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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思竞赛试题选讲之六：立体几何一、选择题部分1. （ 2006 吉林预赛） 正方体 ABCD A1B1C1D1中，过顶点A1作直线 l，使 l 与直线 AC 和直线 BC1所成的角均为60 ，则这样的直线l 的条数为（ C ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于 3 2.（2006 陕西赛区预赛）如图 2，在正方体1111ABCDA B C D中， P 为棱AB 上一点，过点 P 在空间作直线l，使 l 与平面 ABCD 和平面 AB11C D均成030角，则 这 样 的 直线 l 的条数为（ B）A. 1 B .2 C. 3 D .4 3(集训试题 )设
2、 O 是正三棱锥P-ABC 底面是三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于 S，与 PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式PSPRPQ111（）A有最大值而无最小值B有最小值而无最大值C既有最大值又有最小值，两者不等D是一个与面QPS 无关的常数解：设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为 ， PC 与面PAB 所成角为 ，则vS-PQR=31SPQR h=21(31PQPRsin)PSsin。另一方面， 记 O 到各面的距离为d，则 vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，31SPQRd=31PRSd+31SPRSd+31PQSd=213dPQPRsin+213dP
3、SPRsin+213dPQPSsin，故有： PQPRPSsin=d(PQPR+PRPS+PQPS)，即dPSPRPQsin111=常数。故选D。4 （20XX 年江苏） 过空间一定点P的直线中，与长方体1111ABCDA B C D的 12 条棱所在直线成等角的直线共有（ C）A0 条B1 条C4 条D无数多条5.（2006 天津） 已知P为四面体ABCS的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是（ D ）A圆或椭圆B椭圆或双曲线C双曲线或抛物线D抛物线或椭圆6 （20XX 年南昌市） 四棱锥PA
4、BCD的底面ABCD是单位正方形(,A B C D按反时针方向排列),侧棱PB垂直于底面 ,且PB3,记APD,则sin（ C）A22B33C55D667 （20XX 年浙江） 正方体的截平面不可能 是：(1) 钝角三角形(2) 直角三角形(3) 菱形(4) 正五边形(5) 正六边形；下述选项正确的是（B）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思A(1)(2)(5) B(1)(2)(4) C(2)(3)(4) D(3)(4)(5) 【解】正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边
5、三角形，但不可能是钝角三角形，直角三角形（证明略） ；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形，矩形、但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，可以是任意五边形，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形） 。选 【 B 】8(2005 全国 )如图，DCBAABCD为正方体。任作平面与对角线CA垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（）AS为定值，l不为定值BS 不为定值，l为定值CS与l均为定值DS 与l均不为定值解：将正方体切去两个正三棱锥AA BD与CD B C后，得到一个以平行平面A BDD B C与
6、为上、下底面的几何体V，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将 V 的侧面沿棱BA剪开，展平在一张平面上，得到一个11ABBA，而多边形W 的周界展开后便成为一条与1AA平行的线段（如图中1EE） ，显然11AAEE，故l为定值 . 当E位于BA中点时， 多边形 W 为正六边形， 而当E移至A处时， W 为正三角形， 易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为2243l与2363l，故 S不为定值。选B. 9.（2006 浙江省） 在正 2006 边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（C）A2006 B21003C100310032
