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1、竞赛试题选讲之六：立体几何一、选择题部分1. 2006吉林预赛正方体A1B1C1D1中，过顶点A1作直线l，使l及直线和直 线1所成的角均为60，那么这样的直线l的条数为 C A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于32.2006陕西赛区预赛如图2，在正方体中，P为棱上一点，过点P在空间作直线l，使l及平面和平面均成角，那么这样的直线l的条数为B A. 1 B .2 C. 3 D .43(集训试题)设O是正三棱锥底面是三角形的中心，过O的动平面及交于S，及、的延长线分别交于Q、R，那么和式 A有最大值而无最小值B有最小值而无最大值C既有最大值又有最小值，两者不等D是一个及面无关的常数解：设正三
2、棱锥中，各侧棱两两夹角为，及面所成角为，那么)。另一方面，记O到各面的间隔 为d，那么，S，故有：()，即=常数。应选D。42006年江苏过空间肯定点的直线中，及长方体的12条棱所在直线成等角的直线共有CA0条B1条C4条D多数多条5.2006天津为四面体的侧面内的一个动点，且点及顶点的间隔 等于点究竟面的间隔 ，那么在侧面内，动点的轨迹是某曲线的一部分，那么该曲线肯定是 D A圆或椭圆 B椭圆或双曲线 C双曲线或抛物线 D抛物线或椭圆62006年南昌市四棱锥的底面是单位正方形(按反时针方向排列),侧棱垂直于底面,且,记,那么CABCD72005年浙江正方体的截平面不行能是： (1) 钝角三角
3、形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形； 下述选项正确的选项是BA(1)(2)(5) B(1)(2)(4) C(2)(3)(4) D(3)(4)(5) 【解】 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不行能是钝角三角形，直角三角形证明略；对四边形来讲，可以是梯形等腰梯形、平行四边形、菱形，矩形、但不行能是直角梯形证明略；对五边形来讲，可以是随意五边形，不行能是正五边形证明略；对六边形来讲，可以是六边形正六边形。 选 【 B 】8(2005全国)如图，为正方体。任作平面及对角线垂直，使得 及正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面
4、积为S，周长为.那么 AS为定值，不为定值 BS不为定值，为定值CS及均为定值 DS及均不为定值解：将正方体切去两个正三棱锥后，得到一个以平行平面为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别及V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个，而多边形W的周界绽开后便成为一条及平行的线段如图中，明显，故为定值.当位于中点时，多边形W为正六边形，而当移至处时，W为正三角形，易知周长为定值的正六边形及正三角形面积分别为及，故S不为定值。选B.9.2006浙江省在正2006边形中，及全部边均不平行的对角线的条数为CA2006 B CD.解：
5、正2n边形，对角线共有 条.计算及一边平行的对角线条数，因，及平行的对角线的端点只能取自24个点，平行线共2条。故及某一边平行的对角线共n(2)条。由此可得及任何边都不平行的对角线共有n(23)(2)(1)条。 因此正确选项是 C.1,3,5102005四川如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形。那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有120条.解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，共，其中全部的棱都在原立方体的外表，有36条.原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以连条，6个面共120条都在原立方体的外表，除此之外的直线都在原立方
6、体的内部.1,3,51,3,5二、填空题部分12006年南昌市棱长为1的正四面体在程度面上的正投影面积为,那么的最大值为.22006天津在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，假设小球在盒内随意地运动，那么小球达不到的空间的体积的大小等于 32006年上海在中，过边上一点D作直线，及边或者相交于点E，使得，且将的面积两等分，那么 42006年上海在直三棱柱中，底面积为s平方米，三个侧面面积分别为m平方米，n平方米，p平方米，那么它的体积为 立方米52006陕西赛区预赛用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能包容得下的最大球的半径为，能包涵
