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1、一, 集合及简易逻辑一集合的有关概念1集合分类：有限集, 无限集, 空集。性质 确定性：互异性：无序性：2常用数集 复数集C 实数集R 整数集Z 自然数集N 正整数集或N+ 有理数集Q3元素及集合的关系：4集合及集合的关系：子集：假设对随意都有或对随意都有 那么A是B的子集。 记作： 真子集：假设，且存在，那么A是B的真子集。 记作：B或“ AB，BC AC空集：不含任何元素的集合，用表示，对任何集合A有，假设那么A注：5子集的个数假设，那么A的子集个数, 真子集的个数, 非空真子集的个数分别为2n个，2n -1个和2n -2个。二集合的运算1有关概念交集： 并集：全集：假如集合S含有我们所要
2、探讨的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U表示。补集：5不等式同解变形原理：即 3, 不等式的解集都要用集合形式表示，不要运用不等式的形式。4, 简洁分式不等式的解法 5, 简洁的高次不等式的解法：用数轴标根法解。五, 逻辑联结词及四种命题一逻辑联结词四种命题1命题：可以推断真假的语句叫做命题2逻辑联结词：“或, “且, “非这些词叫做逻辑联结词。或：两个简洁命题至少一个成立 且：两个简洁命题都成立， 非：对一个命题的否认3简洁命题及复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简洁命题；由简洁命题及逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。4表示形式：用小写的拉丁字母p, q, r, s来表
3、示简洁的命题，复合命题的构成形式有三类：“p或q, “p且q, “非p5真值表：表示命题真假的表叫真值表；复合命题的真假可通过下面的真值表来加以判定。pq非pP或qP且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假二四种命题1一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否认。于是四种命题的形式为：互逆原命题假设p那么q逆命题假设q那么p否命题假设那么逆否命题假设那么互 为为互 否逆逆 否互否互否互 逆原命题：假设p那么q逆命题：假设q那么p否命题：假设p那么q逆否命题：假设q那么p2四种命题的关系：3一个命题的真假及其它三个命题的真假有如下四条关系：1原命题为真，它的逆命题
4、不肯定为真。2原命题为真，它的否命题不肯定为真。3原命题为真，它的逆否命题肯定为真。4逆命题为真，否命题肯定为真。三几点说明1逻辑联结词“或的理解是难点，“或有三层含义：以“P或q为例：一是p成立但q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q成立，2对命题的否认只是否认命题的结论，而否命题既否认题设又否认结论3真值表 P或q：“一真为真， P且q：“一假为假4互为逆否命题的两个命题等价，为命题真假判定供应一个策略。5反证法运用的两个难点：1何时运用反证法 2如何得到冲突。六, 充要条件一充分条件, 必要条件和充要条件1充分条件：假如A成立那么B成立，那么条件A是B成立的充分条件。2必要条件：
5、假如A成立那么B成立，这时B是A的必定结果，那么条件B是A成立的必要条件。3充要条件：假如A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，那么A是B成立的充要条件；同时B也是A成立的充要条件。二充要条件的推断1假设成立那么A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件。2假设且BA，那么A是B成立的充分且不必要条件，B是A成立必要且非充分条件。3假设成立那么A, B互为充要条件。证明A是B的充要条件，分两步：1充分性：把A当作条件，结合命题的前提条件推出B；2必要性：把B当作条件，结合命题的前提条件推出A。(三)给定两个命题，p, q, 可以考虑集合A=xx满意p,B=xx满意q,那么有1 假设AB
6、，那么p 是q的充分条件。2 假设AB，那么p 是q的必要条件。3假设A=B，那么p 是q的充要条件。 记住：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围。 二, 立体几何学问点总结一 , 空间几何体一 空间几何体的类型二 几种空间几何体的构造特征 1 , 棱柱的构造特征 1.1 棱柱的定义：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。图1-1 棱柱 1.2 棱柱的分类棱柱底面是四边形四棱柱底面是平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面是矩形长方体底面是正方形正四棱柱棱长都相等正方体性质：, 侧面都是平行四边形，且各侧棱相
7、互平行且相等； , 两底面是全等多边形且相互平行；, 平行于底面的截面和底面全等； 棱柱的面积和体积公式是底周长，是高S直棱柱外表 = ch+ 2S底 V棱柱 = S底 h2 , 棱锥的构造特征 2.1 棱锥的定义 1 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。2正棱锥：假如有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的构造特征ABCDPOH , 平行于底面的截面是及底面相像的正多边形，相像比等于顶点到截面的距离及顶点究竟面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高及原棱锥的高的平方比；截得
8、的棱锥的体积及原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高及原棱锥的高的立方比；, 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥侧面积：为底周长，为斜高体积：为底面积，为高3 , 棱台的构造特征3.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的局部称为棱台。3.2 正棱台的构造特征 1各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；2正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； 3正棱台的对角面也是等腰梯形； 4各侧棱的延长线交于一点。4 , 圆柱的构造特征4.1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。4.2 圆柱的性质1上