7、D100210032. 解：正 2n 边形nAAA221，对角线共有)32()32(221nnnn条. 计算与一边21AA平行的对角线条数，因2121/nnAAAA，与21AA平行的对角线的端点只能取自2n-4 个点，平行线共n-2 条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1) 条。因此正确选项是C. 10 （2005 四川） 如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形。那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有120 条. 解：据题意新的立体图形中共有24 个顶点，每两点连一条线，共
8、2762312224C，其中所有的棱都在原立方体的表面，有 36 条.原立方体的每个面上有8 个点，除去棱以外，还可以连20285条， 6 个面共 120 条都在原立方体的表面，除此之外的直线都在原立方体的内部. 二、填空题部分1 （20XX 年南昌市） 棱长为 1 的正四面体在水平面上的正投影面积为s,则s的最大值为 _12_. 2 （2006 天津） 在一个棱长为5 的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1 的小球，若小球在盒内任意地运动，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思则小球
9、达不到的空间的体积的大小等于331443 （20XX 年上海） 在 ABC 中，已知30 ,105AB，过边 AC 上一点 D 作直线 DE，与边 AB 或者BC 相交于点E，使得60CDE，且 DE 将 ABC 的面积两等分，则2CDAC364 （20XX 年上海） 在直三棱柱中，已知底面积为s 平方米，三个侧面面积分别为m 平方米， n 平方米， p 平方米，则它的体积为4() () () ()2smnpmnppmnnpm立方米5 （2006 陕西赛区预赛）用 6 根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R，能包容此框架的最小球的
10、半径为2R，则12RR等于33. 6 （20XX年江苏） 长方体1111ABCDA B C D中，已知14AB，13AD，则对角线1AC的取值范围是4 , 57(2005 全国 )如图，四面体DABC 的体积为61，且满足,32,45ACBCADACB则CD3. 解：,61)45sin21(31DABCVACBCAD即.12ACBCAD又, 32233ACBCADACBCAD等号当且仅当12ACBCAD时成立，这时ADAB, 1面 ABC ，3DC. 8 （2004 全国） 如图、正方体1111ABCDA B C D中，二面角11ABDA的度数是 _. 解：连结1,D C1作CEBD，垂足为
11、E，延长 CE 交1A B于 F，则1FEBD，连结 AE，由对称性知1,AEBDFEA是二面角11ABDA的平面角 .连结 AC ，设 AB=1 ，则112,3.ACADBD1Rt ABD在中，1123AB ADAEBD，CED1C1A1B1ABDF第 7 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思在22222242213cos42223AECEACAEACAECAECAE CEAE中,. 0120 ,AECFEAAEC而是的补角，060FEA. 【原创】 20XX 年高考立体几何
12、问题研究综述直线、平面、简单几何体是高考的必考内容。一般以客观题的形式考查基础知识，以解答题的形式考查综合问题。 20XX年高考立体几何的考点主要包括：空间位置关系的判断与论证，空间角与距离的计算，直线、平面、简单几何体与其它知识的交汇与运用等。试题设置形式和数量不一：有12 份试卷是“两小一大”共三道题、 4 份试卷是“一小一大”共两道题、全国和四川卷是“三小一大”共四道题、江苏卷仅一道大题，分值由 1327 不等，平均分不足22，题目难度一般仍在中等左右。1、客观题的考查研究11、线面位置关系的判断问题例 1. （湖南 5）设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是( ) A.若m,
13、n, 则m n B.若m,n,m,n, 则C.若，m, 则m D.若，m，m, 则m 解析对每个选支逐一分析判断，可得正确答案（D） 。评注本题综合考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，同类的还有天津5、安徽 4。线面位置关系的判断是立体几何的基本知识和基本技能，是高考的必考内容，多出现在填空、选择题中。12、几何元素的计数问题例 2.（辽宁 11）在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点， 则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）A 不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条解析方法 1：易知三条异面直线A1D1，EF，CD平行于
