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1、高一数学必修1各章学问点总结第一章 集合及函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素确实定性、如：世界上最高的山(2) 元素的互异性、如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y(3) 元素的无序性、如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法及描绘法。u 留意：常用数集及其记法：自然数集 N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1） 列举法：a,b,c2） 描绘法：将集合
2、中的元素的公共属性描绘出来，写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-323） 语言描绘法：例：不是直角三角形的三角形4） Venn图:4、集合的分类：(1) 有限集 含有有限个元素的集合(2) 无限集 含有无限个元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集合例：x|x2=5表示二、集合间的根本关系1.“包含”关系子集留意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A及B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2“相等”关系：A=B (55，且55，则5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素一样则两集合相等”u 留意： 任何一
3、个集合是它本身的子集。AA真子集:假如AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)假如 AB, BC ,那么 AC 假如AB 同时 BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定 义由全部属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB由全部属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B），即AB =x|xA，或xB)设S是一个集合
4、，A是S的一个子集，由S中全部不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）SA记作，即CSA=韦恩图示SA性 质AA=A A=AB=BAABA ABBAA=AA=AAB=BAABABB(CuA) (CuB)= Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=UA (CuA)= 练习：1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）A某班全部高个子的学生 B闻名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合a，b，c 的真子集共有 个 3.若集合M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x0，则M及N的关系是 .4.设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是 5
5、.50名学生做的物理、化学两种试验，已知物理试验做得正确得有40人，化学试验做得正确得有31人，两种试验都做错得有4人，则这两种试验都做对的有 人。6. 用描绘法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .7.已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若BC，AC=，求m的值二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B是非空的数集，假如根据某个确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变
6、量，x的取值范围A叫做函数的定义域；及x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域留意：1定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要根据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必需大于零；(4)指数、对数式的底必需大于零且不等于1. (5)指数为零底不行以等于零，(6)假如函数是由一些根本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(7)实际问题中的函数的定义域还要保证明际问题有意义.u 一样函数的推断方法：对应法则一样（及表示自变量和
7、函数值的字母无关）；定义域一样 (两点必需同时具备)2值域 : 先考虑其定义域(1)干脆法 (2)配方法 (3)分别常数法 (4)判别式法(5)换元法 (6)单调性法 (7)反函数法 (8)数形结合3. 函数图象学问归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满意函数关系y=f(x)，反过来，以满意y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . （双向都得满意）(2) 画法A、 描点法B、 图象变换法u 常用变换方法有三
8、种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地，设A、B是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的随意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y及之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：AB来说，则应满意：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。u 可以多对一，但是不能一
9、对多（记二次函数y=x2）6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值状况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数假如y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为f、g的复合函数。 二函数的性质1.函数的单调性(部分性质)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，假如对于定义域I内的某个区间D内的随意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.假如对于区间D上的随意两个自变量的值
10、x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.留意：函数的单调性是函数的部分性质；（2） 图象的特点假如函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间及单调性的断定方法(A) 定义法：1 任取x1，x2D，且x11，且*u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，当是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，u 0的正分数指数幂等于0，0的负
11、分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1）；（2）；（3）（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为Ru 留意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、0和12、指数函数的图象和性质a10a10a0，a0，函数y=ax及y=loga(-x)的图象只能是 ( )2.计算： ;= ；= ; = 3.函数的递减区间为 4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a= 5.已知，（1）求的定义域（2）求使的的取值范围第三章 函数的应用一、方程的根及函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象及轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象及轴有交点函数有零点3、函数零点的求法： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它及函数的图象联络起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数（1），方程有两不等实根，二次函数的图象及轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程有两相等实根，二次函数的图象及轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点搜集数据画散点图选择函数模型求函数模型用函数模型说明实际问题符合实际不符合实际（3），方程无实根，二次函数的图象及轴无交点，二次函数无零点5.函数的模型 检验