9、, 下底及平行于底面的截面都是等圆； 2过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。4.3 圆柱的侧面绽开图：圆柱的侧面绽开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。4.4 圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面 = 2rh (r为底面半径，h为圆柱的高)S圆柱全 = 2 r h + 2 r2 V圆柱 = S底h = r2h5, 圆锥的构造特征图1-5 圆锥5.1 圆锥的定义：以直角三角形的始终角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。5.2 圆锥的构造特征 1 平行于底面的截面都是圆，截面直径及底面直径之比等于顶点到截面的距离及顶点究竟面的距离之比； 2轴截面是等腰三角形； 3母线的平
10、方等于底面半径及高的平方和：l2 = r2 + h2 5.3 圆锥的侧面绽开图：圆锥的侧面绽开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。6, 圆台的构造特征 6.1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的局部称为圆台。 6.2 圆台的构造特征 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆； 圆台的截面是等腰梯形； 圆台常常补成圆锥，然后利用相像三角形进展探讨。 6.3 圆台的面积和体积公式S圆台侧 = (R + r)l (r, R为上下底面半径)S圆台全 = r2 + R2 + (R + r)lV圆台 = 1/3 ( r2 + R2 + r R) h (h为圆台高) 7 球
11、的构造特征7-1 球的面积和体积公式 S球面 = 4 R2 (R为球半径) V球 = 4/3 R3三空间几何体的外表积及体积空间几何体的外表积棱柱, 棱锥的外表积：各个面面积之和圆柱的外表积 ： 圆锥的外表积：圆台的外表积： 球的外表积：扇形的面积公式其中表示弧长，表示半径，表示弧度空间几何体的体积柱体的体积 ： 锥体的体积 ： 台体的体积 ： 球体的体积： 二 , 点, 直线, 平面之间的关系1, 线线平行的推断： 1, 平行于同始终线的两直线平行。3, 假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。6, 假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们
12、的交线平行。 12, 垂直于同一平面的两直线平行。2, 线线垂直的推断： 7, 在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。8, 在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。10, 假设始终线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内全部直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。3, 线面平行的推断： 2, 假如平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。5, 两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。判定定理：性质定理：推断或证明线面平行的方法 利用定义(反证法)
13、：，那么 (用于推断)； 利用判定定理：线线平行线面平行 (用于证明)； 利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明)； 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于推断)。2 线面斜交和线面角： = A图2-3 线面角2.1 直线及平面所成的角(简称线面角)：假设直线及平面斜交，那么平面的斜线及该斜线在平面内射影的夹角。 2.2 线面角的范围：0，90 留意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，=0； 当直线垂直于平面时，=904, 线面垂直的推断： 假如始终线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。假如两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。始终线垂直于两
14、个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。假如两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面。判定定理：性质定理：1假设直线垂直于平面，那么它垂直于平面内随意一条直线。即： 2垂直于同一平面的两直线平行。 即：推断或证明线面垂直的方法 利用定义，用反证法证明。 利用判定定理证明。 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，那么另一条直线也垂直及平面。 一条直线垂直于两平行平面中的一个，那么也垂直于另一个。 假如两平面垂直，在一平面内有始终线垂直于两平面交线，那么该直线垂直于另一平面。5, 面面平行的推断： 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。垂直于同一条
15、直线的两个平面平行。6, 面面垂直的推断： 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面相互垂直。判定定理： 性质定理：1假设两面垂直，那么这两个平面的二面角的平面角为90；图2-10 面面垂直性质223 图2-11 面面垂直性质34 二, 其他定理：1确定平面的条件：不公线的三点；直线和直线外一点；相交直线； 平行直线；2直线及直线的位置关系： 相交 ； 平行 ； 异面 ；直线及平面的位置关系： 在平面内 ； 平行 ； 相交垂直是它的特别状况 ；平面及平面的位置关系： 相交 ； 平行 ；3等角定理：假如两个角的两边分别平行且方向一样，那么这两个角相等；假如两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，
