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1、1、二次函数的定义定义： c a 、 b 、 c 是常数， a 0 定义要点：a 0 最高次数为2 代数式肯定是整式练习：1、，2x-2，100-5 x，3 x-2x+5,其中是二次函数的有个。2.当时,函数(1) - 2+1 是二次函数？2、二次函数的图像及性质抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值2(a0)2(a0,开口向上a0,开口向下在对称轴的左侧随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. xy0xy0例2：二次函数1求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。2设抛物线及y轴交于C点，及
2、x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。3x为何值时，y随的增大而削减，x为何值时，y有最大小值，这个最大小值是多少？4x为何值时，y0？3、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：抛物线上的三点，通常设解析式为2(a0) 2,顶点式：抛物线顶点坐标h, k，通常设抛物线解析式为求出表达式后化为一般形式.()2(a0) 3,交点式:抛物线及x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为求出表达式后化为一般形式(1)(2) (a0)练习：依据以下条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1)
3、 ；(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。例1二次函数2的最大值是2，图象顶点在直线1上，并且图象经过点3，-6。求a、b、c。解：二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为2又抛物线的顶点在直线1上当2时，1 顶点坐标为 1 ， 2设二次函数的解析式为(1)2+2又图象经过点3，-6-6 (3-1)2+2 2二次函数的解析式为2(1)2+2即： 2x2+4x4、a，b，c符号的确定抛物线2的符号问题：1a的符号：由抛物线的开口方向确定2C的符号：由抛物线及y轴的交点位置确定.3b的符号：由对称轴的位置确定4b2-4的符号：由抛物线及x轴的交点个数确定5的符号：因
4、为1时,所以的符号由1时，对应的y值确定。当1时，y0,那么0当1时，y0，那么0,那么0当1，y0,那么0当1，0,那么0练习、二次函数2(a0)的图象如下图，那么a、b、c的符号为 A、a00 B、a00 C、a00 D、a00000 B、a00 C、a000000,0 B、a0000 D、a000,0，b0，c 0(2)有一个交点b2 4 0(3)没有交点 b2 4 0假设抛物线2及x轴有交点,那么b2 4 0例(1)假如关于x的一元二次方程 x2-20有两个相等的实数根,那么,此时抛物线 2-2及x轴有个交点.(2)抛物线 2 8x 的顶点在 x轴上,那么.(3)一元二次方程 3 x2
5、10=0的两个根是x1= -2 2=5/3, 那么二次函数 3 x210及x轴的交点坐标是.判别式：b2-4二次函数2a0图象一元二次方程20a0的根b2-40及x轴有两个不同的交点x1，0x2，0xyO有两个不同的解1，2b2-40及x轴有唯一个交点xyO有两个相等的解x12=b2-40及x轴没有交点xyO没有实数根7二次函数的综合运用1.抛物线2及抛物线2-37的形态一样,顶点在直线1上,且顶点到x轴的间隔 为5,请写出满意此条件的抛物线的解析式.解抛物线2及抛物线2-37的形态一样 1或-1 又Q顶点在直线1上,且顶点到x轴的间隔 为5, 顶点为(1,5)或(15) 所以其解析式为: (
6、1) (1)2+5 (2) (1)2-5 (3) (1)2+5 (4) (1)2-5 绽开成一般式即可.0,把抛物线2向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.分析:(1)由0可知,原抛物线的图象经过(1,0)(2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线练习题1直线y3 x1及yxk 的交点在第四象限，那么k 的范围是 Ak Bk1 Ck1 Dk1或k1【提示】由，解得因点在第四象限，故0，0 k1【答案】B【点评】此题应用了两函数图象交点坐标的求法，结合了不等式组的解法、象限内点的坐标符号特征等2二次函数y2c 的图象
