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1、二次根式 一、本节学习指导学习二次根式时，我们把平方根的学问顺带稳固一下。这就是系统性学习，这样学习的好处是把零碎的学问可以系统起来。本节中我们要对二次根式有意义的条件要驾驭。二、学问要点1、二次根式的概念：形如（a0）的式子叫做二次根式。留意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必需留意：因为负数没有平方根，所以a0是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。2、取值范围（1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。（2）、二次根式无意义的条件：
2、因负数没有算术平方根，所以当a0时，没有意义。3、二次根式（a0）的非负性（a0）表示a的算术平方根，也就是说，（a0）是一个非负数，即0（a0）。留意：因为二次根式（a0）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a0）的算术平方根是非负数，即（a0），这特性质也就是非负数的算术平方根的性质，和肯定值、偶次方类似。这特性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。4、二次根式的性质：（a0）描绘为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。留意：二次根式的性质公式（a0）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的
3、公式也可以反过来应用：若a0，则，如：，。5、二次根式的性质描绘为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的肯定值。留意：（1）、化简时，肯定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是随意实数，即不管a取何值，肯定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据肯定值的意义来进展化简。6、与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因此它的运算的结果是有差异的，（a0），而2、一样点：当
4、被开方数都是非负数，即a0时，=；a0时，无意义，而。7、二次根式的运算（1）因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式（a0，b0）； （b0，a0）（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的安
5、排律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算三、阅历之谈：特殊要留意这个式子：，这个运算过程是区分于的根据。本节中还要留意根式的运算，有许多同学错误的以为：，根式的加减法，假如不是同类项的话是不能合并的，比方：，而目前我们只能估算，或是就保持最简因式。本节中还要记住一些常见根式的约等数，常见的有一元二次方程解法 一、本节学习指导一元二次方程的概念比拟少，但遇到题目的时候还挺考验阅历积累的。所以本节我们要多做练习，多思索，多积累。在中考中这局部学问会和函数等结合，到时候涉及综合学问就比拟多，盼望同学们能驾驭好本节的解题方法。二、学问要点1、 降次干脆开平方法（将被开放式看作一个整体）2、 配
6、方法步骤：（1）二次项系数化为1 （2）在方程左边同时加上并减去一次项系数一半的平方（3）化简整理，再用干脆开平方法解方程3、公式法4、 因式分解法方法：将式子左边进展因式分解，右边为05、十字相乘法（特殊的因式分解）方法：形如的式子，可化为三、阅历之谈：有一点我要提示一下大家，解数学题时许多同学总是想着找简洁的方法，奢侈了许多时间在“想”上面，就像本节的求根公式许多同学都不情愿好用，因为计算起来实在太费事。其实许多“老式”解题步骤确实很繁琐眞就管用。有句话说：“笨鸟先飞嘛”！ 图形的旋转 一、本节学习指导本节我们重点理解旋转、平移性质，除外还有一个重点是点的对称变换。本节有配套免费学习视频。
7、二、学问要点1、旋转：将一个图形围着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中，O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。2、旋转性质 旋转后的图形与原图形全等 对应线段与O形成的角叫做旋转角 各旋转角都相等3、平移：将一个图形沿着某条直线方向平移肯定的间隔 的变换叫做平移。其中，该直线的方向叫做平移方向，该间隔 叫做平移间隔 。4、平移性质 平移后的图形与原图形全等 两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行间隔 ） 各组对应线段平行且相等5、中心对称与中心对称图形 中心对称：若一个图形围着某个点O旋转180，可以与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。其中，点O叫做对称中心、
8、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。 中心对称图形：若一个图形围着某个点O旋转180，可以与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。其中，这个点叫做该图形的对称中心。6、轴对称与轴对称图形(1)、轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，可以完全重合，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。其中，这条轴叫做对称轴。注：轴对称的性质： 两个图形全等； 对应点连线被对称轴垂直平分（2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，可以完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。7、点的对称变换（1）、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P（-x，
9、-y）（2）、关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P（x，-y）（3）、关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P（-x，y）（）、关于直线yx对称两个点关于直线yx对称时，横坐标与纵坐标与之前对换，即：P（x，y）关于直线yx的对称点为P（y，x）（5）、两个点关于直线y-x对称时，横坐标与纵坐标与之前完全相反，即：P（x，y）关于直线yx的对称点为P（-y，-x）注：yx的直线是过一三象限的角平分线，y-x的直线是过二四象限的角平分线。 三
10、、阅历之谈：本节中点的对称变换考得相对较多，假如在大脑中百思不得其解的话，我们可以动手作图出来视察。圆学问点总结圆与三角形、四边形一样都是探讨相关图形中的线、角、周长、面积等学问。包括性质定理与断定定理及公式。一 集合：圆：圆可以看作是到定点的间隔 等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的间隔 大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的间隔 小于定长的点的集合二 轨迹：1、到定点的间隔 等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点间隔 相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边间隔 相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的间隔 相等的点的轨迹是：平行于
11、这条直线且到这条直线的间隔 等于定长的两条直线；5、到两条平行线间隔 相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线间隔 都相等的一条直线三 位置关系：1点与圆的位置关系:点在圆内 dr 点A在圆外2 直线与圆的位置关系:直线与圆相离 dr 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 dR+r外切（图2） 有一个交点 d=R+r相交（图3） 有两个交点 R-rdR+r内切（图4） 有一个交点 d=R-r内含（图5） 无交点 dR-r四 垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平
12、分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： AB是直径 ABCD CE=DE 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在O中，ABCD五 圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论也即：AOB=DOE AB=DE OC=OF 六 圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：
13、AOB和ACB是 所对的圆心角和圆周角 AOB=2ACB圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧即：在O中，C、D都是所对的圆周角 C=D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径即：在O中，AB是直径 或C=90 C=90 AB是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形即：在ABC中，OC=OA=OB ABC是直角三角形或C=90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。七 圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的
14、对角互补，外角等于它的内对角。即：在O中，四边形ABCD是内接四边形 C+BAD=180 B+D=180 DAE=C八 切线的性质与断定定理（1）断定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不行 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推肯定理：即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最终一个条件 MN是切线 MNOA切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连
15、线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线 PA=PB PO平分BPA九 圆内正多边形的计算（1）正三角形 在O中 ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进展，OD:BD:OB=（2）正四边形同理，四边形的有关计算在RtOAE中进展，OE:AE:OA=（3）正六边形同理，六边形的有关计算在RtOAB中进展，AB:OB:OA= 十、圆的有关概念 1、三角形的外接圆、外心。 用到：线段的垂直平分线及性质 2、三角形的内切圆、内心。 用到：角的平分线及性质 3、圆的对称性。 十一、圆的有关线的长和面积。 1、圆的周长、弧长 C=2r, l= 2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积 S圆=r2 ， S扇形= S圆锥= 3、求面积的方法 干脆法由面积公式干脆得到 间接法即：割补法（和差法）进展等量代换十二、侧面绽开图：圆柱侧面绽开图是 形,它的长是底面的 ,高是这个圆柱的 ；圆锥侧面绽开图是 形，它的半径是这个圆锥的 ，它的弧长是这个圆锥的底面的 。十三、正多边形计算的解题思路：正多边形等腰三角形直角三角形。可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的学问进展求解。