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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载授 课 教 案课程名称：高等数学 授课专业：总 学 时：开课单位：制 定 人：审 核 人：制定时间：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 授课学时学习必备欢迎下载新授课教案2 学时课型教学内容（章节）第五章定积分第 1 节 不定积分的概念与性质（1）教学目标把握定积分的概念备注：教学重、难点把握定积分的概念教学方法及手段讲练结合法 /板书教学教学预备教材,帮助教材教学过程：一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积设 y f x 在区间 a b上非负、连续
2、；由直线 x a x b y 0 及曲线 y f 所围成的图形称为曲边梯形 . 由于曲边梯形的高是变动的 , 所以不能直接用矩形的面积公式进行运算 . 而如下考虑 : 将区间 ,a b 划分为许多小区间 , 在每个小区间上用其中某一点处的高来近似的代替同一个小区间上的窄曲边梯形的变高 , 那么 , 每个窄曲边梯形就可以近似的看成这样得到的窄矩形, 而将这些全部窄矩形的面积之和作为曲边梯形面积的近似值 , 并把区间 a b 无限细分下去 , 使得每个区间的长度都趋于零 , 就这时全部窄矩形的面积之和的极限值就可定义为曲边梯形的面积. 现将运算方法详述如下 : 在 a b 中任意插入如干个分点a
3、x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b ,把区间 a b 分成 n 个小区间,其长度依次为 : x 1 x 1 x 0 ,x 2 x 2 x 1 , , x n x n x n 1 . 在每个小区间上 x i 1, x i 任取一点 i , 以 x i 1, x i 为底 , 为 f i 高的窄矩形近似地替代第 i 个窄曲边梯形 , 这样得到的 A 的近似值 , 即nAi1fix in 个窄矩形地面积之和作为所求曲边梯形面积并记maxx 1,x 2,x n, 就0 当时 , 取上述和式的极限, 便得曲边梯形的面积名师归纳总结 Alim 0inin1fixi第 2 页,共 16 页Sli
4、m1viti- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1、 变速直线运动的路程设某物体作直线运动,已知速度 v v t 是时间间隔 T 1,T 2 上 t 的连续函数,且 v t 0,运算在这段时间内物体所经过的路程 s在 T 1,T 2 内任意插入如干个分点T 1 t 0 t 1 t 2 t i 1 t i t n T 2把 T 1,T 2 分成 n个小段 t 0, t 1 , t 1,t 2 , , t i 1 , t i , , t n 1 , t n 各小段时间长依次为t1t1t0,t2t2t1,tititi1,tntntn1,相应各
5、段的路程为ti1s 1,s 2,i,1s i,i,s n,以i时的速度vi来代替在 ti1,ti 上任取一个时刻titi,ti上各个时刻的速度,就得itii1,2,ns iv进一步得到设maxt1,s,v 1t1iv2t2vntnt2nitit0时,得=vi1,当,ntnsvlim 0i1二、定积分定义名师归纳总结 定义 1 设函数fx在a,1b上有界,在a,b中任意插入如干个分点第 3 页,共 16 页xna,xnb,把区间b分成 n 个小区间ax0x 1x2,其长度依次为: - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x0,x 1,x 1,x 2,xn1,x
6、n,学习必备欢迎下载各个小区间的长度依次为在每个小区间xi1,x 1x 1x0,x2xx2x 1,xnxnxn1. i作小区xi上任取一点ii1ixi,对应函数值为f间长度ix 与fi的乘积fix ii,12 ,n ,并作出和nS f i x i . i 1记 max x 1 , x 2 , , x n ,假如 不论对 a , b 怎 样分法 ,也不论 在小区 间 x i 1 , x i 上点 i怎样取法 ,只要当 1时,和式 S 总趋于确定的极限 I ,这时我们称 这 个 极 限 I 为 函 数 f x 在 区 间 a , b 上 的 定 积 分 简 称 积 分 , 记 作ba f x dx
7、 ,即b na f x dx = I = lim0 i 1 f i x i , 其中 f x 叫做被积函数 , f x dx 叫做被积表达式 , x 叫做积分变量 , a 叫做积分下限, b 叫做积分上限 , a , b 叫做积分区间 .注 1 积分区间有限,被积函数有界； 2与“ 分法” 、“ 取法” 无关；f x 在a,b连续是 3定积分的值与积分变量的选取无关bfx dxbftdt; aa 4fx在a,b有界是fx在a,b可积的必要条件,在a,b上肯定fx 在a,b可积的充分条件；fx 接下来的问题是：函数f x 在a,b上满意怎样的条件,可积？以下给出两个充分条件；留意： 积分与积分变
