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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载二次根式一、本节学习指导学习二次根式时,我们把平方根的学问顺带巩固一下；这就是系统性学习,这样学习的好处是把零碎的学问可以系统起来；本节中我们要对二次根式有意义的条件要把握；二、学问要点1、二次根式的概念：形如a （a0）的式子叫做二次根式；留意： 在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须留意： 由于负数没有平方根,x所以 a0 是a 为二次根式的前提条件,如5 ,x21,等是二次根式,而5 ,2等都不是二次根式；2、取值范畴（1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a0 时,
2、a 有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可；（2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当 a 0 时,a 没有意义；3、二次根式 a （a 0）的非负性a （ a0）表示 a 的算术平方根,也就是说,a （ a0）是一个非负数,即 a 0（a0）；留意： 由于二次根式 a （a 0）表示 a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0 的2算术平方根是 0,所以非负数（a0）的算术平方根是非负数,即 a （a0）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和肯定值、 偶次方类似； 这个性质在解答题目时应用较多,如如 a b 0,就 a=0,b=0
3、 ；如 a b 20,就 a=0,b=0 ；如 a b 20,就a=0,b=0 ；4、二次根式a2的性质 ：a2a （a0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 留意： 二次根式的性质公式学习好资料欢迎下载a2a（ a0）是逆用平方根的定义得出的结论；上面的公式也可以反过来应用：如a0,就aa2,如：22 2 ,112；225、二次根式的性质a2aa a0a a0描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的肯定值；留意：2（1）、化简 a 时, 肯定要弄明白被开方数的
4、底数 a 是正数仍是负数,如是正数或 0,就等2于 a 本 身 , 即 a a a a 0； 如 a 是 负 数 , 就 等 于 a 的 相 反 数 -a, 即2 1.414；3 1.732；5 2.236 ；7 2.646；2、a 2中的 a 的取值范畴可以是任意实数,即不论 a 取何值,a 2肯定有意义；3、化简 a 2时,先将它化成 a ,再依据肯定值的意义来进行化简；6、 a 2与 a 2的异同点1、不同点： a 2与 a 2表示的意义是不同的, a 2表示一个正数 a 的算术平方根的平2 2 2方,而 a 表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在 a 中,而 a 中 a 可以是2 2
5、 2 2正实数, 0,负实数；但 a 与 a 都是非负数,即 a 0,a 0；因而它的运算的结果是有差别的, a 2a （a0）,而 a 2a a a 0a a 02 2 22、相同点：当被开方数都是非负数,即 a0 时, a = a ；a0 时, a 无意义,而 a 2a ；7、二次根式的运算（1）因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面；假如被开方数是代数和的形式,那么先解因式,.变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式名师
6、归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载,所得的积（商）仍（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除）,将被开方数相乘（除）作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式abab （ a 0, b 0）；bb（ b 0,a0）aa（4）有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,.乘法对加法的安排律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算三、体会之谈：特殊要留意这个式子：a 2 a a a 0,这个运算过程是区分于 a 2的依据；a a 0本节中仍要留意根式的运算,有许多同学错误的以为：a b ab
7、 ,根式的加减法,假如不是同类项的话是不能合并的,比如：2 8 2 2 2 3 2 ,而 2 5目前我们只能估算,或是就保持最简因式；2本节中仍要记住一些常见根式的约等数,常见的有1.414；31.732；52.236 ；72.646一元二次方程解法一、本节学习指导一元二次方程的概念比较少,但遇到题目的时候仍挺考查体会积存的；所以本节我们要多做练习, 多摸索, 多积存；在中考中这部分学问会和函数等结合,到时候涉及综合学问就比较多,期望同学们能把握好本节的解题方法；二、学问要点1、 降次直接开平方法（将被开放式看作一个整体）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习
