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1、 授 课 教 案课程名称： 高等数学 授课专业： 总 学 时： 开课单位： 制 定 人： 审 核 人： 制定时间： 教 案授课学时2学时课型新授课教学内容（章节）第五章 定积分 第1节 不定积分的概念与性质（1）教学目的驾驭定积分的概念教学重、难点驾驭定积分的概念教学方法及手段讲练结合法/板书教学教学打算教材，协助教材教学过程：一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积设在区间上非负、连续。由直线及曲线所围成的图形称为曲边梯形.由于曲边梯形的高是变动的,所以不能干脆用矩形的面积公式进展计算.而如下考虑:将区间划分为许多小区间,在每个小区间上用其中某一点处的高来近似的代替同一个小区间上的窄曲边梯形的
2、变高,那么,每个窄曲边梯形就可以近似的看成这样得到的窄矩形,而将这些全部窄矩形的面积之和作为曲边梯形面积的近似值,并把区间无限细分下去,使得每个区间的长度都趋于零,则这时全部窄矩形的面积之和的极限值就可定义为曲边梯形的面积.现将计算方法详述如下:在中随意插入若干个分点，把区间分成n个小区间，其长度依次为:, .在每个小区间上任取一点,以为底,为高的窄矩形近似地替代第i个窄曲边梯形,这样得到的n个窄矩形地面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值,即并记,则当时,取上述和式的极限,便得曲边梯形的面积2. 变速直线运动的路程备注：1、 变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上的连续函
3、数，且，计算在这段时间内物体所经过的路程在内随意插入若干个分点把分成个小段， 各小段时间长依次为相应各段的路程为在上任取一个时刻，以时的速度来代替上各个时刻的速度，则得 进一步得到 =设时，得二、定积分定义定义1 设函数在上有界，在中随意插入若干个分点，把区间分成n个小区间，其长度依次为: 各个小区间的长度依次为.在每个小区间上任取一点),对应函数值为作小区间长度与的乘积并作出和 .记,假如不管对怎样分法,也不管在小区间上点怎样取法,只要当时，和式S总趋于确定的极限,这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分(简称积分), 记作,即 =,其中叫做被积函数, 叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分
4、下限,叫做积分上限, 叫做积分区间.注 (1)积分区间有限，被积函数有界； (2)与“分法”、“取法”无关； (3)定积分的值与积分变量的选取无关; (4)在有界是在可积的必要条件，在连续是 在可积的充分条件。接下来的问题是：函数在上满意怎样的条件，在上肯定可积？以下给出两个充分条件。留意：积分与积分变量无关，即： 函数可积的两个充分条件：定理1 设在上连续，则在上可积。定理2 设在区间上有界，且只有有限个连续点，则在上可积。假如我们对面积赋以正负号，在轴上方的图形面积赋以正号，在轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于轴、函数曲线的图形及两条直线 = 、 = 之
5、间的各局部面积的代数和。练习设计课后习题9教学反思与学生一起做练习，边讲边练注：1每2学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、试验课等。3上新课和新上课的老师要求写详案。4要求老师上课必带教案。5“备注”填写历年更新的内容（手写）。6教案可带附件（课程内容补充材料）。教 案授课学时2学时课型新授课教学内容（章节）第五章 定积分 第1节 不定积分的概念与性质（2）教学目的驾驭定积分的概念教学重、难点驾驭定积分的概念教学方法及手段讲练结合法/板书教学教学打算教材，协助教材教学过程：三、定积分的性质为了以后计算及应用便利起见,首先,我们作如下补充规定: 1. 当时, =0;
6、2. 当时, =-由上式可知,交换定积分上、下限时,肯定值不变而符号相反.假设下列性质中所列出的定积分都时存在的.性质1 =证明 = = =性质2 =(是常数)性质3 设,则 =+这特性质说明定积分对积分区间具有可加性,而且不管的相对位置如何,此等式总是成立的.性质4 假如在区间上, ,则=备注：性质5 假如在区间上, ,则推论1 假如在区间上, ,则 推论2 性质6(估值定理) 设M及m分别是函数在区间上的最大值及最小值,则据此性质,利用被积函数在积分区间上的最大值及最小值,可以估计积分值的大致范围.性质7(积分中值定理) 假如函数在闭区间上连续,则在积分区间上至少存在一个点,使下式成立:这
7、个公式叫做积分中值公式.例1 利用定积分几何意义，求定积分值 解 上式表示介于, , , 之间面积 所以 例2 证明 证明 在 上最大值为，最小值为2 练习设计课后习题9教学反思与学生一起做练习，边讲边练注：1每2学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、试验课等。3上新课和新上课的老师要求写详案。4要求老师上课必带教案。5“备注”填写历年更新的内容（手写）。6教案可带附件（课程内容补充材料）。教 案授课学时2学时课型新授课教学内容（章节）第五章 定积分 第二节 微积分根本公式教学目的理解积分上限函数的定义及有关运算驾驭牛顿_莱布尼兹公式教学重、难点驾驭牛顿_莱布尼兹公式
