相交，则式为公共弦所在的直线方程若圆C1及C2外（内）切，则式外（内）切线的方程若圆C1及C2相离（外离或内含），则式为圆的C1、C2相离的直线例题：例1若圆x2y24及圆x2y22ay60(a0)的公共弦的长为2，则a_.解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y，如图，由已知|AC|，|OA|2，有|OC|1，a1.答案：1例2过点A(11,2)作圆x2y22x4y1640的弦，其中弦长为整数的共有_条解析：方程化为(x1)2(y2)
23、2132，圆心为(1,2)，到点A(11,2)的间隔 为12，最短弦长为10，最长弦长为26，所以所求直线条数为22(2510)32(条)答案：32例3已知圆C1：x2y22x2y80及圆C2：x2y22x10y240相交于A、B两点，(1)求公共弦AB所在的直线方程；(2)求圆心在直线yx上，且经过A、B两点的圆的方程解：(1)x2y40.(2)由(1)得x2y4，代入x2y22x2y80中得：y22y0.或，即A(4,0)，B(0,2)，又圆心在直线yx上，设圆心为M(x，x)，则|MA|MB|，解得M(3,3)，M：(x3)2(y3)210.例4 已知圆C1：x2 + y2 2mx +
24、4y + m2 5 = 0，圆C2：x2 + y2 + 2x 2my + m2 3 = 0，m为何值时，（1）圆C1及圆C2相外切； （2）圆C1及圆C2内含.【解析】对于圆C1，圆C2的方程，经配方后C1：(x m)2 + (y + 2)2 = 9，C2：(x + 1)2 + (y m)2 = 4.（1）假如C1及C2外切，则有，所以m2 + 3m 10 = 0，解得m = 2或5.（2）假如C1及C2内含，则有，所以m2 + 3m + 20，得2m1.所以当m = 5或m = 2时，C1及C2外切；当2m1时，C1及C2内含.例5求过直线x + y + 4 = 0及圆x2 + y2 + 4
25、x 2y 4 = 0的交点且及y = x相切的圆的方程.【解析】设所求的圆的方程为x2 + y2 + 4x 2y 4 + (x + y + 4) = 0.联立方程组得：.因为圆及y = x相切，所以=0.即故所求圆的方程为x2 + y2 + 7x + y + 8 = 0.例6 求过两圆x2 + y2 + 6x 4 = 0求x2 + y2 + 6y 28 = 0的交点，且圆心在直线x y 4 = 0上的圆的方程.【解析】依题意所求的圆的圆心，在已知圆的圆心的连心线上，又两已知圆的圆心分别为(3，0)和(0，3).则连心线的方程是x + y + 3 = 0.由 解得. 所以所求圆的圆心坐标是.设所
26、求圆的方程是x2 + y2 x + 7y + m = 0由三个圆有同一条公共弦得m = 32.故所求方程是x2 + y2 x + 7y 32 = 0.例7已知圆C的方程为x2y21，直线l1过定点A(3,0)，且及圆C相切(1)求直线l1的方程；(2)设圆C及x轴交于P、Q两点，M是圆C上异于P、Q的随意一点，过点A且及x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P，直线QM交直线l2于点Q.求证：以PQ为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标解：(1)直线l1过点A(3,0)，且及圆C：x2y21相切，设直线l1的方程为yk(x3)，即kxy3k0，则圆心O(0,0)到直线l1的间隔 为d1，解得k，直线l1的方程为y(x3)(2)对于圆C：x2y21，令y0，则x1，即P(1,0)，Q(1,0)又直线l2过点A且及x轴垂直，直线l2方程为x3.设M(s，t)，则直线PM的方程为y(x1)解方程组得P(3，)同理可得Q(3，)以PQ为直径的圆C的方程为(x3)(x3)(y)(y)0，又s2t21，整理得(x2y26x1)y0，若圆C经过定点，只需令y0，从而有x26x10，解得x32，圆C总经过定点，定点坐标为(32，0)