8、资料 - - - - - - - - - 例:2x125学习好资料欢迎下载解：2x1=x 2551x512x 151,222、 配方法步骤：（1）二次项系数化为 1 （2）在方程左边同时加上并减去一次项系数一半的平方（3）化简整理,再用直接开平方法解方程例:x 26x160160解:2 x6x2 32 3x2 325x358x53x 12,x 23、公式法x 1,2b2a1b24ac 0例: 2x2x解:a2,b11,c113b24ac189xb2a1944x 11,x 224、 因式分解法名师归纳总结 方法：将式子左边进行因式分解,右边为0 第 4 页,共 10 页- - - - - - -
9、精选学习资料 - - - - - - - - - 例: 2x210xx10学习好资料欢迎下载解: 2 x x10x100x102x100x100 或2x1x 110,x 2125、十字相乘法（特殊的因式分解）方法：形如x2mn xmn0的式子,可化为xmxn0例:2 x5 x60解:x1x60x10 或x60x 11,x 26三、体会之谈：有一点我要提示一下大家,解数学题时许多同学总是想着找简洁的方法,铺张了许多时间在“ 想” 上面,就像本节的求根公式许多同学都不情愿有用,由于运算起来实在太麻烦；其实许多“ 老式” 解题步骤的确很繁琐眞就管用；有句话说：“ 笨鸟先飞嘛”！图形的旋转一、本节学习
10、指导本节我们重点明白旋转、平移性质, 除外仍有一个重点是点的对称变换；本节有配套免费学习视频；二、学问要点1、旋转： 将一个图形围着某点O 转动一个角度的变换叫做旋转；其中,O 叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角；2、旋转性质 旋转后的图形与原图形全等名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对应线段与学习好资料欢迎下载O形成的角叫做旋转角 各旋转角都相等 3、平移： 将一个图形沿着某条直线方向平移肯定的距离的变换叫做平移；其中,该直线的 方向叫做平移方向,该距离叫做平移距离；4、平移性质 平移后的图形与原图形全等 两个图
11、形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离） 各组对应线段平行且相等 5、中心对称与中心对称图形 中心对称：如一个图形围着某个点 两个图形关于这个点对称或中心对称；于中心的对称点；O旋转 180 ,能够与另一个图形完全重合,就这 其中, 点 O叫做对称中心、 两个图形的对应点叫做关 中心对称图形：如一个图形围着某个点 O旋转 180 ,能够与原先的图形完全重合,就这个图形叫做中心对称图形；其中,这个点叫做该图形的对称中心；6、轴对称与轴对称图形 1 、轴对称：如两个图形沿着某条轴对折,能够完全重合,就这两个图形关于这条轴对 称或它们成轴对称；其中,这条轴叫做对称轴；注：轴对称的性质：两个图形全
12、等；对应点连线被对称轴垂直平分（2）轴对称图形：如一个图形沿着某条轴对折,能够完全重合,就这个图形叫做轴对称 图形；7、点的对称变换（1）、关于原点对称的点的特点两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点 P（ -x ,-y ）（2）、关于 x 轴对称的点的特点P（x,y）关于原点的对称点为两个点关于x 轴对称时,它们的坐标中,x 相等, y 的符号相反,即点P（x,y）关于 x轴的对称点为P（x,-y ）（3）、关于 y 轴对称的点的特点名师归纳总结 两个点关于y 轴对称时,它们的坐标中,y 相等, x 的符号相反,即点P（x,y）关于 y第 6 页,共 10 页- - - - - -
13、 -精选学习资料 - - - - - - - - - 轴的对称点为P（-x ,y）学习好资料欢迎下载（）、关于直线 yx 对称两个点关于直线 y x 对称时,横坐标与纵坐标与之前对换,即：P（x,y）关于直线yx 的对称点为 P（y,x）（5）、两个点关于直线 y-x 对称时,横坐标与纵坐标与之前完全相反,即：P（x,y）关于直线 yx 的对称点为 P（-y ,-x ）注： yx 的直线是过一三象限的角平分线,三、体会之谈：y-x 的直线是过二四象限的角平分线；本节中点的对称变换考得相对较多,假如在大脑中百思不得其解的话,我们可以动手作图出来观看；圆学问点总结圆与三角形、四边形一样都是讨论相关
14、图形中的线、角、周长、面积等学问；包括性质定理与判定定理及公式；一 集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心,定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于 定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都 相等的一条直线 三 位置关系：名师