7、此框架的最小球的半径为，那么等于 .62006年江苏长方体中，那么对角线的取值范围是 第7题图7(2005全国)如图，四面体的体积为，且满意 那么.解：即又等号当且仅当时成立，这时面，.82004 全国如图、正方体中，二面角的度数是.解：连结，垂足为E，延长交于F，那么， 连结，由对称性知是二面角的平面角.连结，设1，那么中，在.的补角，.【原创】2021年高考立体几何问题探讨综述直线、平面、简洁几何体是高考的必考内容。一般以客观题的形式考察根底学问，以解答题的形式考察综合问题。2021年高考立体几何的考点主要包括：空间位置关系的推断及论证，空间角及间隔 的计算，直线、平面、简洁几何体及其它学
8、问的交汇及运用等。试题设置形式和数量不一：有12份试卷是“两小一大共三道题、4份试卷是“一小一大共两道题、全国和四川卷是“三小一大共四道题、江苏卷仅一道大题，分值由1327不等，平均分缺乏22，题目难度一般仍在中等左右。1、客观题的考察探讨11、线面位置关系的推断问题例1. 湖南5设有直线m、n和平面、.以下四个命题中，正确的选项是( )m,那么mn,那么，m,那么m，m，m,那么m解析 对每个选支逐一分析推断，可得正确答案D。评注 此题综合考察直线及直线、直线及平面、平面及平面的位置关系，同类的还有天津5、安徽4。线面位置关系的推断是立体几何的根本学问和根本技能，是高考的必考内容，多出如今填
9、空、选择题中。12、几何元素的计数问题abcEFG图1例2.辽宁11在正方体1B1C1D1中，E，F分别为棱1，1的中点，那么在空间中及三条直线A1D1，都相交的直线 A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有多数条解析 方法1：易知三条异面直线A1D1，平行于同一平面，记它们依次为,在直线a上任取一点E，过E作直线如图1。设直线确定平面，直线确定平面，又两平面有公共点E，故它们必交于过E的一条直线。在内直线及交于E，那么必及的平行线b相交，记交点为F；同理记直线及c的交点为G，那么直线及直线分别交于点E，F，G。因为点E是任取的，故这样的直线有多数条。方法2：过直线a的平面旋转扫过全空间时，除
10、去及都平行的平面外，其余位置上的平面都及同时相交记交点为M，N，这些同时及相交的平面中，除一个会出现a外，其余的直线都及直线a相交，因此这样的直线有多数条。方法3：在直线上任取一点P，那么P及直线A1D1确定一个平面，该平面及直线必有交点，记为Q，直线及直线A1D1共面且不平行，故它们必有交点，这样直线及直线A1D1，都相交，又直线随P的改变而改变，故这样的直线有多数条。评注 此题以正方体为载体探讨三条异面直线有公共交线的问题，有肯定的难度，极易错选为C3条直线为，同类的试题还有四川。例2源于“1997年全国高中联赛题：假如空间三条直线两两成异面直线，那么，及直线都相交的直线有DA0条，B1条
11、，C多于1的有限条，D无穷多条。此赛题中的直线可以不共面，故可“不妨构造平行六面体求解，而例2不行用这种方法求解。几何元素的计数问题可较好地考察空间想象实力和思维的发散实力。13、组合体问题例3.1江西16如图2，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。假如将容器倒置，水面也恰好过点图3。有以下四个命题：图2图3A正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B将容器侧面程度放置时，水面也恰好过点C随意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点D假设往容器内再注入升水，那么容器恰好能装满其中真命题的代号是： 写出全部真命题的代号图42海南
12、15一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为 3重庆 9)如图4，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且及大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点1为小球相交部分图中阴影部分的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，那么以下关系中正确的选项是 AV1= (B) V2= CV1 V2DV1 V2解析 1、图2中设底面积为S，正四棱锥的高为h，那么，故A错；侧放时，有一半的水填在空白，而水的体积及上面空白体积相等，故B对；随意摆放时，如水面及正四棱锥的
13、侧面平行时，水面不会恰好是侧面，因此水面不会恰好过点；由两次操作可知D正确，因此填。2、设该六棱柱的高为h。由底面正六边形的周长为3，得底面边长为，过底面中心的对角线长为1，底面正六边形面积为，那么有。过底面中心和球心的六棱柱的截面矩形的对角线即球的直径为2，故球的体积为。3、设小球半径为r，那么大球半径为2r， ， ，应选D。评注 1是多面体及多面体的组合，其过程和结果都具有开放性；2是多面体及球的组合，关键是找准最正确截面；3是球及球的组合，无需求出详细的V1及V2。球的学问在2021年的高考中考察相当多，理科19套数学卷中有12套考察了球的问题，主要考察求间隔 如安徽16、湖南9等考球面
