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1、第 6讲双曲线1双曲线的概念平面内动点P 与两个定点F1、 F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(0 2a2c)，则点 P的轨迹叫双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距集合 P M|MF1| |MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a、c为常数且a0，c0：(1)当 ac 时， P 点的轨迹是双曲线；(2)当 ac 时， P 点的轨迹是两条射线；(3)当 ac 时， P 点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21 (a0，b0) y2a2x2b21 (a 0，b0) 图形性质范围xa 或 x a，y? Rx? R，y a或 ya对称性对称轴：
2、坐标轴，对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0， a)，A2(0，a) 渐近线ybax y abx离心率eca，e? (1， ) 实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长a、b、c 的关系c2a2b2(ca0，cb0) 做一做 1(x 高考课标全国卷)已知双曲线x2a2y231(a0)的离心率为2，则 a() A2B.62C.52D1 答案： D 2已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C 的方程是() A.x24y251
3、B.x24y251 C.x22y251 D.x22y251 答案： B 1辨明三个易误点(1)双曲线的定义中易忽视2a|F1F2|这一条件若2a|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2|，则轨迹不存在(2)区分双曲线中a，b，c 的关系与椭圆中a，b，c 的关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2. (3)双曲线的离心率e? (1， )，而椭圆的离心率e? (0，1)2求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a，b，c，即可求得方程(2)待定系数法与双曲线x2a2y2b2 1共渐近线的可设为x2a
4、2y2b2 ( 0)；若渐近线方程为ybax，则可设为x2a2y2b2 ( 0)；若过两个已知点，则可设为x2my2n 1(mn0)3双曲线几何性质的关注点双曲线的几何性质可从以下三点关注：(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴 )、两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形做一做 3 “k9”是“方程x29 ky2k4 1表示双曲线”的() A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析： 选 B.当 k9 时， 9 k0，k 40，方程表示双曲线当k4 时， 9k
5、0，k40，方程也表示双曲线“k9”是“方程x29 ky2k4 1表示双曲线 ”的充分不必要条件4(x 高考北京卷 )设双曲线C 经过点 (2，2)，且与y24x21 具有相同渐近线，则C 的方程为 _；渐近线方程为_解析： 设双曲线C 的方程为y24x2 ，将点 (2，2)代入上式，得 3， C 的方程为x23y2121，其渐近线方程为y 2x.答案：x23y2121y 2x考点一 _双曲线的定义_ (1)(x 高考大纲全国卷)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F1、F2，点 A 在C 上若 |F1A|2|F2A|，则 cosAF2F1() A.14B.13C.24D.23(2)P 是双曲线
6、x2a2y2b21(a0，b0)右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且焦距为 2c，则 PF1F2的内切圆圆心M 的横坐标是 () AaBbCcDab c解析 (1) 由 eca2，得 c2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|F2A|2a，又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a，cosAF2F1（ 4a）2（ 2a）2（ 4a）223 4a3 2a14. (2) 如图，内切圆圆心M 到各边的距离分别为MA，MB，MC，切点分别为A，B， C，由三角形的内切圆的性质则有：|CF1| |AF1|， |AF2| |BF2|， |PC|PB|，|PF1|PF2| |CF1|BF
7、2|AF1|AF2|2a，又|AF1|AF2| 2c，|AF1|ac，则 |OA|AF1|OF1| a.M 的横坐标和A 的横坐标相同 答案 (1)A(2)A 本例 (1)中双曲线方程变为x2y231，若点 A 在 C 上， |F1A|2|F2A|不变，求 cosAF2F1的值解： 如图，由双曲线的定义得|F1A|F2A|2，又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4，|F2A|2，cosAF2F142 224223 43 214.规律方法 (1)在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支若是双曲线的一支，则需确定是哪一支(2)在 “ 焦点三角形” 中，正弦定
