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1、第一单元 分数乘法 一、分数乘法的计算法那么：1、分数及整数相乘：分子及整数相乘的积做分子，分母不变。整数和分母约分2、分数及分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。留意：当带分数进展乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进展计算。二、规律：乘法中比较大小时一个数0除外乘大于1的数， 积大于这个数。 一个数0除外乘小于1的数0除外，积小于这个数。 一个数0除外乘1， 积等于这个数。三、分数混合运算的运算依次和整数的运算依次一样。四、整数乘法的交换律、结合律和安排律，对于分数乘法也同样适用。乘法交换律： a b = b a乘法结合律： ( a
2、 b )c = a ( b c )乘法安排律： a + b c = a c + b c a c + b c = a + b c常见乘法计算敏感数字 ：254100 12581000 加法交换律简算例子 加法结合律简算例子 乘法交换律简算例子 乘法结合律简算例子 + + 33 23=+ =+ =33 =23=+ =+(+) =33 =23 ()=1+ =+1 =13 =232含加法交换律及结合律 含乘法交换律及结合律 数字换减法式 数字换加法式 + 35 101=+ = = (36-1) = (100+1) =+ + = =36-1 =100+1= (+)+ (+) = ()() =5- =1+
3、=1+1 =21 乘法安排律提取式 乘法安排律提取式 乘法安排律(添项) 乘法安排律(添项) 1011.6 101 52+29-0.625 =101-1 =() =101- =52+29- =101-1 =80 =101-1 =52+29-1 =(101-1) =80016 =(101-1) =(52+29-1) =100 =100 =80 减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 数字换乘法式18- 1-0.75 12-() 125=18- =1- =12-(+) 125=18-(+) =1- =12-(125)=18-1 =1- =12- =100除法的性质简算例子 除法
4、的性质简算例子 除法的性质简算例子 数字换乘法式32002.50.4 27002.7 5900() 3333333333=3200() =2700 =5900 =11111333333=32001 =1000 =1000 =1111199999同级运算中，第一个数不能动，后面的数可以带着符号搬家 =11111(100000-1)1+- 2500.4 1-+ 29=1-+ =2500.8 =1+- =29=1+ =1000.8 =2- =100二、分数乘法的解决问题假如单位1是的, 要求它的几分之几，就用乘法1、找单位“1： 在分率句中分率的前面； 或 “占、“是、“比的后面2、求一个数的几倍：
5、 一个数几倍； 求一个数的几分之几是多少： 一个数几分之几 。3、写数量关系式技巧： 1“的 相当于 “ “占、“是、“比相当于“ = 2分率前是“的： 单位“1的量分率=分率对应量3分率前是“多或少的意思： 单位“1的量1 + - 分率=分率对应量第二单元 位置及方向1位置是相对的，要指出一个物体的位置，必需以另一个物体为参照物。以谁为参照物，就以谁为观测点。2东偏北30。也可说成北偏东60。，但在生活中一般先说及物体所在方向离得较近夹角较小的方位。3确定一个物体的精确位置，只知道方向或间隔 是不行以的，要同时知道这两个条件才行。4依据方向和间隔 确定物体位置的方法：1确定好方向并用量角器测
6、量出被测物体所在的方向角度；2用直尺测量出被测物体和观测点之间的图上间隔 ，结合单位长度计算出实际间隔 ；3依据方向角度和间隔 精确推断或描绘被测物体的位置。5要标出物体的位置必需先确定方向，再确定在这一方向上的间隔 。6绘制平面图时，要依据实际间隔 确定好单位长度，即 代表多长间隔 。7在平面图上标出物体位置的方法：先确定方向，再以选定的单位长度为基准来确定间隔 ，最终找出物体的详细位置，标上名称。8描绘物体的位置及观测点有关，观测点不同，物体位置的描绘就不同。两地的位置具有相对性，方向相反其夹角度数不变，间隔 一样。9两地的位置关系具有相对性，以这；两个不同地点为观测点描绘对方所在的方向时
7、，方向正好相反甲在乙东偏南30100米，那么乙在甲西偏北30100米10描绘路途图时，要先按行走路途确定每一个观测点，然后以每一个观测点为参照物，再描绘到下一个目的所行走的方向和路程。11在平面图上确定物体的位置及方向关键要做到三点：1确定好观测点及单位长度；2找准方向；3线段上每一段的长度要及单位长度统一。12以谁为观测点就以谁为中心画出方向标，然后推断出另一点所在的方向和间隔 13绘制路途图的步骤画出北，确定方向标和单位长度比例尺( )确定起点的位置。依据描绘，从起点动身，找好方向和间隔 ，一段一段地画。画每一段都要以每一段新的起点为观测点以谁为观测点，就以谁为中心画出“十字方向标，然后推
8、断下一点的方向和间隔 。标出数据、名称、角度。(绘制的路途图只有一条线，所作的线是首尾相连的) 第三单元分数除法 1、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们相互依存，倒数不能单独存在。要说清谁是谁的倒数。2、求倒数的方法：1、求分数的倒数：交换分子分母的位置。2、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。3、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。4、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。3、1的倒数是1； 0没有倒数。 因为11=1；0乘任何数都得0， 分母不能为04、对于随意数a(a0)，它的倒数为。非零整数a的倒数
