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1、精选优质文档-倾情为你奉上1、二次函数的定义定义： y=ax bx c （ a 、 b 、 c 是常数， a 0 ） 定义要点：a 0 最高次数为2 代数式一定是整式练习：1、y=-x，y=2x-2/x，y=100-5 x，y=3 x-2x+5,其中是二次函数的有_个。2.当m_时,函数y=(m+1) - 2+1 是二次函数？2、二次函数的图像及性质抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0,开口向上a0,开口向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称
2、轴的右侧, y随着x的增大而减小. xy0xy0例2：已知二次函数（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（4）x为何值时，y0？3、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为_y=ax2+bx+c(a0) 2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_求出表达式后化为一般形式.y=a(x-h)2+k(a0) 3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通
3、常设解析式为_求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2) (a0)练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。例1已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。解：二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为2又抛物线的顶点在直线y=x+1上当y=2时，x=1 顶点坐标为（ 1 ， 2）设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又图
4、象经过点（3，-6）-6=a (3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即： y=-2x2+4x4、a，b，c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.（3）b的符号：由对称轴的位置确定（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。当x=1时，y0,则a+b+c0当x=1时，y0，则a+b+c0,则a-b+c0当x=-1，y0,则a-b+c0当x=-1，y=0,则a-b+
5、c=0练习、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（） A、a0,c0 B、a0,c0 C、a0,b0 D、a0,b0,c0,b0,c=0 B、a0,c=0 C、a0,b0,c0,b0,b=0,c0,0 B、a0,c0,b=0,c0 D、a0,b=0,c0,0，b0，c 0(2)有一个交点b2 4ac= 0(3)没有交点 b2 4ac 0若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2 4ac 0例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有个交点.(2)已知抛物线 y=x2 8x +c的
6、顶点在 x轴上,则c=.(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是.判别式：b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根b2-4ac0与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0）xyO有两个不同的解x=x1，x=x2b2-4ac=0与x轴有唯一个交点xyO有两个相等的解x1=x2=b2-4ac0与x轴没有交点xyO没有实数根7二次函数的综合运用1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x
7、轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.解:Q抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 a=1或-1 又Q顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可.2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.分析:(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)(2) 新抛