7、如图，那么以下各式中成立的个数是 10； 2abc0； 3acb； 4aA1 B2 C3 D4【提示】由图象知a0，0，故b0，而c0，那么0当x1时，y0，即acb0；当x1时，y0，即acb0【答案】B【点评】此题要综合运用抛物线性质及解析式系数间的关系因a0，把4a两边同除以a，得1，即1，所以4是正确的；也可以依据对称轴在x1的左侧，推断出1，两边同时乘a，得a，知4是正确的3假设一元二次方程x22 xm0无实数根，那么一次函数ym1xm1的图象不经过 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【提示】由D 44 m0，得m10，那么m10，直线过第二、三、四象限【答案】A【点评】
8、此题综合运用了一元二次方程根的判别式及一次函数图象的性质留意，题中问的是一次函数图象不经过的象限4如图，A，B 是反比例函数y的图象上两点，设矩形 及矩形 的面积为S1，S2，那么 AS1S2 BS1S2 CS1S2 D上述A、B、C都可能【提示】因为2，2，故S1S2【答案】A【点评】此题可以推广为：从双曲线上随意一点向两坐标轴引垂线，由这点及两个垂足和原点构成的矩形的面积都等于5假设点A1，y1，B2，y2，Cp，y3在反比例函数y的图象上，那么 Ay1y2y3 By1y2y3 Cy1y2y3 Dy1y3y2【提示】因k210，且k21y12 y2p y3，故y1y2y3或用图象法求解，因
9、k210，且x 都大于0，取第四象限的一个分支，找到在y 轴负半轴上y1，y2，y3 的相应位置即可断定【答案】B【点评】此题是反比例函数图象的性质的应用，图象法是最常用的方法在分析时应留意此题中的k2106直线yc 及抛物线y2c 在同一坐标系内大致的图象是 A B C D【提示】两个解析式的常数项都为c，说明图象交于y 轴上的同一点，解除A，B再从a 的大小去推断【答案】D【点评】此题综合运用了一次函数、二次函数的性质B错误的缘由是由抛物线开口向上，知a0，此时直线必过第一、三象限7函数yx21840 x1997及x 轴的交点是m，0n，0，那么m21841 m1997n21841 n19
10、97的值是 A1997 B1840 C1984 D1897【提示】抛物线及x 轴交于m，0n，0，那么m，n 是一元二次方程x21840 x19970的两个根所以m21840 m19970，n21840 n19970，1997原式m21840 m1997mn21840 n1997n1997【答案】A【点评】此题提示了二次函数及一元二次方程间的联络，应用了方程的根的定义、根及系数的关系等学问点，并要敏捷地把所求代数式进展适当的变形8某乡的粮食总产量为aa 为常数吨，设这个乡平均每人占有粮食为y吨，人口数为x，那么y 及x 之间的函数关系为 A B C D【提示】粮食总产量肯定，那么人均占有粮食及
11、人口数成反比，即y又因为人口数不为负数，故图象只能是第一象限内的一个分支【答案】D【点评】此题考察反比例函数图象在实际问题中的应用A错在画出了x0时的图象，而此题中x 不行能小于0二填空题每题4分，共32分9函数y的自变量x 的取值范围是【提示】由2 x10，得x；又x10，x1综合可确定x 的取值范围【答案】x，且x110假设点Pab，a位于第二象限，那么点Qa3，位于第象限【提示】由题意得a0，ab0，那么b0故a30，0【答案】一11正比例函数ykk1的图象过第象限【提示】由题意得k2k11，解得k12，k21舍去，那么函数为y6 x【答案】一、三【点评】留意求出的k1使比例系数为0，应
12、舍去12函数yx22m4xm210及x 轴的两个交点间的间隔 为2，那么m【提示】抛物线及x 轴两交点间间隔 可应用公式来求此题有2，故m3【答案】3【点评】抛物线及x 轴两交点间间隔 的公式为，它有着广泛的应用13反比例函数y的图象过点Pm，n，其中m，n 是一元二次方程x240的两个根，那么P 点坐标是【提示】Pm，n在双曲线上，那么k，又4，故k4【答案】2，2【点评】此题是反比例函数、一元二次方程学问的综合应用由题意得出k4是关键14假设一次函数yb 的自变量x 的取值范围是2x6，相应函数值y 的范围是11y9，那么函数解析式是【提示】当k0时，有，解得当k0时，有，解得【答案】yx
13、6或yx4【点评】因k 是待定字母，而k 的不同取值，导致线段分布象限不一样，自变量的取值及函数取值的对应关系也就不同故本例要分k0时自变量最大值对应函数最大值，及k0时自变量最大值对应函数最小值两种情形探讨15公民的月收入超过800元时，超过部分须依法缴纳个人收入调整税，当超过部分缺乏500元时，税率即所纳税款占超过部分的百分数一样某人本月收入1260元，纳税23元，由此可得所纳税款y元及此人月收入x元800x1300间的函数关系为【提示】因1260800460，5%，故在800x1300时的税率为5%【答案】y5%x800【点评】此题是及实际问题相关的函数关系式，解题时应留意并不是每个人月