9、为。分数的倒数是 5、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。一、分数除法1、分数除法的意义： 分数除法及整数除法的意义一样，表示两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。2、分数除法的计算法那么： 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。3、规律分数除法比较大小时：当除数大于 1， 商小于被除数； 当除数小于1不等于 ，商大于被除数； 当除数等于 1， 商等于被除数。4、“ 叫做中括号。一个算式里，假如既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。二、分数除法解决问题单位“1的几分之几是多少，单位“1的量是要求的问题。就用除法1、数量关系式和分
10、数乘法解决问题中的关系式一样：1分率前是“的： 单位“1的量分率=分率对应量2分率前是“多或少的意思： 单位“1的量1 +-分率=分率对应量2、解法：建议：最好用方程解答1方程： 依据数量关系式设未知量为，用方程解答。2算术用除法： 分率对应量对应分率 = 单位“1的量 3、求一个数是另一个数的几分之几：就 一个数另一个数4、求一个数比另一个数多少几分之几： 求多几分之几：大数小数 1 求少几分之几： 1 - 小数大数 或求多几分之几(大数-小数)比后面的数 求少几分之几(大数-小数)比后面的数求的不是单位“1 单位“1的量对应分率 单位“1的量对应分率 200 200 25% 200 ( 1
11、+) 200 ( 1+25%) 200 ( 1-) 200 ( 1-25%)求的是单位“1 分率对应量 对应分率 分率对应量 对应分率 200 200 25% 200 ( 1+) 200 ( 1+25%) 200 ( 1-) 200 ( 1-25%)第四单元 比和比的应用 一、比的意义1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。例如 15 ：10 = 1510= 比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示 前项 比号 后项 比值3、比可以表示两个一样量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同
12、量的比，得到一个新量。例： 路程速度=时间。4、区分比和比值比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。5、依据分数及除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。6、比和除法、分数的联络： 比 前 项比 号 “： 后 项比 值除 法被除数除 号“ 除 数 商分 数分 子分数线“分 母分数值7、比和除法、分数的区分：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。8、依据比及除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。 体育竞赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。二、比的根本性质1、依据比
13、、除法、分数的关系：商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以一样的数0除外，商不变。分数的根本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一样的数时0除外，分数值不变。比的根本性质：比的前项和后项同时乘或除以一样的数(0除外)，比值不变。2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。3、依据比的根本性质，可以把比化成最简洁的整数比。4.化简比： 用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。两个小数的比：向右挪动小数点的位置，先化成整数比再化简。2用求比值的方法。留意: 最终结果要写成比的形式。如： 1
14、510 = 1510 = = 325按比例安排：把一个数量依据肯定的比来进展安排。这种方法通常叫做按比例安排。如： 两个量之比为a ：b ，那么设这两个量分别为 a b6、路程肯定，速度比和时间比成反比。如：路程一样，速度比是4：5，时间比那么为5：4 工作总量肯定，工作效率和工作时间成反比。如：工作总量一样，工作时间比是3：2，工作效率比那么是2：3第五单元圆 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上随意一点的间隔 都相等3、半径：连接圆心到圆上随意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把
15、圆规两脚分开，两脚之间的间隔 就是圆的半径。4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。6、在同圆或等圆内，有多数条半径，有多数条直径。全部的半径都相等，全部的直径都相等。7在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的 用字母表示为：d2r或r d 8、轴对称图形：假如一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形可以完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。经过圆心的随意一条直线或直径所在的直线9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。10、只有1一
16、条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有2条对称轴的图形是： 长方形只有3条对称轴的图形是： 等边三角形只有4条对称轴的图形是： 正方形;有多数条对称轴的图形是： 圆、圆环。二、圆的周长1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。2、圆周率试验：在圆形纸片上做个记号，及直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。发觉一般规律，就是圆周长及它直径的比值是一个固定数。3圆周率：随意一个圆的周长及它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母pai 表示。1、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率是一个无限不循环小数。在