14、同一平面，记它们依次为a,b,c,在直线 a 上任取一点E，过 E作直线11,bb cc（如图 1） 。设直线1,b b确定平面 ，直线1,c c确定平面 ，又两平面有公共点E，故它们必交于过E的一条直线l。在 内直线l与1b交于 E，则必与1b的平行线b 相交，记交点为F；同理记直线l与 c 的交点为G ，则直线l与直线 a,b,c分别交于点E，F，G。因为点E是任取的，故这样的直线有无数条。方法 2：过直线a 的平面旋转扫过全空间时，除去与b,c 都平行的平面外，其余位置上的平面都与b,c 同时相交（记交点为M ，N ） ，这些同时与b,c 相交的平面中，除一个会出现MN a 外，其余的直
15、线MN都与直线a相交，因此这样的直线有无数条。方法 3：在直线 EF上任取一点P，则 P与直线 A1D1确定一个平面 ，该平面与直线CD必有交点，记为Q ，直线 PQ与直线 A1D1共面且不平行，故它们必有交点，这样直线PQ与直线 A1D1， EF，CD都相交，又直线PQ随P的变化而变化，故这样的直线有无数条。评注本题以正方体为载体研究三条异面直线有公共交线的问题，有一定的难度，极易错选为（C） （3a b c E F G 图 1 l1b1c精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思条直
16、线为DE ，11,AC D F） ，同类的试题还有四川。例2 源于“ 1997 年全国高中联赛题：如果空间三条直线a,b,c两两成异面直线，那么，与直线a,b,c都相交的直线有（D） （A）0 条， （B）1 条， （C）多于 1 的有限条，（D）无穷多条”。此赛题中的直线a,b,c可以不共面，故可“不妨构造平行六面体”求解，而例2 不可用这种方法求解。几何元素的计数问题可较好地考查空间想象能力和思维的发散能力。13、组合体问题例 3. （1） （江西 16）如图 2，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置
17、，水面也恰好过点P（图 3） 。有下列四个命题：A正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是：（写出所有真命题的代号）（2） （海南 15）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为 _ （3） （重庆 9) 如图 4，体积为 V的大球内有4 个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4 个顶点 .V
18、1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（）（A）V1=2V (B) V2=2V（C）V1 V2（ D）V1 V2 解析（ 1） 、图 2 中设底面积为S，正四棱锥的高为h，则 a=1332aShShhS，故 A错；侧放时，有一半的水填在空白，而水的体积与上面空白体积相等，故 B对；任意摆放时， 如水面与正四棱锥的侧面平行时，水面不会恰好是侧面，因而水面不会恰好过点P；由两次操作可知D正确，因此填B,D。（2） 、设该六棱柱的高为h。由底面正六边形的周长为3，得底面边长为12，过底面中心的对角线长为1，底面正六边形面积为2313 3
19、6( )428S，则有3 39388hh。过底面中心和球心的六棱柱的截面矩形的对角线即球的直径为2，故球的体积为43。（3） 、设小球半径为r ，则大球半径为2r ，214VVVV大球小球，3331244164(2 )0333VVrrr，故选（ D） 。评注（ 1）是多面体与多面体的组合，其过程和结果都具有开放性；（2）是多面体与球的组合，关键是找准最佳截面； （3）是球与球的组合，无需求出具体的V1与 V2。球的知识在20XX年的高考中考查相当多，理科 19 套数学卷中有12 套考查了球的问题，主要考查求距离（如安徽16、湖南 9 等考球面距离） 、面积（如四川、山东6 等）和体积等。它们有
20、的单独考查，有的以球为载体综合考查。组合体问题有利于考查学生的解PP图 2 图 3 图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思题目标意识、运动变化思想、问题或图形的分解与重组能力，以及综合解决问题的能力。14、交汇性问题高考命题以能力立意，注重在知识的交汇处命制试题。 因而交汇型试题在近年的高考中频繁出现， 20XX年高考立体几何中的交汇型客观试题有如下特点。141、与简易逻辑交汇例 5 （天津 4）设ba,是两条直线，,是两个平面，则ba的一个充分条件是（）（A）,/,ba（B
