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1、概率及统计学问点及题型3.1.1 3.1.2随机事务的概率及概率的意义1、根本概念：（1）必定事务：在条件S下，确定会发生的事务，叫相对于条件S的必定事务；（2）不行能事务：在条件S下，确定不会发生的事务，叫相对于条件S的不行能事务；（3）确定事务：必定事务和不行能事务统称为相对于条件S确实定事务；（4）随机事务：在条件S下可能发生也可能不发生的事务，叫相对于条件S的随机事务；（5）频数及频率：在一样的条件S下重复n次试验，视察某一事务A是否出现，称n次试验中事务A出现的次数nA为事务A出现的频数；称事务A出现的比例fn(A)=为事务A出现的概率：对于给定的随机事务A，假如随着试验次数的增加，
2、事务A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事务A的概率。（6）频率及概率的区分及联络：随机事务的频率，指此事务发生的次数nA及试验总次数n的比值，它具有确定的稳定性，总在某个常数旁边摇摆，且随着试验次数的不断增多，这种摇摆幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事务的概率，概率从数量上反映了随机事务发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事务的概率3.1.3 概率的根本性质1、根本概念：（1）事务的包含、并事务、交事务、相等事务（2）若AB为不行能事务，即AB=，那么称事务A及事务B互斥；（3）若AB为不行能事务，AB为必定事务，那么称事务A及
3、事务B互为对立事务；（4）当事务A及B互斥时，满意加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；若事务A及B为对立事务，则AB为必定事务，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)2、概率的根本性质：1）必定事务概率为1，不行能事务概率为0，因此0P(A)1；2）当事务A及B互斥时，满意加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；3）若事务A及B为对立事务，则AB为必定事务，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)；4）互斥事务及对立事务的区分及联络，互斥事务是指事务A及事务B在一次试验中不会同时发生，其详细包括三种不同的情形：（1）
4、事务A发生且事务B不发生；（2）事务A不发生且事务B发生；（3）事务A及事务B同时不发生，而对立事务是指事务A及事务B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事务A发生B不发生；（2）事务B发惹事务A不发生，对立事务互斥事务的特别情形。3.2.1 3.2.2古典概型及随机数的产生1、（1）古典概型的运用条件：试验结果的有限性和全部结果的等可能性。（2）古典概型的解题步骤；求出总的根本领件数；求出事务A所包含的根本领件数，然后利用公式P（A）=3.3.13.3.2几何概型及匀称随机数的产生1、根本概念：（1）几何概率模型：假如每个事务发生的概率只及构成该事务区域的长度（面积或体积）成比例，则称这
5、样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P（A）=；（1） 几何概型的特点：1）试验中全部可能出现的结果（根本领件）有无限多个；2）每个根本领件出现的可能性相等一、随机变量.1. 随机试验的构造应当是不确定的.试验假如满意下述条件：试验可以在一样的情形下重复进展；试验的全部可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：假如对于随机变量可能取的值，可以按确定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一
6、般地，若是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量可能取的值为：取每一个值的概率，则表称为随机变量的概率分布，简称的分布列.P有性质； .留意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取05之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. 二项分布：假如在一次试验中某事务发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事务恰好发生k次的概率是：其中 于是得到随机变量的概率分布如下：我们称这样的随机变量听从二项分布，记作B（np），其中n，p为参数，并记.二项分布的推断及应用.二项分布，实际是对n次独立
7、重复试验.关键是看某一事务是否是进展n次独立重复，且每次试验只有两种结果，假如不满意此两条件，随机变量就不听从二项分布.当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比拟小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“”表示在第k次独立重复试验时，事务第一次发生，假如把k次试验时事务A发生记为，事A不发生记为，那么.依据互相独立事务的概率乘法分式：于是得到随机变量的概率分布列.123kPq qp 我们称听从几何分布，并记，其中5. 超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（MN）件次品，今抽取件，则其中的次品数是一离散型随机变量，
8、分布列为.分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，假如规定时，则k的范围可以写为k=0，1，n.超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1na+b），则次品数的分布列为.超几何分布及二项分布的关系.设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数听从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把个产品编号，则抽取n次共有个可能结果，等可能：含个结果，故，即.我们先为k个次品选定位置，共种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，因此二项分布可作为超几何分
9、布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.二、数学期望及方差.1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为P则称为的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均程度.2. 随机变量的数学期望： 当时，即常数的数学期望就是这个常数本身.当时，即随机变量及常数之和的期望等于的期望及这个常数的和.当时，即常数及随机变量乘积的期望等于这个常数及随机变量期望的乘积.01Pqp单点分布：其分布列为：. 两点分布：，其分布列为：（p + q = 1）二项分布： 其分布列为.（P为发生的概率）几何分布： 其分布列为.（P为发生的概率）3.方差、标准差的定义：当已知
10、随机变量的分布列为时，则称为的方差. 明显，故为的根方差或标准差.随机变量的方差及标准差都反映了随机变量取值的稳定及波动，集中及离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.4.方差的性质.随机变量的方差.（a、b均为常数）01Pqp单点分布： 其分布列为两点分布： 其分布列为：（p + q = 1）二项分布：几何分布： 5. 期望及方差的关系.假如和都存在，则设和是互相独立的两个随机变量，则期望及方差的转化： （因为为一常数）.三、正态分布. 1.密度曲线及密度函数：对于连续型随机变量，位于x轴上方，落在任一区间内的概率等于它及x轴.直线及直线所围成的曲边梯形的面积（如图阴影局部）的曲线叫的密度曲
