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1、专题六导数一、选择题1(2015安徽高考)函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图所示，则下列结论成立的是()Aa0，b0，d0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，d0 Da0，b0，c0，d0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0，1) B(1，0)(1，)C(，1)(1，0) D(0，1)(1，)6(2015全国卷)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)2；a0，b2；a1，b2.三、解答题10(2015北京高考)已知函数f(x)ln.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求证：当x(0
2、，1)时，f(x)2；(3)设实数k使得f(x)k对x(0，1)恒成立，求k的最大值11(2015全国卷)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增；(2)若对于随意x1，x21，1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围12(2015全国卷)已知函数f(x)x3ax，g(x)ln x.(1)当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线；(2)用minm，n表示m，n中的最小值，设函数h(x)minf(x)，g(x)(x0)，探讨h(x)零点的个数1曲线yax32x4在点(1，3)处的切线的倾斜角为()A45 B60 C120 D1352已知
3、函数f(x)x32x23m，x0，)，若f(x)50恒成立，则实数m的取值范围是()A. B.C(，2 D(，2)3(2015温州中学模拟)已知f(x)为函数f(x)x的导函数，则下列结论中正确的是()Ax0R，xR且x0，f(x)f(x0) Bx0R，xR且x0，f(x)f(x0)Cx0R，x(x0，)，f(x)04(2015镇海中学三模)当a0时，函数f(x)(x22ax)ex的图象大致是()5已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0) B. C(0，1) D(0，)6(2015温岭中学模拟)已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x
4、0，且x00，则a的取值范围是()A(2，) B(，2) C(1，) D(，1)二、填空题7(2014温州模拟)关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_8若函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_9(2015长沙调研)设直线xt，与函数f(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|到达最小时t的值为_三、解答题 10(2015杭州高级中学模拟)已知函数f(x)aexx2，g(x)sinbx.直线l与曲线yf(x)切于点(0，f(0)且与曲线yg(x)切于点(1，g(1)(1)求a，b的值与直线l的方程； (2)证明：f
5、(x)g(x)11(2015宁波模拟)设函数f(x)x2axln x(aR)(1)当a3时，求函数f(x)的极值；(2)当a1时，探讨函数f(x)的单调性；12(2015乐清乐武寄宿中学)设函数f(x)(xa)ln x，g(x).已知曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0平行(1)求a的值；(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？假设存在，求出k；假设不存在，请说明理由；(3)设函数m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值1设曲线yaxln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y2x，则a()
6、A0 B1 C2 D32函数yx2ln x的单调减区间是()A(1，1 B(0，1 C1，) D(0，)3已知函数f(x)ax3bx2cx，其导函数yf(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则下列说法中不正确的是()A当x时函数获得微小值 Bf(x)有两个极值点C当x2时函数获得微小值 D当x1时函数获得极大值4若0x1x21，则()Aex2ex1ln x2ln x1 Bex2ex1ln x2ln x1 Cx2ex1x1ex2 Dx2ex1x1ex25当x2，1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3 B. C6，2 D4，36(2015学军中学模拟)
7、设函数f(x)，若函数f(x)的极值点x0满意x0f(x0)xm2，则实数m的取值范围是()A(，0) B(，0)(2，) C. D(0，2)7定义一种运算(a，b)*(c，d)adbc，若函数f(x)*(cos x，x2)，设f(x)为函数f(x)的导函数，则f(x)的大致图象是()8(2015镇海中学模拟)已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g(x)，满意g(x)g(x)1的解集为()A(2，) B(0，) C(，0) D(，2)二、填空题9曲线ye5x2在点(0，3)处的切线方程为_10已知函数f(x)aln xx在区间2，3上单调递增，则实数a的取值范围是_11若函数f(x)x36b