21、）/,ba（C）/,ba（D）,/,ba解析题设条件比较零散，宜逐一检验： A和 D中 a 与 b 的位置关系不确定；B中 a 与 b平行； C中 a b ，故选（ C）评注简易逻辑知识年年考，这是直接考查（还如上海13） ，但多是融入大题中隐性考查。142、与平面几何知识类比交汇例 6.（全国卷16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件；充要条件 （写出你认为正确的两个充要条件）解析可对平行四边形的两个具体的充要条件进行类比推广，如答案可为： 两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线
22、交于一点；底面是平行四边形等评注本题是有限度的开放性问题，它将平面几何中平行四边形的判定定理类比推广到立体几何的四棱柱中。不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要考生具有较好的基础知识和敏锐的洞察力。143、与函数交汇例 7. （北京8）如图5，动点P在正方体1111ABCDA B C D的对角线1BD上过点P作垂直于平面11BB D D的直线，与正方体表面相交于MN，设BPx，MNy，则函数( )yf x的图象大致是（）解析设11,CCBD的中点分别为E，F，连结 BE，EF，1ED，则点 N在折线 BE1D上，且当N在 BE上时有BPNBFE， 故11122sinyM
23、NPNEFEBDxBNBNBE， 所 以12 si nyE BDx， 又 正 方 体1111ABCDA B C D中的1sinEBD为定值， 故12sinyEBDx的轨迹为直线， 排除 C，D ；又 y 的最大值只在 x=BF时取得，故选（B） 。评注本题将一次函数寓于正方体中，考查最基本的三角形相似、三角函数、直线方程等知识，将数与A B C D M N P A1 B1 C1 D1 y x AO y x BO y x CO y x DO 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思形较好
24、地结合在一起。20XX年高考理科立几客观题中，还有与三角函数（都是正弦或余弦）的交汇题5 道，如全国 16、全国 10、福建 6 等。144、与不等式交汇例 8 （海南 12）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和 b 的线段，则a + b的最大值为（）A. 22B. 32 C. 4 D. 52解析假设这条棱是长方体ABCD-1111A B C D的体对角线A1C，如图 6，设 AB=x,BC=y,C1C=z, 则其在正视图、侧视图与俯视图中的投影分别是D1C、B1C与 AC,故有2222226()(
25、)abyzxy22222()2()xzxyz，又226xz，22(7)(6)1y，代入整理得228ab，所以222()4abab，故选 C。评注本题以三视图为载体，将长方体的体对角线与三条互不相等的面对角线巧妙地联系在一起，考查三视图知识以及运用不等式知识求线段和的最值问题，三视图试题还有广东 5 和山东 6。145、与解析几何交汇例 9 （浙江 10）如图 7，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A圆B椭圆C一条直线D两条平行直线解析直接求点P的轨迹方程是不现实的。ABP的面积为定值，把定线段AB 看作底，则P 到 AB 的距离为定值
26、，故P点在一个圆柱上；又 P 点在平面上，所以P点的轨迹是该平面斜截该圆柱的交线椭圆，故选（B） 。评注本题由空间图形生成圆锥曲线，考查用交轨法求轨迹，以及数形结合、 空间想象和问题转化的能力。146、与排列组合交汇例 10 （重庆 16）某人有4 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在图8 的 6 个点 A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有_种（用数字作答）. 解析方法 1：设 4 种颜色的灯泡为a,b,c,d, 因为共顶点的3 条线段的4 个顶点的灯泡不同色，故有44A种；如设点A、A1、B、C依次放灯泡
27、a,b,c,d,，则 C1可放 a 或 b，若 C1放 a 则 B1放 c；若 C1放 b 则 B1放 a 或 c, 即此时B1，C1有 3 种按法；又图中有6 个顶点，上述过程中都计算重复了一次，所以每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有441632162A种。方法 2：分 3 类求解，111,A B CA四点装四种不同颜色的灯泡，有4242A A=48；111,A B CA四点装三种不同颜色的灯泡，有121432(33)C C C=144；111,A B CA四点装2 种不同颜色的灯泡，有112432C C A=24。所以共有 48+144+24=216 种方法。评注图 8 就是一个三棱台，要注意条件 “同一条线段两端的灯泡不同色”的限制， 还可以绘树状图求解。本题考查排列组合知识的综合运用、分类讨论的思想方法、逻辑推理能力， 以及数学的应用性与思维的深刻性。CA B C AB图 8 1DA B C D 1A1B1C图 6 A B P 图 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页