11、线，以其作为图像的函数叫做的密度函数，由于“”是必定事务，故密度曲线及x轴所夹局部面积等于1.2. 正态分布及正态曲线：假如随机变量的概率密度为：. （为常数，且），称听从参数为的正态分布，用表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.正态分布的期望及方差：若，则的期望及方差分别为：.正态曲线的性质.曲线在x轴上方，及x轴不相交.曲线关于直线对称.当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.当时，曲线上升；当时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延长时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.当确定时，曲线的形态由确定，越大，曲线越“矮胖
12、”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.3. 标准正态分布：假如随机变量的概率函数为，则称听从标准正态分布. 即有，求出，而P（ab）的计算则是.留意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有.比方则必定小于0，如图. 正态分布及标准正态分布间的关系：若则的分布函数通常用表示，且有. 习题16名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率是 （ ）A BC D 2有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名，恰好2名男生或2名女生的概率是 （）A B. C. D. 3甲乙两人独立的解同一道题,甲乙解对的概率分别是,那么至少有1人解对的概率是 （
13、）A. B. C. D.4从数字1, 2, 3, 4, 5这五个数中, 随机抽取2个不同的数, 则这2个数的和为偶数的概率是 ()A. B. C. D. 5有2n个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两数之和为偶数的概率是 （ ）A、 B、 C、 D、6有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，恰好是2名男生或2名女生的概率是 （）A BC D7已知P箱中有红球1个，白球9个，Q箱中有白球7个，（P、Q箱中全部的球除颜色外完全一样）现随意从P箱中取出3个球放入Q箱，将Q箱中的球充分搅匀后，再从Q箱中随意取出3个球放入P箱，则红球从P箱移到Q箱，再从Q箱返回P
14、箱中的概率等于 （）AB CDC9 2/C10 3 乘以C9 2/C10 3 8已知集合A=12，14，16，18，20，B=11，13，15，17，19，在A中任取一个元素用ai(i=1，2，3，4，5)表示，在B中任取一个元素用bj(j=1，2，3，4，5)表示，则所取两数满意aibI的概率为（）A、 B、 C、 D、9在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，假如随机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是（ ）直径有5个A. B. C. D. 10已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 (
15、 )A.7个 B.8个 C.9个 D.10个11甲、乙独立地解决 同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是（ ） A、0.48 B、0.52 C、0.8 D、0.9212.某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中随意选出一名组长，则其中一名女生小丽中选为组长的概率是_13.掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是_14.某班委会由4名男生及3名女生组成，现从中选出2人担当正副班长，其中至少有1名女生中选的概率是_15.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：年降水量/mm 100, 150 ) 150, 20
16、0 ) 200, 250 ) 250, 300 概率0.210.160.130.12则年降水量在 200，300 （m,m）范围内的概率是_16、向面积为S的ABC内任投一点P，则PBC的面积小于的概率是_。17、有五条线段，长度分别为1，3，5，7，9，从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为_18、在等腰RtABC中，在斜边AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率为_19甲、乙两名篮球运发动，投篮的命中率分别为0.7及0.8（1）假如每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率；（2）假如每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率20加工某种零件须要经过四道
17、工序，已知死一、二、三、四道工序的合格率分别为，且各道工序互不影响（1）求该种零件的合格率（2）从加工好的零件中任取3件，求至少取到2件合格品的概率（3）假设某人依次抽取4件加工好的零件检查，求恰好连续2次抽到合格品的概率（用最简分数表示结果）21甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为、，和的分布列如下：012012PP则比拟两名工人的技术程度的凹凸为 .思路启迪：一是要比拟两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动状况，即方差值的大小.22. 某商场经销某商品，依据以往资料统计，顾客采纳的付款期数的分布列为123450.
18、40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采纳1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的利润（）求事务：“购置该商品的3位顾客中，至少有1位采纳1期付款”的概率；（）求的分布列及期望参考答案：1-5、BDDBC 6-11、CBBBCD12. 13.14.15.0.25 16、 17、18、19：解：设甲投中的事务记为A，乙投中的事务记为B，（1）所求事务的概率为：P=P（A）+P（B）+P（AB）=0.70.2+0.30.8+0.70.8=0.94（2）所求事务的概率为：P=C0.720.3C0.80.22=004
19、2336 20：解：（1）该种零件合格率为（2）该种零件的合格率为，则不合格率为，从加工好的零件中随意取3个，至少取到2件合格品的概率（3）恰好连续2次抽到合格品的概率21：解：工人甲消费出次品数的期望和方差分别为： ，；工人乙消费出次品数的期望和方差分别为：，由E=E知，两人出次品的平均数一样，技术程度相当，但DD，可见乙的技术比拟稳定.小结：期望反映随机变量取值的平均程度；方差反映随机变量取值的稳定及波动，集中及离散的程度22：解（）由表示事务“购置该商品的3位顾客中至少有1位采纳1期付款”知表示事务“购置该商品的3位顾客中无人采纳1期付款”， （）的可能取值为元，元，元，的分布列为（元）