8、理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点另外，还经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|PF2|的联系1.(1)已知 ABP 的顶点 A，B 分别为双曲线x216y29 1的左，右焦点，顶点P在双曲线上，则|sin Asin B|sin P的值等于 () A.45B.74C.54D.7 (2)已知双曲线x2y21，点 F1，F2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF1PF2，则 |PF1|PF2|的值为 _解析： (1)在 ABP 中，由正弦定理知|sin Asin B|sin P|PB|PA|AB|2a2c81045.(2)设 P 在双曲线的右支上，|PF1
9、|2x，|PF2|x(x0)，因为PF1PF2，所以 (x2)2x2(2c)28，所以 x31，x231，所以 |PF2|PF1|2 3.答案： (1)A(2)23 考点二 _求双曲线的标准方程_ (1)(x 东北三校联合模拟)与椭圆C：y216x2121 共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为() Ax2y23 1 By2x2121 C.y22x221 D.y23x21 (2)(x高考江西卷 )过双曲线C：x2a2y2b2 1 的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为4 的圆经过 A，O 两点 (O 为坐标原点 )，则双曲线 C 的方程为 (
10、) A.x24y2121 B.x27y291 C.x28y281 D.x212y241 解析 (1)椭圆y216x2121 的焦点坐标为(0， 2)，(0，2)，设双曲线的标准方程为y2mx2n1(m0，n0)，则3m1n1mn4，解得 mn2.双曲线的标准方程为y22x221.(2)由xa，ybax，得xa，y b，A(a， b)由题意知右焦点到原点的距离为c4，（a 4）2（ b）24，即 (a4)2b216.而 a2b216， a2，b2 3.双曲线 C 的方程为x24y2121.答案 (1)C(2)A 规律方法 求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法待定系数法具体过程是先定形
11、，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c， e及渐近线之间的关系，求出a，b 的值2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为x，离心率为54；(2)焦距为 26，且经过点M(0，x)解： (1)设双曲线的标准方程为x2a2y2b21 或y2a2x2b21(a0，b0)由题意知， 2bx，eca54，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为x264y2361或y264x2361.(2)双曲线经过点M(0，x)，M(0，x)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且ax.又 2c26， c13.b2c2a225.双曲线的标准方程为y2144x2251.考点三 _双曲线的
12、几何性质(高频考点 )_ 双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下四个命题角度：(1)求双曲线的离心率(或范围 )；(2)求双曲线的渐近线方程；(3)求双曲线方程；(4)求双曲线的焦点(距 )、实、虚轴长(1)(x 高考 x 卷 )若实数k满足 0k0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得 (|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为() A.2 B.15 C4 D.17 (3)(x高考 x 卷)已知 ab0，椭圆C1的方程为x2a2y2b21，双曲线C2的方程为x2a2y
13、2b21，C1与 C2的离心率之积为32，则 C2的渐近线方程为() Ax2y0 B.2xy0 Cx2y0 D2xy0 双曲线及其几何性质解析 (1)因为 0k0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3，过右焦点F2的直线 l 交双曲线于A、B 两点， F1为左焦点(1)求双曲线的方程；(2)若 F1AB 的面积等于6 2，求直线l 的方程解(1)依题意知， b3，ca2? a1，c2，双曲线的方程为x2y231.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知 F2(2，0)易验证当直线l 斜率不存在时不满足题意，故可设直线l： yk(x2)，由yk（x2），x2y231，消元
14、得 (k23)x24k2x 4k230，直线 l 与双曲线有两个交点，k3，x1 x24k2k23，x1x24k23k23，y1 y2 k(x1x2)，F1AB的面积Sc|y1y2|2|k| |x1x2|2|k| 16k44（k23）（ 4k23）|k23|x|k| k2 1|k23|62.得 k48k290，则 k 1.所以直线 l 的方程为yx2 或 y x2.规律方法 双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或 y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题. 4.