17、计算时，一般取 3.14。2、在推断时，圆周长及它直径的比值是倍，而不是3.14倍。3、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。4、圆的周长公式： C= d d = C 或C=2r r = C25、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。6、区分周长的一半和半圆的周长：1周长的一半：等于圆的周长2 计算方法：2r 2 即 r 2半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：r2r 三、圆的面积1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
18、顶点在圆心的角叫做圆心角。3、圆面积公式的推导：1、用渐渐靠近的转化思想： 表达化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为，化困难为简洁，化抽象为详细。2、把一个圆等分偶数份成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。3、拼出的图形及圆的周长和半径的关系。圆的半径 = 长方形的宽 圆的周长的一半 = 长方形的长 因为： 长方形面积 = 长 宽所以： 圆的面积 = 圆周长的一半 圆的半径 S圆= r r 圆的面积公式： S圆= r 4、环形的面积： 一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。Rr环的宽度S环 = R 或 S环 = R5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小一样的倍数。而
19、面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 例如：两个圆的半径比是23，那么这两个圆的直径比和周长比都是23，而面积比是497、随意一个正方形及它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：48、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积一样时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。9、确定起跑线：1、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。2、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长确
20、定每条跑道的总长度。因此起跑线不同3、每相邻两个跑道相隔的间隔 是： 2跑道的宽度4、当一个圆的半径增加厘米时，它的周长就增加厘米；当一个圆的直径增加厘米时，它的周长就增加厘米。C长=(a+b)2 a=C2-b b=C2-a C正 =a4 a=C4 S长=ab a=Sb b=SaS正 =aa S圆=r C圆 =d C圆 =2r r=d2 r=C2 d=C圆周长的一半=r r=圆周长的一半 半圆周长=(+2)r r=半圆周长(+2) S环=(R) L弧=r C扇=r+2r S扇= r11、常用各值结果： 49 =153.86 81= 100 = 314 12、常用平方数结果 11 = 121 1
21、2 = 144 13 = 169 14 = 196 15 = 225 16 = 256 17 = 289 18 = 324 19 = 361 20=400 第六单元 百分数一一、百分数的意义和写法1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指两个数的比，因此也叫百分率或百分比。2、千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。3、百分数和分数的主要联络及区分：1联络：都可以表示两个量的倍比关系。2区分：、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示详细的数量，所以不能带单位；分数既可以表示详细的数，又可以表示两个数的关系，表示具本数时可以带单位。、百分数的分子可以是整数，也可以是小
22、数；分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“来表示。二、百分数和分数、小数的互化一百分数及小数的互化：1、小数化成百分数：把小数点向右挪动两位，同时在后面添上百分号。2. 百分数化成小数：把小数点向左挪动两位，同时去掉百分号。 二百分数的和分数的互化1、百分数化成分数：先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100的分数，能约分要约成最简分数。2、分数化成百分数： 用分数的根本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。先把分数化成小数除不尽时，通常保存三位小数，再把小数化成百分数。三常见的分数及小数、
23、百分数之间的互化 = 0.5 = 50% = 0.25 = 25% = 0.75 = 75% = 0.2 = 20% = 0.4 = 40% = 0.6 = 60% = 0.8 = 80% = 0.125 = 12.5% = 0.375 = 37.5% = 0.625 = 62.5% = 0.875 = 87.5% = 0.0625 = 6.25% =0.05= 5 =0.04= 4 =0.02=2 三、用百分数解决问题一一般应用题1、常见的百分率的计算方法：合格率 =合格产品数/产品总数100% 发芽率 = 发芽种子数/种子总数100% 出勤率 =出勤人数/总人数100% 达标率 =达标人数
24、/总人数100% 成活率 =成活数量/总数量100% 出粉率 =粉的重量/出粉物的重量100% 出米率=米的数量/出米物的重量 出油率=油的重量/出油物的重量数100%烘干率 =烘干后的重量/烘干前的重量100% 含水率 =(烘干前的重量-烘干后的重量)/ 烘干前的重量100% 含水率 =(水的质量/水及物体的总质量)100% 含糖率=糖的重量/糖水的重量100% 含盐率=盐的重量/盐水的重量100% 近视率=近视人数/总人数100% 命中率=命中的次数/投篮次数100%百分率表示两个数的比，是没有单位名称的一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能到达100%，出米率、出油率达不到100%，