8、物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线练习题1直线y3 x1与yxk 的交点在第四象限，则k 的范围是（ ）（A）k （B）k1 （C）k1 （D）k1或k1【提示】由，解得因点在第四象限，故0，0 k1【答案】B【点评】本题应用了两函数图象交点坐标的求法，结合了不等式组的解法、象限内点的坐标符号特征等2二次函数yax2bxc 的图象如图，则下列各式中成立的个数是（ ）（1）abc0； （2）abc0； （3）acb； （4）a（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【提示】由图象知a0，0，故b0，而c0，则abc0当x1时，y0，即acb0；当x1时，y0，即acb0【答案】
9、B【点评】本题要综合运用抛物线性质与解析式系数间的关系因a0，把（4）a两边同除以a，得1，即1，所以（4）是正确的；也可以根据对称轴在x1的左侧，判断出1，两边同时乘a，得a，知（4）是正确的3若一元二次方程x22 xm0无实数根，则一次函数y（m1）xm1的图象不经过（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【提示】由D 44 m0，得m10，则m10，直线过第二、三、四象限【答案】A【点评】本题综合运用了一元二次方程根的判别式及一次函数图象的性质注意，题中问的是一次函数图象不经过的象限4如图，已知A，B 是反比例函数y的图象上两点，设矩形APOQ 与矩形MONB
10、 的面积为S1，S2，则（ ）（A）S1S2 （B）S1S2 （C）S1S2 （D）上述（A）、（B）、（C）都可能【提示】因为SAPOQ|k|2，SMONB2，故S1S2【答案】A【点评】本题可以推广为：从双曲线上任意一点向两坐标轴引垂线，由这点及两个垂足和原点构成的矩形的面积都等于|k|5若点A（1，y1），B（2，y2），C（p，y3）在反比例函数y的图象上，则（ ）（A）y1y2y3 （B）y1y2y3 （C）y1y2y3 （D）y1y3y2【提示】因（k21）0，且（k21）y12 y2p y3，故y1y2y3或用图象法求解，因（k21）0，且x 都大于0，取第四象限的一个分支，找到
11、在y 轴负半轴上y1，y2，y3 的相应位置即可判定【答案】B【点评】本题是反比例函数图象的性质的应用，图象法是最常用的方法在分析时应注意本题中的（k21）06直线yaxc 与抛物线yax2bxc 在同一坐标系内大致的图象是（ ）（A） （B） （C） （D）【提示】两个解析式的常数项都为c，表明图象交于y 轴上的同一点，排除（A），（B）再从a 的大小去判断【答案】D【点评】本题综合运用了一次函数、二次函数的性质（B）错误的原因是由抛物线开口向上，知a0，此时直线必过第一、三象限7已知函数yx21840 x1997与x 轴的交点是（m，0）（n，0），则（m21841 m1997）（n218
12、41 n1997）的值是（ ）（A）1997 （B）1840 （C）1984 （D）1897【提示】抛物线与x 轴交于（m，0）（n，0），则m，n 是一元二次方程x21840 x19970的两个根所以m21840 m19970，n21840 n19970，mn1997原式（m21840 m1997）m（n21840 n1997）nmn1997【答案】A【点评】本题揭示了二次函数与一元二次方程间的联系，应用了方程的根的定义、根与系数的关系等知识点，并要灵活地把所求代数式进行适当的变形8某乡的粮食总产量为a（a 为常数）吨，设这个乡平均每人占有粮食为y（吨），人口数为x，则y 与x 之间的函数关
13、系为（ ）（A） （B） （C） （D）【提示】粮食总产量一定，则人均占有粮食与人口数成反比，即y又因为人口数不为负数，故图象只能是第一象限内的一个分支【答案】D【点评】本题考查反比例函数图象在实际问题中的应用（A）错在画出了x0时的图象，而本题中x 不可能小于0（二）填空题（每小题4分，共32分）9函数y的自变量x 的取值范围是_【提示】由2 x10，得x；又x10，x1综合可确定x 的取值范围【答案】x，且x110若点P（ab，a）位于第二象限，那么点Q（a3，ab）位于第_象限【提示】由题意得a0，ab0，则b0故a30，ab0【答案】一11正比例函数yk（k1）的图象过第_象限【提示】
14、由题意得k2k11，解得k12，k21（舍去），则函数为y6 x【答案】一、三【点评】注意求出的k1使比例系数为0，应舍去12已知函数yx2（2m4）xm210与x 轴的两个交点间的距离为2，则m_【提示】抛物线与x 轴两交点间距离可应用公式来求本题有2，故m3【答案】3【点评】抛物线与x 轴两交点间距离的公式为，它有着广泛的应用13反比例函数y的图象过点P（m，n），其中m，n 是一元二次方程x2kx40的两个根，那么P 点坐标是_【提示】P（m，n）在双曲线上，则kxymn，又mn4，故k4【答案】（2，2）【点评】本题是反比例函数、一元二次方程知识的综合应用由题意得出kmn4是关键14若
15、一次函数ykxb 的自变量x 的取值范围是2x6，相应函数值y 的范围是11y9，则函数解析式是_【提示】当k0时，有，解得当k0时，有，解得【答案】yx6或yx4【点评】因k 是待定字母，而k 的不同取值，导致线段分布象限不一样，自变量的取值与函数取值的对应关系也就不同故本例要分k0时自变量最大值对应函数最大值，与k0时自变量最大值对应函数最小值两种情形讨论15公民的月收入超过800元时，超过部分须依法缴纳个人收入调节税，当超过部分不足500元时，税率（即所纳税款占超过部分的百分数）相同某人本月收入1260元，纳税23元，由此可得所纳税款y（元）与此人月收入x（元）800x1300间的函数关