15、(x 铜陵模拟 )若双曲线E：x2a2y21(a0)的离心率等于2，直线y kx1 与双曲线E 的右支交于A，B 两点(1)求 k 的取值范围；(2)若|AB|63，求 k的值解： (1)由ca2a2c21，得a2 1，c2 2，故双曲线 E 的方程为x2y21.设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，由ykx1，x2y21，得( 1k2)x22kx20.直线与双曲线右支交于A，B 两点，故k1，（ 2k）24（1k2）3 （ 2） 0，即k1，2k2，所以 1k2.(2)由得 x1x22kk21，x1x22k21，|AB|1k2（ x1 x2）24x1x22（1k2）（ 2k2）（ k2
16、1）26 3，整理得 28k4 55k2250，k257或 k254.又 1k2，k52. 方法思想 方程思想在求离心率中的应用设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为() A.2B.3 C.312D.512解析 设双曲线方程为x2a2y2b21(a0， b0)，不妨设一个焦点为F(c，0)，虚轴端点为 B(0，b)，则 kFBbc.又渐近线的斜率为ba，所以由直线垂直关系得(bc)ba 1(ba显然不符合 )，即 b2ac，又 c2 a2b2，所以c2a2ac，两边同除以a2，整理得e2e10，解得 e512或 e152(舍
17、去 )答案 D 名师点评 (1)本题利用方程思想，将已知条件转化为关于a，c 的方程，然后求出离心率 e.(2)求解椭圆、双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a，c 的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e的方程或不等式求解已知点 F 是双曲线x2a2y2b21(a0， b0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B 两点，若 ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 _解析： 根据对称性，只要AEF4即可由题意，知F(c，0)，直线 AB 的方程为x c，将 x c代入双曲线方程，得y2b4a2，取点 A(c，b2
18、a)，则 |AF|b2a，|EF|ac，只要 |AF|EF|就能使 AEF4，即b2aa c? b2a2 ac? c2ac 2a20? e2e 20，解得 1e1，故 1e0)与双曲线x24y231 有相同的焦点，则a 的值为() A.2 B.10 C4 D.34 解析： 选 C.因为椭圆x2a2y291(a0)与双曲线x24y231 有相同的焦点 ( 7，0)，则有 a297， a 4. 3(x 高考课标全国卷)已知F 为双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到 C 的一条渐近线的距离为() A.3 B3 C.3mD3m解析： 选 A.双曲线C 的标准方程为x23my231(m0
19、)，其渐近线方程为y33mxmmx，即my x，不妨选取右焦点F(3m3，0)到其中一条渐近线xmy0 的距离求解，得d3m31m3.4(x x 开封模拟 )设 F1，F2分别为双曲线x2a2y2b21(a0， b0)的左，右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足 |PF2| |F1F2|，且 F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为() A.43B.53C.54D.414解析： 选 B.易知 |PF2| |F1F2|2c，所以由双曲线的定义知|PF1| 2a2c，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，所以(ac)2(2a)2(2c)2，即3c22ac5a20，两边同
20、除以a2，得 3e22e50，解得 e53或 e 1(舍去 )5 (x 兰州市、张掖市高三联考)已知双曲线x2a2y2b21(a0， b0)的左、右焦点分别为 F1、F2，以 |F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为() A.x216y291 B.x23y241 C.x29y2161 D.x24y231 解析： 选 C.由题意知，圆的半径为5，又点 (3， 4)在经过 x、三象限的渐近线ybax 上，因此有a2 b2 25433ba，解得a3b4，所以此双曲线的方程为x29y216 1.6已知双曲线x29y2a 1 的右焦点的坐标为(13，0)，则该双曲线
21、的渐近线方程为_解析： 依题意知 (13)29 a，所以 a4，故双曲线方程为x29y241，则渐近线方程为x3y20.即 2x 3y0.答案： 2x3y 0或 2x3y0 7 (x x 六市六校联盟模拟)如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A， B 为左、右焦点，且双曲线过C，D 两顶点若AB4，BC3，则此双曲线的标准方程为_解析： 设双曲线的标准方程为x2a2y2b2 1(a0，b 0)由题意得 B(2， 0)， C(2， 3)，4a2b2，4a29b2 1，解得a21，b23，双曲线的标准方程为x2y231.答案： x2y231 8(x 武汉模拟 )已知F1，F2分别是双曲线x
