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1、习题三2.设总体的分布密度为：为其样本，求参数的矩估计量与极大似然估计量 .现测得样本观测值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数的估计值 .解 计算其最大似然估计： 其矩估计为：所以：，3. 设元件无故障工作时间X具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为： 组中值 5 15 25 35 45 55 65频 数 365 245 150 100 70 45 25如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计.解 最大似然估计：4. 已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位：小时)为：
2、 1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.解 设灯泡的寿命为,极大似然估计为：根据样本数据得到： .经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075.5. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson分布)，其化验结果如下：大肠杆菌数/升 0 1 2 3 4 5 6 升 数 17 20 10 2 1 0 0试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情
3、况的概率为最大？解 设为每升水中大肠杆菌个数，由3题（2）问知，的最大似然估计为，所以所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大 .8. 设是来自总体X的样本，并且EX =，DX = ，是样本均值与样本方差，试确定常数，使是的无偏估计量 .解所以 .9. 设，是的两个独立的无偏估计量，并且的方差是的方差的两倍 .试确定常数c1, c2，使得为的线性最小方差无偏估计量 .解： 设 当，上式达到最小，此时 .10. 设总体X具有如下密度函数，是来自于总体X的样本，对可估计函数，求的有效估计量，并确定R-C下界 .解 因为似然函数所以取统计量得=，所以是无偏估计量令 由定理2.3.2
4、知 T是有效估计量，由所以 C-R方差下界为.11. 设是来自于总体X的样本，总体X的概率分布为：1） 求参数的极大似然估计量；2） 试问极大似然估计是否是有效估计量？如果是，请求它的方差与信息量；3） 试问是否是相合估计量？（书上没有这个问题）解 1）得到最大似然估计量2）所以所以是无偏估计量，由定理2.3.2得到是有效估计量信息量3）所以，T也是相合估计量 .12 从一批螺钉中随机地取16枚，测得其长度(单位：cm)为： 2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11设钉长分布为
5、正态，在如下两种情况下，试求总体均值的90%置信区间，1）若已知=0.01cm； 2）若未知；解 因为1） 计算所以 置信区间为2） 计算所以 置信区间为.13 随机地取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差s=11(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为95%的置信区间 .解 由题意标准差的置信度为0.95的置信区间为计算得所以 置信区间为 .14. 随机地从A批导线中抽取4根，并从B批导线中抽取5根，测得其电阻()为： A批导线：0.143，0.142，0.143，0.137 B批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140设测试数据分别服从与，并且它们相互独立，又均未知，求参数的置信度为95%的置信区间 .解 由题意，这是两正太总体，在方差未知且相等条件下，对总体均值差的估计： 置信区间为计算得 所以.15. 有两位化验员A、B，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同方法各作了10次测定，其测定值的方差依次为0.5419与0.6065，设与分别为A、B所测量数据的总体的方差(正态总体)，求方差比/的置信度为95%的置信区间 .解 由题意，这是两正太总体方差比的区间估计： 置信区间为计算得 所以置信为 .第 6 页