16、系为_【提示】因1260800460，5%，故在800x1300时的税率为5%【答案】y5%（x800）【点评】本题是与实际问题相关的函数关系式，解题时应注意并不是每个人月收入的全部都必须纳税，而是超过800元的部分才纳税，故列函数式时月收入x须减去80016某种火箭的飞机高度h（米）与发射后飞行的时间t（秒）之间的函数关系式是h10 t220 t，经过_秒，火箭发射后又回到地面【提示】火箭返回地面，即指飞行高度为0，则10 t220 t0，故t0或t20【答案】20【点评】注意：t0应舍去的原因是此时火箭虽在地面，但未发射，而不是返回地面（三）解答题17（6分）已知yy1y2，y1 与x 成
17、正比例，y2 与x 成反比例，并且x1时y4，x2时y5，求当x4时y 的值【解】设y1k1x，y2，则yk1x把x1时y4，x2时y5分别代入上式，得，解得 函数解析式为y2 x当x4时，y24 所求的y 值为【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式关键在于正确设出y1，y2 与x 的函数解析式注意两个比例系数应分别用k1，k2 表示出来，而不能仅用一个k 值表示18（6分）若函数ykx22（k1）xk1与x 轴只有一个交点，求k 的值【提示】本题要分k0，k0两种情况讨论【解】当k0时，y2 x1，是一次函数，此时，直线与x 轴必有一个交点当k0时，函数为二次函数，此时，D 4（k1）24
18、 k（k1）12 k40 k 所求的k 值为0或【点评】注意，当问题中未指明函数形式，而最高次项系数含字母时，要注意这个系数是否为0函数图象与x 轴有一个交点包括两种情形：当函数是一次函数时，直线与x 轴必只有一个交点；当函数是二次函数时，在D 0的条件下，图象与x 轴只有一个交点19（8分）已知正比例函数y4 x，反比例函数y（1）当k 为何值时，这两个函数的图象有两个交点？k 为何值时，这两个函数的图象没有交点？（2）这两个函数的图象能否只有一个交点？若有，求出这个交点坐标；若没有，请说明理由【解】由y4 x 和y，得4 x2k0，D 16 k（1）当D 0，即k0时，两函数图象有两个交点
19、； 当D 0，即k0时，两函数图象没有交点；（2） 比例系数k0，故D 0 两函数图象不可能只有一个交点20（8分）如图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的一个示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD 部分为一段抛物线，顶点G 的高度为8米，AD 和AD是两侧高为5.5米的立柱，OA 和OA为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和CD为两段对称的上桥斜坡，其坡度为14（1）求桥拱DGD所在抛物线的解析式及CC的长（2）BE 和BE为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和AB为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB 和AB的宽（3）按
20、规定，汽车通过桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不可小于0.4米，今有一大型运货汽车，装载上大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离为7米，它能否从OA（OA）安全通过？请说明理由【分析】欲求函数的解析式，关键是求出三个独立的点的坐标，然后由待定系数法求之所以关键是由题中线段的长度计算出D、G、D的坐标，当然也可由对称轴x0解之至于求CC、AB、AB的数值，则关键是由坡度的定义求解之；到底能否安全通过，则只需在抛物线的解析式中令x4，求出相应的y 值，即可作出明确的判断【解】（1）由题意和抛物线的对称轴是x0，可设抛物线的解析式为yax2c由题意得G（0，8），D（15，5.5）
21、 y8又 且AD5.5， AC5.5422（米） CC2C2（OAAC）2（1522）74（米） CC的长是74米（2） ，BE4， BC16 ABACBC22166（米）ABAB6（米）（3）此大型货车可以从OA（OA）区域安全通过在y8中，当x4时，y168，而（70.4）0， 可以从OA 区域安全通过21（8分）已知二次函数yax2bxc 的图象抛物线G 经过（5，0），（0，），（1，6）三点，直线l 的解析式为y2 x3（1）求抛物线G 的函数解析式；（2）求证抛物线G 与直线l 无公共点；（3）若与l 平行的直线y2 xm 与抛物线G 只有一个公共点P，求P 点的坐标【分析】（1）
22、略；（2）要证抛物线G 与直线l 无公共点，就是要证G 与l 的解析式组成的方程无实数解；（3）直线y2 xm 与抛物线G 只有一个公共点，就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解，求出这组解，就得P 点的坐标【解】（1） 抛物线G 通过（5，0），（0，），（1，6）三点， ，解得 抛物线G的解析式为yx23 x（2）由，消去y，得x2x0， D124100， 方程无实根，即抛物线G 与直线l 无公共点（3）由，消去y，得 x2xm0 抛物线G 与直线y2 xm 只有一个公共点P， D 124（m）0解得m2把m2代入方程，解得x1把x1代入yx23 x，得y0 P（1，0）【点评】本题综合运用了二次函数解析式的求法抛物线与直线的交点等知识，其关键是把函数问题灵活转化为方程知识求解专心-专注-专业