22、2a2y2b21(a0， b0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点若|PF1|2|PF2|8a，则双曲线的离心率e的取值范围是_解析： 设|PF2|y，则 (y2a)28ay? (y2a)20? y2aca? eca3.答案： (1，3 9已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2y210 相交于点P(3， 1)，若此圆过点 P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程解： 切点为 P(3， 1)的圆 x2y210 的切线方程是3xy10.双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，两渐近线方程为3x y0.设所求双曲线方程为9x2y2 ( 0)点 P(3， 1)在双
23、曲线上，代入上式可得 80，所求的双曲线方程为x2809y2801. 10已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2 34. (1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B，在 x 象限内取双曲线上一点P，连结 BP 交椭圆于点 M，连结 PA 并延长交椭圆于点N，若 BMMP，求四边形ANBM 的面积解： (1)设椭圆方程为x2a2y2b2 1(ab0)，则根据题意知双曲线的方程为x2a2y2b21 且满足a2b2a45，2a2b22 34，解方程组得a225，b29.椭圆的方程为x225y291，双曲线的方程为x22
24、5y291.(2)由(1)得 A(5，0)，B(5，0)，|AB|10，设 M(x0，y0)，则由 BMMP，得M 为 BP的中点，所以P 点坐标为 (2x05，2y0)将 M、P坐标代入椭圆和双曲线方程，得x2025y2091，（2x05）2254y2091，消去 y0，得 2x205x0250.解得 x052或 x05(舍去 )y03 32.由此可得M(52，332)，P(10，33)则直线 PA 的方程是y335(x5)，代入x225y291，得 2x215x250.解得 x52或 x 5(舍去 )，xN52，则 xNxM，所以 MNx 轴S四边形ANBM2SAMB23123 1033
25、32153.1(x 唐山市高三年级统考)已知双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的焦点为F1，F2，且 C 上点 P 满足 PF12 PF20，|PF1|3，|PF2| 4，则双曲线C 的离心率为 () A.102B.5 C.52D5 解析： 选 D.依题意得， 2a|PF2| |PF1|1， |F1F2|PF2|2|PF1|25，因此该双曲线的离心率e|F1F2|PF2|PF1|5.2(x 山西阳泉高三x 次诊断 )已知 F1、F2分别为双曲线C：x2y21 的左、右焦点，点 P 在双曲线C 上，且 F1PF260，则 |PF1|2 |PF2|等于 () A2 B4 C6 D8 解析：
26、 选 B.由题意知 a1，b1，c2，|F1F2| 2 2，在PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|28，即|PF1|2 |PF2|2|PF1|PF2|8，由双曲线定义得|PF1|PF2|2a2，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4， 得|PF1|PF2|4. 3(x x 杭州调研 )双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为F1和 F2，左、右顶点分别为A1和 A2，过焦点F2与 x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若 |PA1|是|F1F2|和|A1F2|的等比中项，则该双曲线的离心率为_解析：
27、由题意可知 |PA1|2|F1F2|3 |A1F2|，即b2a2 (ac)22c(ac)，化简可得a2b2，则 ecac2a2a2 b2a22.答案：2 4已知 c 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的半焦距，则bca的取值范围是 _解析：bcac2 a2cae21 e1e21e，由于e 1，且函数f(e)1e21e在 (1， )上是增函数，那么bca的取值范围是(1，0)答案： (1，0) 5(x 湛江模拟 )已知双曲线x2a2y2b2 1(a0，b0)的右焦点为F(c，0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx 且 c 2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心， c 为半径作圆，该圆
28、与双曲线在x 象限的交点为A，过 A 作圆的切线，斜率为3，求双曲线的离心率解： (1)双曲线的渐近线方程为ybax， a b，c2a2b22a24，a2b22，双曲线方程为x22y221.(2)设点 A的坐标为 (x0，y0)，直线 AO 的斜率满足y0 x0(3) 1，x03y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程得3y20y20c2，即 y012c，x032c，点 A 的坐标为 (32c，12c)，代入双曲线方程得34c2a214c2b21，即34b2c214a2c2a2b2，又a2b2c2，将 b2c2a2代入 式，整理得34c42a2c2a40，3(ca)48(ca)24