8、量无关,即：bfx dxbftdtbf uduaaa函数可积的两个充分条件：名师归纳总结 定理 1 设f x 在a,b上连续,就fx在a,b 上可积；第 4 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 定理 2 设fx在区间a,b学习必备欢迎下载f x在a,b上上有界,且只有有限个间断点, 就可积；假如我们对面积赋以正负号,在 x 轴上方的图形面积赋以正号,在 x 轴下方的b图形面积赋以负号,就在一般情形下,定积分 f x dx 的几何意义为：它是a介于x轴、函数曲线 y f x 的图形及两条直线 x = a、 x = b 之间的各部分面积的代数
9、和；练习设计 课后习题 9 名师归纳总结 - - - - - - -教学反思与同学一起做练习,边讲边练注：1每 2 学时至少制定一个教案；2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、试验课等；3上新课和新上课的老师要求写详案；4要求老师上课必带教案；5“ 备注”填写历年更新的内容（手写）；6教案可带附件（课程内容补充材料）；第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 授课学时学习必备欢迎下载新授课教案2 学时课型教学内容（章节）第五章定积分第 1 节 不定积分的概念与性质（2）教学目标把握定积分的概念备注：教学重、难点把握定积分的概念教学方法及手段讲练结合法 /板书
10、教学教学预备教材,帮助教材教学过程：三、定积分的性质为了以后运算及应用便利起见, 第一 , 我们作如下补充规定: xi 1. 当ab时, bfx dx=0; a 2. 当ab时, bfx dx=-afx dxab由上式可知 , 交换定积分上、下限时, 肯定值不变而符号相反. 假设以下性质中所列出的定积分都时存在的. 性质 1 bfx gxdx=bfxdxbgx dxaaa证明bfx gxdx = lim 0in1figixiann =lim 0i1fixilim 0i1gi=bfx dxbgx dxaa性质 2 bkfx dx=kbfx dx k 是常数 aa性质 3 设acb,就bfx dx
11、=cfx dx+bfx dxaac,此等这个性质说明定积分对积分区间具有可加性, 而且不论a ,c ,b的相对位置如何式总是成立的 . 名师归纳总结 性质 4 假如在区间a,b上, fxb1,就第 6 页,共 16 页b adx=b adx=a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载b上的最大值及最小值,性质 5假如在区间a,b上, fx0,就bfx dx0 ab a推论 1假如在区间a,b上, fxgx,就bfx dxbg x dxab aa推论 2 bfx dxbfxdxabaa性质 6 估值定理 设 M及 m分别是函数fx在区间a,就m
12、 ba bfx dxM baaba据此性质 , 利用被积函数在积分区间上的最大值及最小值 范畴 .,可以估量积分值的大致名师归纳总结 - - - - - - -性质7 积分中值定理 假如函数fx在闭区间a,b上连续 ,就在积分区间a,b上至少存在一个点,使下式成立 : bfx dxfba aba这个公式叫做积分中值公式. 例 1 利用定积分几何意义,求定积分值112 x dx0解上式表示介于x0, x1, y0, y1x2之间面积所以112 x dx40例 2 证明2121x2dx130x2证明2xx29x12在 0,1上最大值为9 ,最小值为242421132xx222121x2130x2练
13、习设计课后习题 9 教学反思与同学一起做练习,边讲边练注：1每 2 学时至少制定一个教案；2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、试验课等；3上新课和新上课的老师要求写详案；4要求老师上课必带教案；5“ 备注”填写历年更新的内容（手写）；6教案可带附件（课程内容补充材料）；第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 授课学时学习必备欢迎下载新授课教案2 学时课型教学内容（章节）第五章定积分其次节微积分基本公式备注：懂得积分上限函数的定义及有关运算教学目标把握牛顿 _莱布尼兹公式教学重、难点把握牛顿 _莱布尼兹公式教学方法及手段讲练结合法 /板书教学教学预备教材,
14、帮助教材教学过程：一、变速直线运动中位置函数于速度函数之间的关系由 第一节 知 , 物体在 时间 间隔 T 1, T 2 内 经过 的路程 可以 用速度 函数 v t 在T 1 , T 2 上的定积分T 2T 1 v t dt来表达 ; 另一方面 , 这段路程又可以通过位置函数 s t 在区间 T 1, T 2 上的增量s T 2 s T 1 T 2来表达 .由此可见 ,位T 1 v t dt 置函数 s t 与速度函数 v t 之间又如下的关系 : T 2T 1 v t dt = s T 2 s T 1 而 s t = v t ,即位置函数 s t 是速度函数 v t 的 原函数 , 所以上