8、x3b在(0，1)内有微小值，则实数b的取值范围是_12设P为曲线C：f(x)x2x1上的点，曲线C在点P处的切线斜率的取值范围是1，3，则点P的纵坐标的取值范围是_13若函数f(x)ln xax22x(a0)存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_14(2015湖南高考改编)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为_(材料利用率)15(2015四川高考)已知函数f(x)2x，g(x)x2ax(其中aR)对于不相等的实数x1，x2，设 m，n，现有如下命题：对于随意不相等的实数x1，x2，都
9、有m0；对于随意的a及随意不相等的实数x1，x2，都有n0；对于随意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn；对于随意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn.其中的真命题有_(写出全部真命题的序号)三、解答题16(2015台州中学模拟)已知f(x)ln xa(1x)(1)探讨f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围17(2015北京高考)设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点18(2015安徽高考)设函数f(x)x2axb.(1)探讨函数f(sin x)
10、在内的单调性并推断有无极值，有极值时求出极值；(2)记f0(x)x2a0xb0，求函数|f(sin x)f0(sin x)|在上的最大值D；(3)在(2)中，取a0b00，求zb满意D1时的最大值19(2015广东高考)设a1，函数f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(，)上仅有一个零点；(3)若曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m 1.20(2015嘉兴一中三模)已知函数f(x)x(ln xax)(aR)，g(x)f(x)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线3xy1
11、0平行，务实数a的值；(2)若函数F(x)g(x)x2有两个极值点x1，x2，且x1x2，求证：f(x2)10，可解除D；其导函数f(x)3ax22bxc且f(0)c0，可解除B；又f(x)0有两不等实根，且x1x20，所以a0，故选A.2B当m2时，f(x)在上单调递减，0n8，mn2n16，当m2时，令f(x)(m2)xn80，x，当m2时，对称轴x0，由题意，2，2mn12，6，mn18，由2mn12且2mn知m3，n6取等号当m2时，抛物线开口向下，由题意，即2nm18，9，mn，由2nm18且2nm，得m9(舍去)，mn最大值为18，选B.3AA正确等价于abc0，B正确等价于b2a
12、，C正确等价于3，D正确等价于4a2bc8.下面分状况验证，若A错，由、组成的方程组的解为符合题意；若B错，由、组成的方程组消元转化为关于a的方程后无实数解；若C错，由、组成方程组，阅历证a无整数解；若D错，由、组成的方程组a的解为也不是整数综上，故选A.4C导函数f(x)满意f(x)k1，f(x)k0，k10，0，可构造函数g(x)f(x)kx，可得g(x)0，故g(x)在R上为增函数，f(0)1，g(0)1，gg(0)，f1，f，选项C错误，故选C.5A因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0.当x0时，令g(x)，则g(x)为偶函数，且g(1)g(1)0.当x0时
13、，g(x)0，故g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数所以在(0，)上，当0x1时，g(x)g(1)00f(x)0；在(，0)上，当x1时，g(x)g(1)00f(x)0.综上，得使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0，1)，选A.6D由题意可知存在唯一的整数x0，使得ex0(2x01)ax0a，设g(x)ex(2x1)，h(x)axa.因为g(x)ex(2x1)，所以当x时，g(x)时，g(x)0，所以当x时，g(x)min2e.h(x)a(x1)恒过定点(1，0)，且g(1)e0在同一坐标系中作出yg(x)与yh(x)的大致图象结合图象，应有则解之得a1.故实数a的取值
14、范围是.71f(x)3ax21，f(1)13a，f(1)a2.在(1，f(1)处的切线方程为y(a2)(13a)(x1)将(2，7)代入切线方程，得7(a2)13a，解得a1.84令h(x)f(x)g(x)，则h(x)当1x2时，h(x)2x0，故当1x2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y|h(x)|与y1的图象如图所示由图象可知|f(x)g(x)|1的实根个数为4.9令f(x)x3axb，f(x)3x2a，当a0时，f(x)0，f(x)单调递增，必有一个实根，正确；当a0时，由于选项当中a3，只考虑a3这一种状况，f(x)3x233(x1)(x1)，f(x)极大f(1)13bb2，f(