29、0，(3e22)(e22)0，e1， e2，双曲线的离心率为2.6(选做题 )直线 l：y3(x2)和双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)交于 A，B 两点，且|AB|3，又 l 关于直线l1： ybax 对称的直线l2与 x 轴平行(1)求双曲线C 的离心率e；(2)求双曲线C 的方程解： (1)设双曲线C：x2a2y2b21 过一、三象限的渐近线l1：xayb0 的倾斜角为 .因为 l 和 l2关于 l1对称，记它们的交点为P，l 与 x 轴的交点为M.而 l2与 x 轴平行，记l2与 y 轴的交点为Q.依题意有 QPOPOM OPM .又 l：y3(x 2)的倾斜角为60，则 2
30、60，所以 tan 30ba33.于是 e2c2a21b2a211343，所以 e2 33.(2)由于ba33，于是设双曲线方程为x23k2y2k21(k0)，即 x23y23k2.将 y3(x2)代入 x23y23k2中，得 x233 3(x2)23k2.化简得到 8x236x363k20.设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则|AB|13|x1x2|2（x1x2）24x1x22336243 83 （ 363k2）896k23，解得 k21.故所求双曲线C 的方程为x23y21. 第 7讲抛物线1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离
31、与到定直线l 的距离相等；(3)定点不在定直线上2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px (p0) y2 2px(p0) x22py(p0) x2 2py(p0) p 的几何意义：焦点F 到准线 l 的距离图形顶点O(0，0) 对称轴y 0 x0 焦点F(p2，0) F(p2，0) F(0，p2) F(0，p2) 离心率e 1 准线方程xp2xp2yp2yp2范围x0，y? Rx0，y? Ry0，x? Ry0 x? R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF| x0p2|PF| x0p2|PF|y0p2|PF| y0p2做一做 1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x 2，
32、则抛物线的方程是() Ay2 8xBy2 4xCy28xDy24x解析： 选 C.由抛物线准线方程为x 2 知 p 4，且开口向右，故抛物线方程为y28x.2抛物线 y2 8x 的焦点坐标是 () A(2， 0) B( 2，0) C(4， 0) D(4，0) 答案： B 1辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线(2)抛物线标准方程中参数p 易忽视只有p 0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l的距离，否则无几何意义2与焦点弦有关的常用结论(以下图为依据) 设 A(x1，y1)， B(x2，y2)(1)y1
33、y2 p2，x1x2p24. (2)|AB|x1x2p2psin2(为 AB 的倾斜角 )(3)1|AF|1|BF|为定值2p. (4)以 AB 为直径的圆与准线相切(5)以 AF 或 BF 为直径的圆与y 轴相切做一做 3(x 高考课标全国卷)已知抛物线C： y2 x 的焦点为F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|54x0，则 x0() A4B2 C1 D8 解析： 选 C.如图， F14，0 ，过 A作 AA 准线 l， |AF|AA|，54x0 x0p2x014，x01.4动圆过点 (1，0)，且与直线x 1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 _解析： 设动圆的圆心坐标为(x， y)
34、，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x 1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.答案： y24x考点一_抛物线的定义及其应用_ (1)(x 高考课标全国卷)已知抛物线C：y28x 的焦点为F，准线为l，P 是 l上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若FP4FQ，则 |QF|() A.72B.52C3 D2 (2)(x长春市调研 )已知直线l1：4x 3y60 和直线l2：x 1，则抛物线y24x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是() A.3 55B2 C.115D3 解析 (1)FP4FQ，|FP|4|FQ|，|PQ|PF|34
35、.如图，过Q 作 QQ l，垂足为Q，设 l 与 x轴的交点为A，则 |AF|4，|PQ|PF|QQ|AF|34，|QQ|3，根据抛物线定义可知|QF|QQ|3，故选 C.(2)由题可知l2：x 1 是抛物线y2 4x 的准线，设抛物线的焦点F 为(1，0)，则动点P到 l2的距离等于 |PF|，则动点P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l1：4x3y 60 的距离，所以最小值是|4 06|52.答案 (1)C(2)B 规律方法 利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化“ 看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决
