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1、 高中数学常用逻辑用语 目的认知考试大纲要求：1. 理解命题的概念；理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2. 理解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，分析四种命题互相关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进展否认.重点：充分条件与必要条件的断定难点：根据命题关系或充分(或必要)条件进展逻辑推理。学问要点梳理学问点一：命题1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和结论两局部构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.（2）
2、命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“”的真假断定方式： 若要推断命题“”是一个真命题，须要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“肯定”能扶植推断。如：肯定推出. 若要推断命题“”是一个假命题，只须要找到一个反例即可.留意：“不肯定等于3”不能断定真假，它不是命题.2. 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫简洁命题，由简洁命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.（2）复合命题的构成形式：p或q；p且q；非p（即命题p的否认）.（3）复合命题的真假推断（利用真值表）：非真真假真
3、真真假假真假假真真真假假假真假假 当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它状况时为真，可简称为“一真必真”； 当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它状况时为假，可简称为“一假必假”。 “非p”与p的真假相反.留意：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。可以类比于集合中“或”.（2）“或”、“且”联结的命题的否认形式：“p或q”的否认是“p且q”； “p且q” 的否认是“p或q”.（3）对命题的否认只是否认命题的结论；否命题，既否认题设，又否认结论。学问点二：四种命题1. 四种命题的形式：用p和
4、q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否认，则四种命题的形式为：原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；否命题：若p则q； 逆否命题：若q则p.2. 四种命题的关系原命题逆否命题.它们具有一样的真假性，是命题转化的根据和途径之一.逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有一样的真假性，是命题转化的另一根据和途径.除、之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必定联络.命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一样性，命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”，因此，我们就可以从集合的角度进一步相识有关这些逻辑联结词的规定。学问点三
5、：充分条件与必要条件1. 定义：对于“若p则q”形式的命题：从逻辑观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的断定在于区分命题的条件与结论之间的关系 若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；若且，则是成立的必要不充分条件；若既有pq，又有qp，记作pq，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.若且，则是成立的既不充分也不必要条件从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的断定在于推断、相应的集合关系建立与、相应的集合，即成立，成立若，则是的充分
6、条件，若，则是成立的充分不必要条件；若，则是的必要条件，若，则是成立的必要不充分条件；若，则是成立的充要条件；若AB且BA，则是成立的既不充分也不必要条件2. 理解认知：（1）在推断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论 推条件，最终进展推断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论根据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必需且只须”.“等价于”“反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.3. 推断命题充要条件的三种方法（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，假如原命题与逆命题真假不好推断时，还可以转化为逆否
7、命题与否命题来推断即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否认式）的命题，一般运用等价法.(3) 利用集合间的包含关系推断，比方AB可推断为AB；A=B可推断为AB，且BA，即AB.如图：“”“，且”是的充分不必要条件.“”“”是的充分必要条件. 学问点四：全称量词与存在量词1. 全称量词与存在量词全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“全部”、“随意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对随意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对M中随意一个x，有p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.（II）存在量词及表示：