15、x)微小f(1)13bb2，要有一根，f(x)极大0，b2，正确，错误全部正确条件为.10(1)解因为f(x)ln(1x)ln(1x)，所以f(x)，f(0)2.又因为f(0)0，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y2x.(2)证明令g(x)f(x)2，则g(x)f(x)2(1x2).因为g(x)0(0xg(0)0，x(0，1)，即当x(0，1)时，f(x)2.(3)解由(2)知，当k2时，f(x)k对x(0，1)恒成立当k2时，令h(x)f(x)k，则h(x)f(x)k(1x2).所以当0x时，h(x)0，因此h(x)在区间上单调递减当0x时，h(x)h(0)0，即f(x)2
16、时，f(x)k并非对x(0，1)恒成立综上可知，k的最大值为2.11(1)证明f(x)m(emx1)2x.若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0；当x(0，)时，emx10，f(x)0.若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0；当x(0，)时，emx10，f(x)0.所以，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)解由(1)知，对随意的m，f(x)在1，0上单调递减，在0，1上单调递增，故f(x)在x0处获得最小值所以对于随意x1，x21，1时，|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是即设函数g(t)ette1，则g(t)et1.当t0时，g(t)0；当t0时，
17、g(t)0.故g(t)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增又g(1)0，g(1)e12e0，故当t1，1时，g(t)0.当m1，1时，g(m)0，g(m)0，即式成立；当m1时，由g(t)的单调性，g(m)0，即emme1；当m1时，g(m)0，即emme1.综上，m的取值范围是1，112解(1)设曲线yf(x)与x轴相切于点(x0，0)，则f(x0)0，f(x0)0.即解得x0，a.因此，当a时，x轴为曲线yf(x)的切线(2)当x(1，)时，g(x)ln x0，从而h(x)minf(x)，g(x)g(x)0，故h(x)在(1，)上无零点当x1时，若a，则f(1)a0，h(1)minf
18、(1)，g(1)g(1)0，故x1是h(x)的零点；若a，则f(1)0，h(1)minf(1)，g(1)f(1)0.所以只需考虑f(x)在(0，1)上的零点个数()若a3或a0，则f(x)3x2a在(0，1)上无零点，故f(x)在(0，1)上单调而f(0)，f(1)a，所以当a3时，f(x)在(0，1)上有一个零点；当a0时，f(x)在(0，1)上没有零点()若3a0，即a0，f(x)在(0，1)上无零点；若f0，即a，则f(x)在(0，1)上有唯一零点；若f0，即3a，由于f(0)，f(1)a，所以当a时，f(x)在(0，1)上有两个零点；当3或a时，h(x)有一个零点；当a或a时，h(x)
19、有两个零点；当a0，得x4或x0.f(x)在(0，4)上递减，在(4，)上递增，当x0，)时，f(x)minf(4)要使f(x)50恒成立，只需f(4)50恒成立即可，代入解之得m.3D令f(x)10，得x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，0)时，f(x)0；当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.故当x0时，f(x)2；当x0时，f(x)2，故函数在其定义域内没有最大值与最小值，故A，B错；函数在x(1，)时，f(x)0，故C错；当x01时满意题意，D正确，故选D.4Bf(x)ex(x22ax)(2x2a)exexx22x(a1)2a令f(x)0，得x(a1)0时，
20、f(x)在(，0)与上单调递增，在上单调递减且f(0)10，故f(x)有小于0的零点，不符题意，解除A、C.当a0且唯一，只需f 0，即a24，a2，选B.7(4，0)由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且微小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22.当x0时，f(x)0；当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0，所以当x0时，f(x)获得极大值，即f(x)极大值f(0)a；当x2时，f(x)获得微小值，即f(x)微小值f(2)4a，所以解得4a0.8(0，1)(2，3)对f(x)求导，得f(x)x4.由f(x)0得函数f(x)的两个极值点
21、为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，所以t1t1或t3t1，解得0t1或2t3.9.当xt时，f(t)t2，g(t)ln t，y|MN|t2ln t(t0)y2t.当0t时，y0；当t时，y0.y|MN|t2ln t在t时有最小值10(1)解f(x)aex2x，g(x)cosb.f(0)a，f(0)a，g(1)1b，g(1)b，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线为yaxa，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线为yb(x1)1b，即ybx1.依题意，有ab1，直线l方程为yx1.(2)证明由(1)知f(x)exx2，g(x)si