25、完成率、增长了百分之几等可以超过100%。一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。2、单位“1的量，求单位“1的百分之几是多少的问题用乘法：数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式一样：1分率前是“的： 单位“1的量分率=分率对应量2分率前是“多或少的意思： 单位“1的量1+- 分率=分率对应量3、未知单位“1的量用除法，单位“1的百分之几是多少，求单位“1。 解法：建议：最好用方程解答1方程： 依据数量关系式设未知量为，用方程解答。2算术用除法： 分率对应量对应分率 = 单位“1的量 4、求一个数比另一个数多少百分之几的问题：两个数的相差量单位“1的量 100% 求多几分之几(大数-小
26、数)比后面的数 求少几分之几(大数-小数)比后面的数第七单元 扇形统计图一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比因此也叫百分比图。二、常用统计图的优点：1、条形统计图：可以清晰的看出各种数量的多少。2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减改变状况。3、扇形统计图：可以清晰的反映出各部分数量同总数之间的关系。三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小及这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。第八单
27、元数学广角数及形在解决问题中，计算基于图形，画个图形，关系就变得特别明晰第九单元补充内容一位置1、行和列的意义：竖排叫做列，横排叫做行。 2、数对可以表示物体的位置，也可以确定物体的位置。 3、数对表示位置的方法：先表示列，再表示行。用括号把代表列和行的数字或字母括起来，再用逗号隔开。例如：7，9表示第七列第九行。 4、两个数对，前一个数一样，说明它们所表示物体位置在同一列上。如：2，4和2，7都在第2列上。 5、两个数对，后一个数一样，说明它们所表示物体位置在同一行上。如：3，6和1，6都在第6行上。6、物体向左、右平移，行数不变，列数减去或加上平移的各数。 物体向下、上平移，列数不变，行数
28、减去或加上平移的各数二数学广角鸡兔同笼1总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：总脚数-每只鸡的脚数总头数每只兔的脚数-每只鸡的脚数=兔数；总头数-兔数=鸡数。或者是每只兔脚数总头数-总脚数每只兔脚数-每只鸡脚数=鸡数；总头数-鸡数=兔数。2总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式每只鸡脚数总头数-脚数之差每只鸡的脚数+每只兔的脚数=兔数；总头数-兔数=鸡数或每只兔脚数总头数+鸡兔脚数之差每只鸡的脚数+每只免的脚数=鸡数；总头数-鸡数=兔数。3总头数及鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式每只鸡的脚数总头数+鸡兔脚数之差每只鸡的脚数+每只兔的脚数=兔数；总头数-兔
29、数=鸡数。或每只兔的脚数总头数-鸡兔脚数之差每只鸡的脚数+每只兔的脚数=鸡数；总头数-鸡数=兔数。4得失问题鸡兔问题的推广题的解法，可以用下面的公式：1只合格品得分数产品总数-实得总分数每只合格品得分数+每只不合格品扣分数=不合格品数。 或者是 总产品数-每只不合格品扣分数总产品数+实得总分数每只合格品得分数+每只不合格品扣分数=不合格品数“得失问题也称“运玻璃器皿问题，运到完好无损者每只给运费元，破损者不仅不给运费，还须要赔本钱元。它的解法明显可套用上述公式。5鸡兔互换问题总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题，可用下面的公式：两次总脚数之和每只鸡兔脚数和+两次总脚数之差每只鸡兔脚数之
30、差2=鸡数两次总脚数之和每只鸡兔脚数之和-两次总脚数之差每只鸡兔脚数之差2=兔数 + - = ( ) r 6方程解法：假设鸡兔一共8只，设鸡有只，那么兔有8只 解方程方法一：消项(假如消3，方程两边就同时3 ；假如消3，方程两边就同时3)1：把方程里的“括号全部去掉，两种去括号的方法任选其一 2：假如两边都有 几 , 要先消去其中一边的 几 (假如有“-几，就把“-几消去，假如没有“-几，就把较小的消去掉)3：消去 “-几， 消去“ 4：把这边的数字全部消掉，先消“+ - 再消“ 最终消“ (留意：无论解到哪一步，数字+几 都要写成 几+数字) 解方程方法二：移项(3移到另一边就变成3，3移到
31、另一边就变成3) 1：把方程里的“括号全部去掉，两种去括号的方法任选其一 2：假如两边都有 几 ,就把其中一边的 几 移到另一边 (假如有“-几，就把“-几移到另一边。假如没有“-几，就把较小的移到另一边)3：把“-几移到另一边，把 “移到另一边4：把这边的数字全部移到另一边，先移“+ - 再移“ 最终移“ (留意：无论解到哪一步，数字+几 都要写成 几+数字) 高级单位化低级单位： 高级单位的数它们之间的进率低级单位聚高级单位： 低级单位的数它们之间的进率长度单位换算 km m dm cm mm 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米面积单位
32、换算 km m dm cm mm1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 体(容)积单位换算 L mL m dm cm1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1升=1000毫升1立方米=1000升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 质量单位换算 t k 1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 人民币单位换算 1元=10角 1角=10分 1元=100分 时间单位换算 h min s1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:135781012月 小月(30天)的有:46911月 平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