36、抛物线焦点弦有关问题的有效途径1.(1)(x云南省统一检测)设经过抛物线C 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A、B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB为直径的圆的位置关系为() A相离B相切C相交但不经过圆心D相交且经过圆心(2)(xx 杭州模拟 )已知点 P 是抛物线y22x 上的动点，点P 到准线的距离为d，且点 P在 y轴上的射影是M，点 A(72，4)，则 |PA|PM|的最小值是 () A.72B4 C.92D5 解析： (1)选 B.设圆心为M，过点A、 B、M 作准线l 的垂线，垂足分别为A1、B1、M1，则|MM1|12(|AA1| |BB1|)由抛物线定义可知|BF| |BB
37、1|， |AF| |AA1|，所以 |AB| |BB1|AA1|，|MM1|12|AB|，即圆心M 到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切(2)选 C.抛物线焦点F(12， 0)，准线x12，如图，延长PM 交准线于N，由抛物线定义得 |PF| |PN|，|PA| |PM|MN|PA|PN|PA|PF|AF|5，而 |MN|12， |PA|PM|51292，当且仅当A，P，F 三点共线时，取“ ”号，此时，点P 位于抛物线上，|PA|PM|的最小值为92.考点二 _抛物线的标准方程及性质(高频考点 )_ 抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出
38、现，个别高考题有一定难度，高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度：(1)求抛物线方程；(2)由已知求参数p；(3)与其它知识交汇求解综合问题(1)(x 昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y22px(p0)的焦点为F，O 为坐标原点， M 为抛物线上一点，且|MF | 4|OF|， MFO 的面积为4 3，则抛物线方程为() Ay2 6xBy28xCy216xDy2152x(2)(xx 德州模拟 )已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)分别交于O，A，B 三点， O 为坐标原点若双曲线的离心率为2， AOB 的面积为3，则 p() A1 B.32C2 D3
39、 解析 (1)依题意，设M(x， y)， |OF|p2，所以 |MF |2p，xp22p，x3p2，y3p，又 MFO 的面积为43，所以123p233p43，解得 p 4，所以抛物线方程为y28x.(2)双曲线的渐近线方程为ybax，因为双曲线的离心率为2，所以1b2a2 2，ba3.由y3x，y22px，解得x0y0或x2p3，y23p3.由曲线的对称性及AOB 的面积得， 231232 3p332p33，解得 p294，p32(p32舍去 )故选 B.答案 (1)B(2)B 规律方法 (1)求抛物线的标准方程的方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定
40、p值即可因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量(2)确定及应用抛物线性质的技巧：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解2.(1)(x高考课标全国卷 )设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点 M 在C 上， |MF|5.若以 MF 为直径的圆过点(0，2)，则 C 的方程为 () Ay2 4x 或 y28xBy22x 或 y28xCy24x 或 y216xDy2 2x 或 y216x(2)抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x2y29 相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物
41、线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程解析： (1)选 C.设 M(x0，y0)，A(0，2)，MF 的中点为N.由 y22px，Fp2，0 ，N 点的坐标为x0p22，y02.由抛物线的定义知，x0p25，x05p2.y02p 5p2.|AN|MF |252， |AN|2254.x0p222y0222254.即5p2p2242p 5p2222254.2p 5p2220.整理得 p210p16 0.解得 p2 或 p8.抛物线方程为y24x或 y216x.(2)解： 由题意，设抛物线方程为x22ay(a0)设公共弦 MN 交 y 轴于 A，则 |MA|AN|，且 AN5.|ON|3， |OA|
42、32（5）22，N(5， 2)N 点在抛物线上，52a ( 2)，即 2a52，故抛物线的方程为x252y或 x252y.抛物线 x252y 的焦点坐标为0，58，准线方程为y58.抛物线 x252y 的焦点坐标为0，58，准线方程为y58.考点三 _直线与抛物线的位置关系_ (1)(x 高考辽宁卷 )已知点A(2，3)在抛物线C：y22px 的准线上，过点A的直线与 C 在 x 象限相切于点B，记 C 的焦点为F，则直线BF 的斜率为 () A.12B.23C.34D.43(2)(x高考 x 卷)已知 F 为抛物线y2x 的焦点，点A，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， OA2 OB2(其
43、中 O 为坐标原点 )，则 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是() A2 B3 C.1728D.10 解析 (1)抛物线y22px 的准线为直线xp2，而点A(2，3)在准线上，所以p2 2，即 p 4，从而 C：y28x，焦点为F(2，0)设切线方程为y3k(x2)，代入y28x，得k8y2y2k30(k0)，由于 143k8(2k3)0，所以 k 2 或 k12.因为切点在x 象限，所以k12.将 k12代入 中，得 y8，再代入y28x 中得 x8，所以点 B 的坐标为 (8，8)，所以直线BF 的斜率为8643.(2)设直线 AB的方程为xnym(如图 )，A(x1，y1)，B(x