22、nx.设F(x)f(x)(x1)exx2x1，则F(x)ex2x1，当x(，0)时，F(x)F(0)0；F(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，故F(x)F(0)0，当且仅当x0时F(0)0成立设G(x)x1g(x)1sin，则G(x)0，当且仅当x4k1(kZ)时等号成立由上可知，f(x)x1g(x)，且两个等号不同时成立，因此f(x)g(x)11解(1)函数的定义域为(0，)当a3时，f(x)x23xln x，f(x)，当x0，f(x)单调递增；当0x1时，f(x)0，f(x)单调递减所以f(x)极大值f(1)2，f(x)微小值fln 2.(2)f(x)(1a)xa当1，即a2
23、时，f(x)0，f(x)在定义域上是减函数；当02时，令f(x)0，得0x1；令f(x)0，得x1，即1a0，得1x；由f(x)0，得0x，综上，当a2时，f(x)在(0，)上是减函数；当a2时，f(x)在与(1，)单调递减，在上单调递增；当1a0；当x(1，2)时，f(x)0，所以f(x)有两个极值点1与2，且当x2时函数获得微小值，当x1时函数获得极大值只有A不正确4CA，B中构造函数f(x)exlnx，f(x)ex，在(0，1)上有零点，故A，B错；C，D中令g(x)，g(x)0，g(x)在(0，1)单调递减，又x2x1，故选C.5C当x0时，ax3x24x30变为30恒成立，即aR.当
24、x(0，1时，ax3x24x3，a，a.设(x)，(x)0，(x)在(0，1上递增，(x)max(1)6.a6.当x2，0)时，a，a.仍设(x)，(x).当x2，1)时，(x)0，当x(1，0)时，(x)0.当x1时，(x)有微小值，即为最小值而(x)min(1)2，a2.综上知6a2.6C由f(x)，得f(x)x，又x0是f(x)的极值点，f(x0)0，解之得x0，因此x0f(x0)xmx，所以m2，解之得0m.7Af(x)x2cos x，则f(x)xsin x，f(x)为奇函数，解除选项B，D.又f(x)cos x，令cos x0，则x2k，kZ.当0x时，f(x)cos x0.函数yf
25、(x)在内是减函数，图象A相宜8C 令F(x)1，则F(x)g(x)g(x).g(x)g(x)0，F(x)0的解集为(，0)95xy30y5e5x，k5e05，切线方程为y35x，即5xy30.102，)f(x)aln xx.f(x)1.又f(x)在2，3上单调递增，10在x2，3上恒成立，a(x)max2，a2，)11.f(x)3x26b，若f(x)在(0，1)内有微小值，只需f(0)f(1)0，即6b(36b)0，解得0b.12.设P(x0，y0)，则f(x)2x1.12x013，即0x02.y0f(x0)xx01，x00，2，y03，故点P的纵坐标的取值范围是.13(1，0)(0，)对函
26、数f(x)求导，得f(x)(x0)依题意，得f(x)0在(0，)上有解，44a0且方程ax22x10至少有一个正根，a1，又a0，1a0.14.该三视图对应的几何体为底面半径为1，高为2的圆锥如图，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，上、下底面中心分别为O1，O2，上方截得的小圆锥的高为h，底面半径为r，则a2b24r2.由三角形相像，得，即，则h2r.长方体的体积为Vabcab(22r)(22r)2r2(22r)4r24r3(当且仅当ab时取等号，且0r1)设y4r24r3(0r0，得0r.由y0，得r0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)无
27、最大值；当a0时，f(x)在x获得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f 2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)0；当a1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0，1)17(1)解函数的定义域为(0，)由f(x)kln x(k0)得f(x)x.由f(x)0解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上的变更状况如下表：所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在x处获得微小值f().(2)证明由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0
28、，从而ke，当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)0，f()0，所以f(x)在区间(1，上仅有一个零点综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点18解(1)f(sin x)sin2 xasin xbsin x(sin xa)b，x.f(sin x)(2sin xa)cos x，x.因为x0，22sin x2.a2，bR时，函数f(sin x)单调递增，无极值a2，bR时，函数f(sin x)单调递减，无极值对于2a2，在内存在唯一的x0，使得2sin x0a.
29、xx0时，函数f(sin x)单调递减；x0x时，函数f(sin x)单调递增；因此，2a2，bR时，函数f(sin x)在x0处有微小值，f(sin x0)fb.(2)x时，|f(sin x)f0(sin x)|(a0a)sin xbb0|aa0|bb0|.当(a0a)(bb0)0时，取x，等号成立当(a0a)(bb0)1，f(0)2aeaa2aaa0，f(0)f(a)0，f(x)在(0，a)上有一零点，又f(x)在(，)上递增，f(x)在(0，a)上仅有一个零点，f(x)在(，)上仅有一个零点(3)证明f(x)(x1)2ex，设P(x0，y0)，则f(x0)ex0(x01)20，x01，把x01，代入yf