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1、高考数学概率及统计部分学问点梳理一、概率：随机事务A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.随机事务的概率，其中当时称为必定事务；当时称为不行能事务P(A)=0； 注：求随机概率的三种方法：一枚举法 例1如图1所示，有一电路是由图示的开关限制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的随意两个开关，使电路形成通路那么使电路形成通路的概率是 分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的随意两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，依据概率的意义计算即可。解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10种，分别是ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de
2、，其中能形成通路的有6种，所以p(通路)= 评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事务的概率计算.二树形图法例2小刚和小明两位同学玩一种嬉戏嬉戏规那么为：两人各执“象、虎、鼠三张牌，同时各出一张牌定输赢，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，假设两人所出牌一样，那么为平局例如，小刚出象牌，小明出虎牌，那么小刚胜；又如， 两人同时出象牌，那么两人平局假如用A、B、C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A1、B1、C1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？ 分析：为了清晰地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出全部可能出现的结果，并从中找出小刚
3、胜小明可能出现的结果数。解：画树状图如图树状图。由树状图树形图或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性一样，其中小刚胜小明的结果有3种所以P一次出牌小刚胜小明=点评:当一事务要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出全部可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率三列表法例3将图中的三张扑克牌反面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数请你用画树形状图或列表的方法求：1组成的两位数是偶数的概率；2组成的两位数是6的倍数的概率分析：此题可通过列表的方法，列出全部可能组成的两位数的可能状况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能状况和组成两位数 是6的倍
4、数的可能状况。解：列的表格如下：依据表格可得两位数有：23，24，32，34，42，43所以1两位数是偶数的概率为2两位数是6的倍数的概率为点评：当一事务要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出全部可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率2.等可能事务的概率古典概率： P(A)=。3、互斥事务：A、B互斥，即事务A、B不行能同时发生。计算公式：P(A+B)P(A)+P(B)。4、对立事务：A、B对立，即事务A、B不行能同时发生，但A、B中必定有一个发生。计算公式是：PA+ P(B)；P()=1P(A)；5、独立事务：事务A、B的发生互相独立，互不影响P(AB)P(A) P(B) 。提示：1
5、假如事务A、B独立，那么事务A及、及及事务及也都是独立事务；2假如事务A、B互相独立，那么事务A、B至少有一个不发生的概率是1PAB1P(A)P(B)；3假如事务A、B互相独立，那么事务A、B至少有一个发生的概率是1P1P()P()。6、独立事务重复试验：事务A在n次独立重复试验中恰好发生了次的概率(是二项绽开式的第k+1项)，其中为在一次独立重复试验中事务A发生的概率。提示：1探求一个事务发生的概率，关键是分清事务的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事务：转化为等可能事务的概率(经常采纳排列组合的学问)；转化为假设干个互斥事务中有一个发生的概率；利
6、用对立事务的概率，转化为互相独立事务同时发生的概率；看作某一事务在n次试验中恰有k次发生的概率，但要留意公式的运用条件。2事务互斥是事务独立的必要非充分条件，反之，事务对立是事务互斥的充分非必要条件；3概率问题的解题标准：先设事务A=“， B=“；列式计算；作答。二、随机变量.1. 随机试验的构造应当是不确定的.试验假如满意下述条件：试验可以在一样的情形下重复进展；试验的全部可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果。它就被称为一个随机试验.也是一个随机变量.一般地，假设是随机变量，是连续函数或单调函数，那么也是
7、随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量可能取的值为：取每一个值的概率，那么表称为随机变量的概率分布，简称的分布列.P有性质：； .留意：假设随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取05之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. 二项分布：假如在一次试验中某事务发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事务恰好发生k次的概率是：其中 于是得到随机变量的概率分布如下：我们称这样的随机变量听从二项分布，记作Bnp，其中n，p为参数，并记.二项分布的推断及应用.二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事务是否是进展n次独立重
8、复，且每次试验只有两种结果，假如不满意此两条件，随机变量就不听从二项分布.当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“表示在第k次独立重复试验时，事务第一次发生，假如把k次试验时事务A发生记为，事A不发生记为，那么.依据互相独立事务的概率乘法分式：于是得到随机变量的概率分布列.123kPq qp 我们称听从几何分布，并记，其中5. 超几何分布：一批产品共有N件，其中有MMN件次品，今抽取件，那么其中的次品数是一离散型随机变量，分布列为.分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品
9、中取n-k件的取法数，假如规定时，那么k的范围可以写为k=0，1，n.超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件1na+b，那么次品数的分布列为.超几何分布及二项分布的关系.设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数听从超几何分布.假设放回式抽取，那么其中次品数的分布列可如下求得：把个产品编号，那么抽取n次共有个可能结果，等可能：含个结果，故，即.我们先为k个次品选定位置，共种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.三、
10、数学期望及方差.1. 期望的含义：一般地，假设离散型随机变量的概率分布为P那么称为的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均程度.2. 随机变量的数学期望： 当时，即常数的数学期望就是这个常数本身.当时，即随机变量及常数之和的期望等于的期望及这个常数的和.当时，即常数及随机变量乘积的期望等于这个常数及随机变量期望的乘积.01Pqp单点分布：其分布列为：. 两点分布：，其分布列为：p + q = 1二项分布： 其分布列为.P为发生的概率几何分布： 其分布列为.P为发生的概率、标准差的定义：当随机变量的分布列为时，那么称为的方差. 明显，故为的方差及标准差
11、都反映了随机变量取值的稳定及波动，集中及离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.4.方差的性质.随机变量的方差.a、b均为常数01Pqp单点分布： 其分布列为两点分布： 其分布列为：p + q = 1二项分布：几何分布： 5. 期望及方差的关系.假如和都存在，那么设和是互相独立的两个随机变量，那么期望及方差的转化： 因为为一常数.四、正态分布.根本不列入考试范围1.密度曲线及密度函数：对于连续型随机变量，位于x轴上方，落在任一区间及直线所围成的曲边梯形的面积如图阴影部分的曲线叫的密度曲线，以其作为图像的函数叫做的密度函数，由于“是必定事务，故密度曲线及x轴所夹部分面积等于1.2. 正态分布及正
12、态曲线：假如随机变量的概率密度为：. 为常数，且，称听从参数为的正态分布，用表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.正态分布的期望及方差：假设，那么的期望及方差分别为：.正态曲线的性质.曲线在x轴上方，及x轴不相交.曲线关于直线对称.当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低的钟形曲线.当时，曲线上升；当时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延长时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.当确定时，曲线的形态由确定，越大，曲线越“矮胖.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高，表示总体的分布越集中.3. 标准正态分布：假如随机变量的概率函数为，那
13、么称听从标准正态分布. 即有，求出，而Pab的计算那么是.留意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有.比方那么必定小于0，如图. 正态分布及标准正态分布间的关系：假设那么的分布函数通常用表示，且有. 4.“3原那么.假设检验是就正态总体而言的，进展假设检验可归结为如下三步：提出统计假设，统计假设里的变量听从正态分布.确定一次试验中的取值是否落入范围.做出推断：假如，承受统计假设. 假如，由于这是小概率事务，就回绝统计假设.“3原那么的应用：假设随机变量听从正态分布那么 落在内的概率为99.7 亦即落在之外的概率为0.3，此为小概率事务，假如此事务发生了，就说明此种产品不合格即不听从正态分布.