44、2，y2)， OA OB2，x1x2 y1y22.又 y21x1，y22x2，y1y2 2.联立y2x，xnym，得 y2nym0，y1y2 m 2，m2，即点 M(2，0)又 SABOSAMOSBMO12|OM|y1|12|OM|y2|y1y2，SAFO12|OF|y1|18y1，SABO SAFOy1y218y198y12y1298y12y13，当且仅当 y143时，等号成立答案 (1)D(2)B 规律方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式
45、|AB| x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求” 、“整体代入 ”、“点差法 ” 以及定义的灵活应用3.已知抛物线C：y22px(p0)过点 A(1， 2)(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O 为坐标原点 )的直线l，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由解： (1)将(1， 2)代入 y22px，得(2)22p3 1
46、，所以 p2.故所求的抛物线C 的方程为y24x，其准线方程为x 1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y 2xt，由y 2xt，y24x，得 y22y2t0.因为直线 l 与抛物线C 有公共点，所以 48t0，解得 t12.另一方面，由直线OA 与 l 的距离 d55，可得|t|555，解得 t 1.因为 1?12， ， 112， ，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2xy10. 考题溯源 抛物线方程的应用(x 高考 x 卷 )如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m，水面宽 4 m水位下降1 m 后，水面宽 _m. 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为
47、x2 2py(p0)，则 A(2，2)，将其坐标代入x2 2py，得 p1. x2 2y.当水面下降1 m，得 D(x0， 3)(x00)，将其坐标代入x2 2y，得 x206，x06.水面宽 |CD|26 m.答案 2 6 考题溯源 本考题就是教材人教A 版选修 2-1 P74习题 A 组 T8原题某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为 20 米，拱顶距水面6 米，桥墩高出水面4 米，现有一货 船 欲过此桥孔，该货船水下宽度不超过18 米，目前吃水线上部分中央船体高5 米，宽 16 米，且该货船在现在状况下还可多装1 000 吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就
48、要上升0.04 米，若不考虑水下深度，问 ： 该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔，为什么？解： 建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为yax2，由题意知点A(10， 2)在抛物线上，代入方程求解，得a150，方程即为y150 x2.让船沿正中央航行，船宽16 米，而当x8 时， y1503 82 1.28，此时抛物线上的点 B距离水面 1.2864.72(米)，又船体水面以上高度为5 米，所以无法通过；又54.720.28(米)， 0.280.047， 1503 71 050 吨，故至少应再装1 050 吨货物才能通过，而现在只能多装1 000吨，故无法通过，只能等到水位下降. 1已
49、知m，n，mn 成等差数列，m， n，mn 成等比数列，则抛物线mx2ny 的焦点坐标是 () A(0，12)B(12，0) C(0，14) D(14，0) 解析： 选 A.由题意知， 2nmm n 且 n2m mn，解得m 2，n4，故抛物线为x22y，其焦点坐标为(0，12)2已知抛物线C 与双曲线x2y21 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是 () Ay2 22xBy2 2xCy2 4xDy2 4 2x解析： 选 D.因为双曲线的焦点为(2，0)，(2，0)设抛物线方程为y2 2px(p0)，则p22，所以p22，所以抛物线方程为y2 4 2x. 3(x 高考课标全国卷)设
50、 F 为抛物线C： y2 3x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交 C 于 A，B 两点，则 |AB|() A.303B6 Cx D73 解析： 选 C.F 为抛物线 C：y23x 的焦点，F34， 0 ，AB的方程为y0 tan 30 x34，即 y33x34.联立y23x，y33x34，得13x272x3160.x1x27213212，即 xAxB212.由于 |AB|xAxBp，所以 |AB|21232x. 4已知点A(2，0)，抛物线C：x24y 的焦点为F，射线 FA 与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N，则 |FM |MN|() A25 B12 C15 D13 解析： 选