8、表示局部的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。含有存在量词的命题，叫做特称命题特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.2. 对含有一个量词的命题进展否认（I）对含有一个量词的全称命题的否认全称命题p：，他的否认： 全称命题的否认是特称命题。（II）对含有一个量词的特称命题的否认 特称命题p：，他的否认： 特称命题的否认是全称命题。留意：（1）命题的否认与命题的否命题是不同的.命题的否认只对命题的结论进展否认（否认一次），而命题的否命题则须要对命题
9、的条件和结论同时进展否认（否认二次）。（2）一些常见的词的否认：正面词等于大于小于是都是肯定是至少一个至多一个否认词不等于不大于不小于不是不都是肯定不是一个也没有至少两个规律方法指导1. 解答命题及其真假推断问题时，首先要理解命题及相关概念，特殊是互为逆否命题的真 假性一样.2. 要留意区分命题的否认与否命题.3. 要留意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，将二者互相比照可加深相识和理解.4. 处理充要条件问题时，首先必需分清条件和结论。对于充要条件的证明，必需证明充分性，又要证明必要性；推断充要条件一般有三种方法：用集合的观点、用定义和利用命题的等价性；求充要条
10、件的思路是：先求必要条件，再证明这个必要条件是充分条件.5. 特殊重视数形结合思想与分类探讨思想的运用。总结升华：1. 推断复合命题的真假的步骤： 确定复合命题的构成形式； 推断其中简洁命题p和q的真假； 根据规定（或真假表）推断复合命题的真假.2. 条件“或”是“或”的关系，否认时要留意.类型二：四种命题及其关系2. 写出命题“已知是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并推断其真假。解析：逆命题：已知是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题； 否命题：已知是实数，若ab0，则a0且b0，真命题； 逆否命题：已知是实数，若a0且b0，则ab0，真命题。总结升
11、华：1.“已知是实数”为命题的大前提，写命题时不应当忽视；2. 互为逆否命题的两个命题同真假；3. 留意区分命题的否认和否命题. 类型三：全称命题与特称命题真假的推断总结升华：1. 要推断一个全称命题是真命题，必需对限定的集合M中每一个元素，验证成立；要推断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立可；2. 要推断一个特称命题的真假，根据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.类型四：充要条件的推断总结升华：1. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；2. 正确运用断定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换，特殊是与关系.类型
12、五：求参数的取值范围总结升华：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类探讨总结升华：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的根本策略。类型六：证明总结升华： 1. 利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否认结论）.从这个假设动身，经过推理论证，得出冲突，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般相宜结论本身以否认形式出现，或以“至多”、“至少”形式出现，或关于唯一性、存在性问题，或者结论的反面是比原命题更详细更简洁探讨的命题.2. 反证法时对结论进展的否
13、认要正确，留意区分命题的否认与否命题总结升华：1. 对于充要条件的证明，既要证明充分性，又要证明必要性，所以必需分清条件是什么，结论是什么。2. 充分性：由条件结论；必要性：由结论条件.3.叙述方式的改变（比方是的充分不必要条件”等价于“的充分不必要要条件是”）.三、典型例题选讲例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并推断它们的真假（1）已知，为实数，若，则有两个不相等的实数根；（2）两条平行线不相交；（3）若，则，全为零分析：写出一个命题的四种命题形式，关键是分清命题的条件与结论，把命题写成“假如那么”的形式，再根据四种命题的定义写出其他三种命题即可解：（1）原命题是真命题；逆命题：
14、若有两个不相等的实数根，则，（假）；否命题：若，则没有两个不相等的实数根，（假）；逆否命题：若没有两个不相等的实数根，则，（真）（2）原命题形式可写成：若两条直线平行，则它们不相交，（真）；逆命题：若两条直线不相交，则它们平行，（假）；否命题：若两条直线不平行，则它们相交，（假）；逆否命题：若两条直线相交，则它们不平行，（真）（3）原命题是真命题；逆命题：若，全为零，则，（真）；否命题：若，则，不全为零，（真）；逆否命题：若，不全为零，则，（真）归纳小结：(1)本题考察了命题的四种形式，并能进展真假推断，强化对学问运用的敏捷性(2)要留意四种命题之间的等价关系，即原命题与逆否命题等价，否命题与
15、逆命题等价在推断一个命题是真命题时，要严格根据数学逻辑进展推理证明，而要说明它是假命题时，只须要举出一个反例即可(3)在否认条件或结论时，要留意否认词语的运用常见否认词语有：正面词语等于大于小于是都是至多有一个否认词语不等于不大于不小于不是不都是至少有两个正面词语至少有一个随意的全部的肯定否认词语一个也没有某个某些肯定不例2 说明下列命题形式，指出构成它们的简洁命题：矩形的对角线垂直平分；不等式的解集是或；方程没有实数根分析：根据命题中出现的逻辑联结词或隐含的逻辑联结词，进展命题构造的推断，其中解题的关键是正确理解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义解：这个命题是“”的形式，其中：矩形的对角
16、线互相垂直，：矩形的对角线互相平分这个命题是“”的形式，其中：不等式的解集是，：不等式的解集是或这个命题是“”的形式，其中：，：这个命题是“”的形式，其中：方程有实数根归纳小结：本题考察了含有逻辑联结词的命题构造，要求能正确理解逻辑联结词，并找出隐含的逻辑联结词，能根据命题形式分析问题、解决问题把简洁命题合成为复合命题或把复合命题分解为两个简洁命题并推断其真假是本节的重点之一，关键在于理解逻辑联结词的含义熟识真值表可以加快对含有逻辑联结词的命题的真假推断逻辑联结词中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义是不完全一样的如逻辑词中的“或”含有可以兼有之意，而生活中的“或