15、归纳总结 1 点与圆的位置关系: 点 C 在圆内rdABddO第 7 页,共 10 页点在圆内dr 点 A 在圆外2 直线与圆的位置关系: 无交点r直线与圆相离dr 直线与圆相切d=r 有一个交点d=rC直线与圆相交dR+r d外离（图 1）无交点外切（图 2）有一个交点Rdd=R+r R图4ddr相交（图 3）有两个交点R-rdR+r 内切（图 4）有一个交点d=R-r 内含（图 5）无交点dR-r 图 3R图5drr四 垂径定理 : Rr图 1图 2垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线
16、经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理,简称2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中,只要知道其中AD2 个即可推出其它3 个结论,即：CE=DE BCBDACAB 是直径 AB CD 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；即：在 O 中, AB CD ACDCCDOAOBCEDBOBOBAA五 圆心角定理OBEFD圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等此定理也称1 推 3 定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1 个相等, 就可以推出其它的3 个AC结 论 也 即 ： AO
17、B= DOE AB=DE OC=OF BAEDC六 圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半名师归纳总结 即： AOB 和 ACB 是所对的圆心角和圆周角BOA第 8 页,共 10 页 AOB=2 ACB - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在 O 中, C、 D 都是所对的圆周角 C= D 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径即：在 O 中, AB 是直径或
18、C=90BOCA C=90 AB 是直径推论 3：三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形即：在ABC 中, OC=OA=OB ABC 是直角三角形或C=90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的 一半的逆定理；七 圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角；即：在 O 中,四边形 ABCD 是内接四边形 C+BAD=180 B+ D=180 DAE= C 八 切线的性质与判定定理（1）判定定理： 过半径外端且垂直于半径的直线是切线两个条件： 过半径外端且垂直半径,二者缺一不行 即： MN OA 且 M
19、N 过半径 OA 外端 OMN 是 O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点MAN推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推肯定理：即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最终一个条件 MN 是切线MN OA 切线长定理 : 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；3:2PBAO即： PA、PB 是的两条切线PA=PB PO 平分 BPA 九 圆内正多边形的运算1:（1）正三角形在 O 中 ABC 是正三角形,有关运算在 Rt BOD 中进行, OD:BD:OB=
20、（2）正四边形 同理,四边形的有关运算在 Rt OAE 中进行, OE :AE:OA= 1:1: 2（3）正六边形 同理,六边形的有关运算在 Rt OAB 中进行, AB:OB:OA= 1: 3 : 2 C名师归纳总结 BOABOCAO第 9 页,共 10 页DAEDB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载十、圆的有关概念1、三角形的外接圆、外心；用到：线段的垂直平分线及性质2、三角形的内切圆、内心；用到：角的平分线及性质A轴对称3、圆的对称性；中 心 对 称十一、圆的有关线的长和面积；1、圆的周长、弧长l=ROSlC=2r, 2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积rS 圆=r2 ,S 圆 锥 = BS扇 形 =1lr2底面圆l母线2 + r底面圆3、求面积的方法 直接法由面积公式直接得到间接法即：割补法（和差法）进行等量代换十二、侧面绽开图：圆柱侧面绽开图是；形,它的长是底面的,高是这个圆柱的；圆锥侧面绽开图是形,它的半径是这个圆锥的,它的弧长是这个圆锥的底面的十三、正多边形运算的解题思路：正多边形连 OAB等腰三角形作垂线OD直角三角形；转化转化可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形,再用解直角三角形的学问进行求解；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页