15、述关系式表示 , 速度函数 v t 在区间 T 1, T 2 上的定积分等于 v t 的原函数 s t 在区间 T 1, T 2 上的增量s T 2 s T 1 上述问题在肯定条件下具有普遍性二、积分上限的函数及其导数名师归纳总结 设函数f x 在区间a,b上连续 , 并且设 x 为a,b上的一点 , 就称第 8 页,共 16 页xftdta为积分上限x的函数 , 记为xxftdtaxba此函数具有如下重要性质: 定理 1 假如函数fx在区间a,b上连续 , 就积分上限的函数xxftdta在a,b上可导 , 并且其导数是xdxf tdtfxaxbdxa定理 2 原函数存在定理假如函数fx在区间
16、a,b上连续 , 就函数xxftdtafx a,b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xx aftdt上的一个原函数学习必备欢迎下载就是fx 在a,b三、牛顿莱布尼兹公式定理 3 假如函数Fx是连续函数ffx 在区间a,b上的一个原函数,就证明已知函数Fbfx dxF b Fa 1 a x 的一个原函数,又依据前面的定理知道,x是连续函数积分上限的函数也是fxxxftdt（第四章第一节） ,a的一个原函数； 于是这两个原函数之差为某个常数即F x x C 2 在上式中令 x a,得 F a a C . 又由 x 的定义式及上节定积分的补充规x定知 a 0
17、,因此,C F a . 以 F a 代入 2 式中的 C,以a f t dt 代入 2式中的 x ,可得xa f t dt F x F a ,在上式中令 x b,就得到所要证明的公式 1. 注 由积分性质知, 1 式对 a b 的情形同样成立 . 为便利起见,以后把bF b F a 记成 F x a；公式 1 叫做牛顿 Newton- 莱步尼兹 Leibniz 公式,它给定积分供应了一种有效而简便的运算方法,也称为微积分基本公式；例 1运算定积分；解；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例.2 运算11312dxx3
18、7学习必备欢迎下载1x解：1312dx=arctan1x12例 3 111 dx2 xlnxx1ln1ln2ln2解：dx2x2例.4 运算ysin在 ,上与 x 轴所围成平面图形的面积；解：A0sinxdxcosx02例 5 求解易知这是一个0 型的未定式,我们利用洛必达法就来运算；0因此；练习设计课后习题6名师归纳总结 - - - - - - -教学反思与同学一起做练习,边讲边练注：1每 2 学时至少制定一个教案；2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、试验课等；3上新课和新上课的老师要求写详案；4要求老师上课必带教案；5“ 备注”填写历年更新的内容（手写）；6教案可带附件（课程内容补充
19、材料）；第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 授课学时学习必备欢迎下载新授课教案2 学时课型教学内容（章节）第五章定积分第 3 节 定积分的换元法与分部积分法（1）教学目标把握定积分的换元法备注：教学重、难点把握定积分的换元法教学方法及手段讲练结合法 /板书教学教学预备教材,帮助教材教学过程：一、定积分的换元法定理假设函数fx 在区间a,fb上连续 , 函数xt满意条件1 a,b; 上具有连续导数, 且其值域Ra,b, 就有2 t在,或者,bfx dx= t t dtat 时, 积分限也要换成相应于新变此公式叫定积分的换元公式. x代换成新变量注1 用xt
20、把原先的变量量 t 的积分限 ; 名师归纳总结 2 求出ft t的一个原函数t 后, 不必要再把t 变换成原先变量第 11 页,共 16 页x 的函数 , 而只要把新变量t 的上、下限分别代入t 相减就可以了 . 例 1 运算aa2x2dx a0 0解设xasin , 就dxacostdt, 且当x0时 , t0; 当xa时, t2, 于是有aa2x2dxa222 cos tdt=a221cos2 tdt0020=2 at1sin2 t2=a22204例 2 运算2cos5xsinxdx0解2cos5xsinxdx=2cos5xdcosx 00- - - - - - -精选学习资料 - - -
21、 - - - - - - =6 cos x2= 011学习必备欢迎下载6066在例 2 中, 假如我们不明显地写出新变量t , 那么定积分的上、下限就不要变更. 例 3 运算0sin3xsin5x dx. 33解0sin3xsin5x dx=2sin2xcosxdx+2sin2x cosx dx033 =2sin2xdsinx-2sin2xdsinx 0 =2sin5x2-2sin5x220255 =2255=4 5假如忽视cosx在2,上非正 , 而按3sin3xsin5xsin2xcosx运算 , 将导致错误 . 例4 证明 : 1如函数函数fx在区间a,a上连续且为偶函数, 就afx d