16、那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；4射影定理斜线长, 射影长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。5最小角定理：斜线及平面内全部直线所成的角中最小的是及它在平面内射影所成的角。6异面直线的判定：反证法；过平面外一点及平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。7过点及一条直线垂直的直线都在过这点及这条直线垂直平面内。8假如直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。三, 唯一性定理：1过点，有且只能作始终线和平面垂直。2过平
17、面外一点，有且只能作一平面和平面平行。3过两条异面直线中的一条能且只能作一平面及另一条平行。四, 空间角的求法：全部角的问题最终都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形1异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：；2线面所成的角：线面平行或直线在平面内：线面所成的角为； 线面垂直：线面所成的角为；线面所成的角范围留意：求点到面的距离的方法：干脆法：干脆确定点到平面的垂线段长垂线段一般在二面角所在的平面上；转移法：转化为另一点到该平面的距离利用线面平行的性质；体积法：利用三棱锥体积公式。三, 圆锥曲线方程 学问要点一, 椭圆方程.1
18、. 椭圆方程的第肯定义：椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：. ii. 中心在原点，焦点在轴上：. 一般方程：.椭圆的标准方程：的参数方程为一象限应是属于.顶点：或.轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长.焦点：或.焦距：.准线：或.离心率：.通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.假设P是椭圆：上的点.为焦点，假设，那么的面积为用余弦定理及可得 二, 双曲线方程.1. 双曲线的第肯定义：双曲线标准方程：. 一般方程：.i. 焦点在x轴上：顶点： 焦点： 准线方程 渐近
19、线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. 离心率. 准线距两准线的距离；通径. 参数关系. 等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.共轭双曲线：以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做双曲线的共轭双曲线.及互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为假如双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.三, 抛物线方程.3. 设，抛物线的标准方程, 类型及其几何性质：图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点 0，0离心率焦点注：顶点.那么焦点半径;
20、那么焦点半径为.通径为2p，这是过焦点的全部弦中最短的.四, 圆锥曲线的统肯定义.4. 圆锥曲线的统肯定义：平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线；当时，轨迹为圆，当时.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线及双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD及BC的中点重合即可.注：椭圆, 双曲线, 抛物线的标准方程及几何性质椭圆双曲线抛物线定义1到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹1到两定点F1,F2的距离之差的肯定值为定值2a(02a
21、|F1F2|)的点的轨迹2及定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.0e1及定点和直线的距离相等的点的轨迹.方程标准方程(0)(a0,b0)y2=2px参数方程(t为参数)范围axa，byb|x| a，yRx0中心原点O0，0原点O0，0顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)焦距2c c=2c c=离心率e=1准线x=x=渐近线y=x焦半径通径2p焦参数P1. 方程y2=ax及x2=ay的焦点
22、坐标及准线方程.2. 共渐近线的双曲线系方程.四, 导 数 学问要点1. 导数导函数的简称的定义：设是函数定义域的一点，假如自变量在处有增量，那么函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均改变率注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.2. 导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为3. 求导数的四那么运算法那么：为常数5. 复合函数的求导法那么：或复合函数的求导法那么可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，假如0，那么为增函数
23、；假如0，那么为减函数.常数的判定方法；假如函数在区间内恒有=0，那么为常数.注：是fx递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x=0时fx = 0，同样是fx递减的充分非必要条件.一般地，假如fx在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正或负，那么fx在该区间上照旧是单调增加或单调削减的.7. 极值的判别方法：极值是在旁边全部的点，都有，那么是函数的极大值，微小值同理当函数在点处连续时，假如在旁边的左侧0，右侧0，那么是极大值；假如在旁边的左侧0，右侧0，那么是微小值.也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0.注： 假设点是可导函数的极值点，那么=0. 但反过来不肯定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是假设函数在该点可导，那么导数值为零.例如：函数，使=0，但不是极值点.例如：函数，在点处不行导，但点是函数的微小值点.8. 极值及最值的区分：极值是在局部对函数值进展比拟，最值是在整体区间上对函数值进展比拟.注：函数的极值点肯定有意义.9. 几种常见的函数导数：I.为常数 II.