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1、线性代数期末试题及参考答案一, 单项选择题每题3分，共15分1以下矩阵中， 不是初等矩阵。 (C (D 2设向量组线性无关，那么以下向量组中线性无关的是 。A B C D3设A为n阶方阵，且。那么 (B (C (D 4设为矩阵，那么有 。A假设，那么有无穷多解；B假设，那么有非零解，且根底解系含有个线性无关解向量；C假设有阶子式不为零，那么有唯一解；D假设有阶子式不为零，那么仅有零解。5假设n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，那么 AA与B相像 B，但|A-B|=0 CA=B 1 A是n阶方阵，那么有。 2 A，B是同阶方阵，且，那么。 4假设均为阶方阵，那么当时，确定
2、不相像。 ( 5n维向量组线性相关，那么也线性相关。 三, 填空题每题4分，共20分1 。2为3阶矩阵，且满足3,那么=_， 。3向量组，是线性 =2，那么a= 。四, 计算以下各题每题9分，共45分。1A+B=AB，且，求矩阵B。2.设，而，求。有无穷多解，求a以及方程组的通解。5 A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。1求矩阵A的特征值；2A是否可相像对角化？为什么？；3求|A+3E|。五证明题每题5分，共10分。1假设是对称矩阵，是反对称矩阵，是否为对称矩阵？证明你的结论。2设为矩阵，且的秩为n，推断是否为正定阵？证明你的结论。线性代数试题解答一
3、, 1F2T 3F。如反例：，。4T相像矩阵行列式值一样5F二, 1选B。初等矩阵确定是可逆的。2选B。A中的三个向量之与为零，明显A线性相关； B中的向量组与，等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C, D中第三个向量为前两个向量的线性组合，C, D中的向量组线性相关。3选C 。由，4选D。A错误，因为，不能保证；B错误，的根底解系含有个解向量；C错误，因为有可能，无解；D正确，因为。5选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵，使得，因此都相像于同一个对角矩阵。三, 1 按第一列绽开2 ；=3 相关因为向量个数大于向量维数。 。因为，。4 。因为，原方程组的导出组的根底解系中只含有一个解向
4、量，取为，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之与即得。5四, 1解法一：。将与组成一个矩阵，用初等行变换求。故 。解法二：。，因此。2解：，3解法一：由方程组有无穷多解，得，因此其系数行列式。即或。当时，该方程组的增广矩阵于是，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个根底解系，原方程组的一个特解，故时，方程组有无穷多解，其通解为，当时增广矩阵，此时方程组无解。解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。由于该方程组有无穷多解，得。因此，即。求通解的方法与解法一一样。4解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵因此得到其特征值为，。再求特征值的特征向量。解方程组，得对应
5、于特征值为的两个线性无关的特征向量，。解方程组得对应于特征值为的一个特征向量。再将，正交化为，。最终将，单位化后组成的矩阵即为所求的正交变换矩阵，其标准形为。5 解：1由知-1，2为的特征值。，故-2为的特征值，又的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故的特征值为-1，2，-2，-2。2能相像对角化。因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以有四个线性无关的特征向量，故可相像对角化。3的特征值为2，5，1，1。故=10。五, 1为对称矩阵。 证明： 所以为对称矩阵。2为正定矩阵。证明：由知为对称矩阵。对随意的维向量，由得， =，由定义知是正定矩阵。申明：全部资料为本人收集整理，仅限个人学习运用，勿做商业用途。第 7 页