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1、高二数学双曲线学问点及例题一 学问点 1. 双曲线第肯定义： 平面内及两个定点F1、F2的间隔 差的肯定值是常数小于|F1F2|的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的间隔 |F1F2|叫焦距。 2. 双曲线的第二定义： 平面内及一个定点的间隔 和到一条定直线的间隔 的比是常数ee1的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率。 3. 双曲线的标准方程： 1焦点在x轴上的： 2焦点在y轴上的： 3当ab时，x2y2a2或y2x2a2叫等轴双曲线。 注：c2a2b2 4. 双曲线的几何性质： 对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称。 顶点：
2、A1-a，0，A2a，0 线段A1A2叫双曲线的实轴，且|A1A2|2a； 线段B1B2叫双曲线的虚轴，且|B1B2|2b。 e越大，双曲线的开口就越开阔。 5假设双曲线的渐近线方程为： 那么以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成： 【典型例题】 例1. 选择题。 A. 必要但不充分条件B. 充分但不必要条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在y轴上的椭圆 C. 焦点在y轴上的双曲线D. 焦点在x轴上的双曲线 那么F1PF2的面积为 例2. 例3. B-5，0，C5，0是ABC的两个顶点，且，求顶点A的轨迹方程。 例4. 1求及椭圆的双曲
3、线的标准方程。 2求及双曲线的双曲线的标准方程。例5. 1过点M1，1的直线交双曲线于A、B两点，假设M为AB的中点，求直线AB的方程； 2是否存在直线l，使点为直线l被双曲线截得的弦的中点，假设存在求出直线l的方程，假设不存在说明理由。 例六：1. 假设表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是 A. B. 0，2C. D. 1，2 2. 双曲线的两条渐近线的夹角为60，那么双曲线的离心率为 A. 2或B. 2C. D. 3. 圆C1：和圆C2：，动圆M同时及圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。例题答案例一：解：1. 把所给方程及双曲线的标准方程比照 易知：2+m及m+
4、1应同号即可。 选A 易知：x2的系数为负，y2的系数为正 方程表示焦点在y轴上的双曲线 4. 由双曲线方程知：a4，b3，c5 、例二：解：设所求双曲线方程为Ax2By21，AB0 例三：分析：在ABC中由正弦定理可把转化为，结合图形可知顶点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。 解：在ABC中，|BC|10 顶点A的轨迹是以B、C为两个焦点，实轴长为6的双曲线的左支 又c5，a3，b4 注：1利用正弦定理可以实现边及角的转换，这是求轨迹方程的关键； 2对于满意曲线定义的，可以干脆写出轨迹方程； 3求轨迹要做到不重不漏，应删除不满意条件的点。例四： 解：1由椭圆方程知： 2解法一： 双曲线的焦点必在x轴上 解法二： 例五：解：1设AB的方程为：y1kx1 1另解法： 当x1x2时，直线AB及双曲线没有交点。 2假设过的直线l交双曲线于Cx3，y3，Dx4，y4两点 例六： 1. 答案：A 2. 答案：A 3. 分析：解决此题的关键是找寻动点M满意的条件，对于两圆相切，自然找圆心距及半径的关系。 解：设动圆M及圆C1及圆C2分别外切于点A和B，依据两圆外切的充要条件知： 即动点M及两定点C1、C2的间隔 的差是2 依据双曲线定义，动点M的轨迹是双曲线左支点M及C2的间隔 大于及C1的间隔 这里 设Mx，y 轨迹方程为