14、收入的全部都必需纳税，而是超过800元的部分才纳税，故列函数式时月收入x须减去80016某种火箭的飞机高度h米及放射后飞行的时间t秒之间的函数关系式是h10 t220 t，经过秒，火箭放射后又回到地面【提示】火箭返回地面，即指飞行高度为0，那么10 t220 t0，故t0或t20【答案】20【点评】留意：t0应舍去的缘由是此时火箭虽在地面，但未放射，而不是返回地面三解答题176分yy1y2，y1 及x 成正比例，y2 及x 成反比例，并且x1时y4，x2时y5，求当x4时y 的值【解】设y1k1x，y2，那么yk1x把x1时y4，x2时y5分别代入上式，得解得 函数解析式为y2 x当x4时，y
15、24 所求的y 值为【点评】此题考察用待定系数法求函数解析式关键在于正确设出y1，y2 及x 的函数解析式留意两个比例系数应分别用k1，k2 表示出来，而不能仅用一个k 值表示186分假设函数y22k1xk1及x 轴只有一个交点，求k 的值【提示】此题要分k0，k0两种状况探讨【解】当k0时，y2 x1，是一次函数，此时，直线及x 轴必有一个交点当k0时，函数为二次函数，此时，D 4k124 kk112 k40 k 所求的k 值为0或【点评】留意，当问题中未指明函数形式，而最高次项系数含字母时，要留意这个系数是否为0函数图象及x 轴有一个交点包括两种情形：当函数是一次函数时，直线及x 轴必只有
16、一个交点；当函数是二次函数时，在D 0的条件下，图象及x 轴只有一个交点198分正比例函数y4 x，反比例函数y1当k 为何值时，这两个函数的图象有两个交点？k 为何值时，这两个函数的图象没有交点？2这两个函数的图象能否只有一个交点？假设有，求出这个交点坐标；假设没有，请说明理由【解】由y4 x 和y，得4 x2k0，D 16 k1当D 0，即k0时，两函数图象有两个交点； 当D 0，即k0时，两函数图象没有交点；2 比例系数k0，故D 0 两函数图象不行能只有一个交点208分如图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的一个示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥
17、拱的D 部分为一段抛物线，顶点G 的高度为8米， 和是两侧高为5.5米的立柱， 和为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段 和为两段对称的上桥斜坡，其坡度为141求桥拱所在抛物线的解析式及的长2 和BE为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的 和AB为两个方向的行人及非机动车通行区，试求 和AB的宽3按规定，汽车通过桥下时，载货最高处和桥拱之间的间隔 不行小于0.4米，今有一大型运货汽车，装载上大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部及地面的间隔 为7米，它能否从平安通过？请说明理由【分析】欲求函数的解析式，关键是求出三个独立的点的坐标，然后由待定系数法求之所以关键是由题中线段的长度计算出D
18、、G、D的坐标，当然也可由对称轴x0解之至于求、AB的数值，那么关键是由坡度的定义求解之；究竟能否平安通过，那么只需在抛物线的解析式中令x4，求出相应的y 值，即可作出明确的推断【解】1由题意和抛物线的对称轴是x0，可设抛物线的解析式为y2c由题意得G0，8，D15，5.5 y8又 且5.5， 5.5422米 2C22152274米 的长是74米2 ，4， 16 22166米AB6米3此大型货车可以从区域平安通过在y8中，当x4时，y168，而70.40， 可以从 区域平安通过218分二次函数y2c 的图象抛物线G 经过5，0，0，1，6三点，直线l 的解析式为y2 x31求抛物线G 的函数解
19、析式；2求证抛物线G 及直线l 无公共点；3假设及l 平行的直线y2 xm 及抛物线G 只有一个公共点P，求P 点的坐标【分析】1略；2要证抛物线G 及直线l 无公共点，就是要证G 及l 的解析式组成的方程无实数解；3直线y2 xm 及抛物线G 只有一个公共点，就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解，求出这组解，就得P 点的坐标【解】1 抛物线G 通过5，0，0，1，6三点，解得 抛物线G的解析式为yx23 x2由，消去y，得x2x0， D124100， 方程无实根，即抛物线G 及直线l 无公共点3由，消去y，得 x2xm0 抛物线G 及直线y2 xm 只有一个公共点P， D 124m0解得m2把m2代入方程，解得x1把x1代入yx23 x，得y0 P1，0【点评】此题综合运用了二次函数解析式的求法抛物线及直线的交点等学问，其关键是把函数问题敏捷转化为方程学问求解