17、”一般不行兼有的意思例3（2019广东）已知命题：全部有理数都是实数，命题：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）ABCD分析：本题只须要推断出命题和命题的真假，根据真值表进展推断即可解：由题意可以推断命题是真命题，命题是假命题，所以命题是假命题，命题是真命题只有是真命题，故选D归纳小结：（1）本题考察了命题的真假推断和真值表的运用，考察了逻辑推断的思辩实力和推理实力；（2）命题的真假推断是“一真就真，全假为假”；命题的真假推断是“一假就假，全真为真”；命题与的真假相反.例4（年北京）“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件分析：简易逻辑中
18、充要条件的推断前提是先明确条件与结论，即弄清晰哪个是条件，哪个是结论，再根据条件分析出推式的关系，从而利用定义和推式得到结论解：当时，即反之，当时，有，或，即综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故选A例5（2019福建)设集合,那么“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件分析：本题条件与结论的形式都是集合形式，只要理清集合之间的关系，根据充要条件与集合的对应关系即可作出推断解：，故选A归纳小结：（1）本题考察了充要条件的定义，这是高考试题题型的常见形式之一，可与其他考察内容综合同时还考察了数学转化思想、合情推理实力（2）充分不必要条件、必要不充分条
19、件、充分必要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和结论之间的因果关系，在结合详细问题进展推断时，要留意以下几点：确定问题的条件和结论；尝试从条件推结论，结论推条件；确定条件是结论的什么条件也可以从命题表达的集合运算关系，推断出命题间的条件在从条件推结论，结论推条件时，可以利用学过的定理、定义和公式干脆做逻辑推断，或利用数轴或Venn图分析两个集合的关系推断出“”和“”的真假例6（2019湖北）已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件现有下列命题：是的充要条件；是的充分条件而不是必要条件；是的必要条件而不是充分条件；的必要条件而不是充分条件；是的充分条件而不是必要
20、条件，则正确命题序号是（ ）A. B. C. D. 分析：本题命题及其关系较多，假如干脆解决则比拟费事，可以用符号“”、“”等符号表示，简化题意，解决便利解：由题意可知：，且，所以，正确；，且，正确；，不正确；，且，正确；，不正确故选B归纳小结：（1）本题考察了充分条件、必要条件、充要条件的概念及命题之间关系的转化，逆否命题的等价性，考察了逻辑思辩实力和转化思想（2）在命题之间的充分条件、必要条件、充要条件的推导过程中，运用符号语言可以简化过程，降低思维量例7 已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，务实数的取值范围分析：是的充分不必要条件转化为等价命题形式：是的充分不必要条件，利用等价命题
21、先进展命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，从而求出的取值范围解：记，是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，即.，解得.所以实数的取值范围是归纳小结：(1)本题以含肯定值的不等式及一元二次不等式的解法为考察对象，同时考察了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，考察了转化思想的运用，强调了学问点运用的敏捷性(2)对四种命题以及充要条件的定义本质理解不清晰是解此题的难点，在推断或利用两个命题的充要条件时，可以利用它们的等价式，即将命题转化为另一个等价形式的命题，一般可以利用逆否命题的等价形式：若，即，则是的必要条件，是的充分条件；若，且，即，且，则是的
22、必要不充分条件；若，且，即，且，则是的充分不必要条件；若，则，即、互为充要条件；若，且，即，且，则是的既不充分也不必要条件例8（年海南、宁夏）有四个关于三角函数的命题：其中是假命题的有（ ）A， B， C， D，分析：若全称命题为真命题，必需对限定范围内的元素中的全体都成立；若特称命题是真命题，只需在限定范围中有一个元素满意条件即可解：是假命题，因为，；是真命题，如时成立；是真命题，.；是假命题，如，时，但故选A归纳小结：（1）本题考察了全称命题与特称命题的真假推断，同时也考察了对概念的转化实力和推理实力（2）一般地说，全称命题与特称命题的真假推断方法是：断定一个全称命题是真命题时，必需对限定
23、的集合中的每一个元素，验证成马上可；断定一个全称命题是假命题时，只要能列举出集合中的一个元素，使不成马上可；断定一个特称命题是真命题时，只要在限定的集合中，至少能找到一个元素，使成马上可，否则，这个特称命题就是假命题例9（2019宁夏）已知命题：，则（ ）A. B.C. D.分析：对全称（特称）命题的否认是将其全称（存在）量词改为存在（全称）量词，再将结论否认解：将变为，同时否认，可以得到故选C归纳小结：(1)本题考察了含有一个量词的命题的否认及否认词的运用，对学生的逻辑推断实力进展考察(2)一般地，对于含有一个量词的全称命题的否认，有下面的结论：全称命题：，它的否认：，特称命题：，它的否认：
24、，要留意否认词的运用例10 已知命题：有两个不等的负根，命题：10无实数根若命题与命题有且只有一个为真，务实数的取值范围分析：对命题和命题的条件进展化简可得的范围，再对、的真假进展探讨，得到参数成立的条件，利用交集求出的取值范围解：方程有两个不等的负根，解得.方程无实数根，解得.若命题为真，命题为假，则，得.若命题为假，命题为真，则，得.综上所述，实数的取值范围为或归纳小结：(1)本题考察了方程求解的条件、命题真假的探讨、集合运算等学问，突出考察了分类探讨思想，和把命题真假转化为集合运算的实力(2)根据问题条件求出命题所对应的集合范围，将命题的真假条件转化为集合的运算，即当命题为真时，则条件所
25、对集合为原集合，当命题为假时，则条件所对应的集合为补集两个命题的真假同时成立，则条件所对应的集合为两个集合的交集在命题的真假性不能确定的前提下，应作分类探讨四、本专题总结本专题内容主要是常用逻辑用语，包括命题与量词，逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式1要理解命题的四种形式，并会运用逻辑推理推断真命题，利用举反例推断假命题原命题与其逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题，当一个命题的真假不易推断时，可考虑推断其等价命题的真假2理解逻辑联结词的含义，能正确分析命题形式，指出构成它们的简洁命题，并会根据真值表推断命题的真假3留意一个命题的否认与命题的否命题是不同的，原命题的否认只否认结论，原命题的否命题既否认条件，又否认结论4推断充要条件的三种方法是：定义法、等价法、利用集合间的包含关系作推断