8、教学方法及手段讲练结合法/板书教学教学打算教材，协助教材教学过程：一、变速直线运动中位置函数于速度函数之间的关系由第一节知,物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分 来表达;另一方面,这段路程又可以通过位置函数在区间上的增量 来表达.由此可见,位置函数与速度函数之间又如下的关系: =而=,即位置函数是速度函数的原函数,所以上述关系式表示, 速度函数在区间上的定积分等于的原函数在区间上的增量上述问题在肯定条件下具有普遍性二、积分上限的函数及其导数设函数在区间上连续,并且设为上的一点,则称为积分上限的函数,记为 此函数具有如下重要性质:定理1 假如函数在区间上连续,则积分上限的函数 在
9、上可导,并且其导数是 定理2(原函数存在定理) 假如函数在区间上连续,则函数 就是在上的一个原函数备注： 就是在上的一个原函数三、牛顿莱布尼兹公式定理3 假如函数是连续函数在区间上的一个原函数，则 (1)证明 已知函数是连续函数的一个原函数，又依据前面的定理知道，积分上限的函数 也是的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一节），即 (2)在上式中令，得.又由的定义式及上节定积分的补充规定知，因此，.以代入(2)式中的C，以代入(2)式中的，可得，在上式中令，就得到所要证明的公式(1).注 由积分性质知，(1)式对的情形同样成立.为便利起见，以后把记成。公式(1)叫做牛顿(New
10、ton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分供应了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分根本公式。例1计算定积分。解。例.2 计算 解：=例3 解：例.4 计算 在上与轴所围成平面图形的面积。解：例5求解易知这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。因此。练习设计课后习题6教学反思与学生一起做练习，边讲边练注：1每2学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、试验课等。3上新课和新上课的老师要求写详案。4要求老师上课必带教案。5“备注”填写历年更新的内容（手写）。6教案可带附件（课程内容补充材料）。教 案授课学时2学时课型新授课教学内容（章节）第五章 定积分 第
11、3节 定积分的换元法与分部积分法（1）教学目的驾驭定积分的换元法教学重、难点驾驭定积分的换元法教学方法及手段讲练结合法/板书教学教学打算教材，协助教材教学过程：一、定积分的换元法定理 假设函数在区间上连续,函数满意条件(1) ;(2) 在或者上具有连续导数,且其值域 ,则有=此公式叫定积分的换元公式.注 (1)用把原来的变量代换成新变量时,积分限也要换成相应于新变量的积分限; (2)求出的一个原函数后,不必要再把变换成原来变量的函数,而只要把新变量的上、下限分别代入相减就可以了.例1 计算解 设,则,且 当时, ;当时, ,于是有 = =例2 计算解 =备注： =在例2中,假如我们不明显地写出
12、新变量,那么定积分的上、下限就不要变更.例3 计算.解 =+ =- =- = =假如忽视在上非正,而按 计算,将导致错误.例4 证明: (1)若函数函数在区间上连续且为偶函数,则 =2 (2)若函数函数在区间上连续且为奇函数,则=0.证 =+ 对积分作代换,则得 =-=-=所以 =+ =(1)若为偶函数,则=所以 = 所以 =(2)若为奇函数,则 =0所以 =0利用本例,常可简化计算奇函数,偶函数在对称区间上的定积分.练习设计课后习题2教学反思与学生一起做练习，边讲边练注：1每2学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、试验课等。3上新课和新上课的老师要求写详案。4要求老
13、师上课必带教案。5“备注”填写历年更新的内容（手写）。6教案可带附件（课程内容补充材料）。教 案授课学时2学时课型新授课教学内容（章节）第五章 定积分 第3节 定积分的换元法与分部积分法（2）教学目的驾驭定积分的换元法教学重、难点驾驭定积分的换元法教学方法及手段讲练结合法/板书教学教学打算教材，协助教材教学过程：一、定积分的换元法定理 假设函数在区间上连续,函数满意条件(1) ;(2) 在或者上具有连续导数,且其值域 ,则有=此公式叫定积分的换元公式.注 (1)用把原来的变量代换成新变量时,积分限也要换成相应于新变量的积分限; (2)求出的一个原函数后,不必要再把变换成原来变量的函数,而只要把
14、新变量的上、下限分别代入相减就可以了.例1 设函数 =计算.解 令,则,且 当时, ;当时, .于是= =+ = =备注： 例2 例3 例4 法一 设法二设原式一、定积分的分部积分法依据不定积分的分部积分法,可得=-或记作=-此公式即定积分的分部积分公式.公式说明原函数已经积出的局部可以先用上、下限代入.例1 计算.解 = - = =例2 计算.解 先用换元法,令,则,且 当时; 当时.于是 = =- = = =例2 计算.解 先用换元法,令,则,且 当时; 当时.于是 = =- =.例3 设在连续证明：证明 右边 = 练习设计课后习题2教学反思与学生一起做练习，边讲边练注：1每2学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、试验课等。3上新课和新上课的老师要求写详案。4要求老师上课必带教案。5“备注”填写历年更新的内容（手写）。6教案可带附件（课程内容补充材料）。