14、间隔 、面积如四川、山东6等和体积等。它们有的单独考察，有的以球为载体综合考察。组合体问题有利于考察学生的解题目的意识、运动改变思想、问题或图形的分解及重组实力，以及综合解决问题的实力。14、交汇性问题高考命题以实力立意，留意在学问的交汇处命制试题。因此交汇型试题在近年的高考中频繁出现， 2021年高考立体几何中的交汇型客观试题有如下特点。141、及简易逻辑交汇例5 天津4设是两条直线，是两个平面，那么的一个充分条件是A B C D解析 题设条件比较零散，宜逐一检验：A和D中a及b的位置关系不确定；B中a及b平行；C中a b，应选C评注 简易逻辑学问年年考，这是干脆考察还如上海13，但多是融入
15、大题中隐性考察。142、及平面几何学问类比交汇例6.全国卷16平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件 ；充要条件 写出你认为正确的两个充要条件解析 可对平行四边形的两个详细的充要条件进展类比推广，如答案可为：两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形等评注 此题是有限度的开放性问题，它将平面几何中平行四边形的断定定理类比推广到立体几何的四棱柱中。不过并非全部平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这须要考生具有较好的根底学问和敏锐的洞察力。143、及函数交汇例
16、7.北京8如图5，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，及正方体外表相交于设，那么函数的图象大致是 ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO解析 设的中点分别为E，F，连结，那么点N在折线上，且当N在上时有，故，所以，又正方体中的为定值，故的轨迹为直线，解除C，D；又y的最大值只在时获得，应选B。评注 此题将一次函数寓于正方体中，考察最根本的三角形相像、三角函数、直线方程等学问，将数及形较好地结合在一起。2021年高考理科立几客观题中，还有及三角函数都是正弦或余弦的交汇题5道，如全国16、全国10、福建6等。144、及不等式交汇例8 海南12某几何体的一条棱长为，
17、在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图及俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，那么a + b的最大值为 A. B. C. 4 D. ABCD图6解析 假设这条棱是长方体的体对角线A，如图6，设,那么其在正视图、侧视图及俯视图中的投影分别是D、B及,故有，又，代入整理得，所以，应选C。评注 此题以三视图为载体，将长方体的体对角线及三条互不相等的面对角线奇妙地联络在一起，考察三视图学问以及运用不等式学问求线段和的最值问题，三视图试题还有广东5和山东6。145、及解析几何交汇ABP图7例9浙江10如图7，是平面的斜线段，为斜足，假设点在平面内运动，使得的面积为定值
18、，那么动点的轨迹是 A圆 B椭圆C一条直线 D两条平行直线解析 干脆求点的轨迹方程是不现实的。 的面积为定值，把定线段看作底，那么P到的间隔 为定值，故P点在一个圆柱上；又P点在平面上，所以P点的轨迹是该平面斜截该圆柱的交线椭圆，应选B。评注 此题由空间图形生成圆锥曲线，考察用交轨法求轨迹，以及数形结合、空间想象和问题转化的实力。146、及排列组合交汇ABC图8例10 重庆16某人有4种颜色的灯泡每种颜色的灯泡足够多，要在图8的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，那么每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种用数字作答.解析 方法1：设4种颜色的
19、灯泡为, 因为共顶点的3条线段的4个顶点的灯泡不同色，故有种；如设点A、A1、B、C依次放灯泡,，那么C1可放a或b，假设C1放a那么B1放c；假设C1放b那么B1放a或c,即此时B1，C1有3种按法；又图中有6个顶点，上述过程中都计算重复了一次，所以每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种。方法2：分3类求解，四点装四种不同颜色的灯泡，有=48；四点装三种不同颜色的灯泡，有=144；四点装2种不同颜色的灯泡，有=24。所以共有48+144+24=216种方法。评注 图8就是一个三棱台，要留意条件“同一条线段两端的灯泡不同色的限制，还可以绘树状图求解。此题考察排列组合学问的综合运用、分类探讨的思想方法、逻辑推理实力，以及数学的应用性及思维的深入性。