22、x=2afx dxa0上连续且为奇函数, 就 2如函数函数f x 在区间a,aafx dx=0. a证afx dx=0fx dx+afx dxaa0tdt=afx dx对积分0fx dx作代换xt, 就得a0fx dx=-0ftd t=-afaa00所以 =fxafx dx=afx dx+afx dxa00a 0 fx ffx dx1 如为偶函数 , 就x fxfx=2所以名师归纳总结 afx dx2afx dx第 12 页,共 16 页a0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载所以2 如fxafx dx=2afx dxa0为奇函数 ,
23、就fxfx=0 所以afx dx=0 , 偶函数在对称区间上的定积分. a利用本例 , 常可简化运算奇函数练习设计课后习题2名师归纳总结 - - - - - - -教学反思与同学一起做练习,边讲边练注：1每 2 学时至少制定一个教案；2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、试验课等；3上新课和新上课的老师要求写详案；4要求老师上课必带教案；5“ 备注”填写历年更新的内容（手写）；6教案可带附件（课程内容补充材料）；第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 授课学时学习必备欢迎下载新授课教案2 学时课型教学内容（章节）第五章定积分第 3 节 定积分的换元法与分
24、部积分法（2）教学目标把握定积分的换元法备注：教学重、难点把握定积分的换元法教学方法及手段讲练结合法 /板书教学教学预备教材,帮助教材教学过程：一、定积分的换元法定理假设函数fx 在区间a,fb上连续 , 函数xt满意条件1 a,b; 上具有连续导数, 且其值域Ra,b, 就有2 t在,或者,bfx dx= t t dtat 时, 积分限也要换成相应于新变此公式叫定积分的换元公式. x代换成新变量注1 用xt把原先的变量量 t 的积分限 ; 2 求出 f t t 的一个原函数 t 后, 不必要再把 t 变换成原先变量x 的函数 , 而只要把新变量 t 的上、下限分别代入 t 相减就可以了 .
25、例 1 设函数解f x =xex2,x01x02. 1x,1cos运算4fx2dx. 4时, t1令x2dxdt, 且t, 就当x1时, t1; 当x于是名师归纳总结 4f x2dx =2f t dt12tet2dttan11e41第 14 页,共 16 页11 =0dtx+110cos =tan t 201et22 =20222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2 2 coscos xxdx1cos x学习必备欢迎下载2 xdx0x2 2 sin2 sin2例 3 x2 cosx4 cos1xdsin x2 arctan sin x222 sin
26、0201x dxxcos xsin xdx00例 4 2 02xcosxsinxd2xcosxsinxdx d sin2 x01xd sin 2 x122022x2x2dx21-x212dx2x0x3 2法一设x-1sin t12 sin tcos t dt2212 sintdt2cost02法二设x2sin2t原式8sin4 t dt83. .3204.22一、定积分的分部积分法依据不定积分的分部积分法-,可得v x dxb a ux vx dx=ux v x bb a ux a或记作b audv =uvb-b avdua此公式即定积分的分部积分公式 限代入 . 例 1 运算1 0arcsi
27、n xdx. . 公式说明原函数已经积出的部分可以先用上、下名师归纳总结 解1 0arcsin xdx =xarcsin x1111xx2dx第 15 页,共 16 页2 0 -201 2.61x22 031- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =1.61x21t2,dx学习必备欢迎下载2 02 =1231t2 tdt, 且2例 2 运算1exdx. 0t, 就x解先用换元法 , 令x当x0时t0; 当x1时1. 于是1exdx=21tetdt=21tdetxufxdxdu2000 =2tet1-21etdt00 =2 e2te10=2e2 e12. 例 3 设fx在,连续证明：xfux-ud u000证明右边 =uufxdxxxudufxdx0000xxfxdxx 0ufudu0xxfuduxufudu00xx-ufudu课后习题0练习设计名师归纳总结 - - - - - - -教学反思与同学一起做练习,边讲边练注：1每 2 学时至少制定一个教案；2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、试验课等；3上新课和新上课的老师要求写详案；4要求老师上课必带教案；5“ 备注”填写历年更新的内容（手写）；6教案可带附件（课程内容补充材料）；第 16 页,共 16 页