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1、分式的学问点及典型例题分析1、分式的定义：例：以下式子中，、8a2b、-、2-、 、中分式的个数为 A 2 B 3 C 4 (D) 5练习题：1以下式子中，是分式的有 .； ；.2以下式子，哪些是分式？； ； ；.2、分式有，无意义，总有意义：1使分式有意义：令分母0按解方程的方法去求解；2使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；留意：0例1：当x 时，分式有意义； 例2：分式中，当时，分式没有意义例3：当x 时，分式有意义。 例4：当x 时，分式有意义例5：，满意关系 时，分式无意义；例6：无论x取什么数时，总是有意义的分式是 A B. C. D.例7：使分式 有意义的x的取值范围为A
2、BCD例8：要是分式同步练习题：3、分式的值为零：使分式值为零：令分子=0且分母0，留意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，假如使分母=0了，那么要舍去。例1：当x 时，分式的值为0 例2：当x 时，分式的值为0例3：假如分式的值为为零,那么a的值为( ) A. B.2 C. 例4：能使分式的值为零的全部的值是 A B C 或 D或例5：要使分式的值为0，那么x的值为 A.3或-3 B.3 3 D 2例6：假设,那么a4、分式的根本性质的应用：分式的根本性质：分式的分子及分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 例1： ； ；假如成立,那么a的取值范围是；例2： 例3：假如把分式中
3、的a和b都扩大10倍，那么分式的值 A、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变例4：假如把分式中的x，y都扩大10倍，那么分式的值 A扩大100倍 B扩大10倍 C不变 D缩小到原来的例5：假如把分式中的x和y都扩大2倍，即分式的值 A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小2倍例6：假如把分式中的x和y都扩大2倍，即分式的值 A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小2倍例7：假如把分式中的x和y都扩大2倍，即分式的值 A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小倍例8：假设把分式的x、y同时缩小12倍，那么分式的值A扩大12倍B缩小12倍C不变D缩小
4、6倍例9：假设x、y的值均扩大为原来的2倍，那么以下分式的值保持不变的是 A、 B、 C、 D、例10：根据分式的根本性质，分式可变形为 A B C D 例11：不变更分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数， ；例12：不变更分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， = 。5、分式的约分及最简分式：约分的概念：把一个分式的分子及分母的公因式约去，叫做分式的约分分式约分的根据：分式的根本性质分式约分的方法：把分式的分子及分母分解因式，然后约去分子及分母的公因式约分的结果：最简分式分子及分母没有公因式的分式，叫做最简分式约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进
5、展约分。第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进展因式分解，再去找共同的因式约去。例1：以下式子1；2；3；4中正确的选项是 A 、1个 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个例2：以下约分正确的选项是 A、； B、； C、； D、例3：以下式子正确的选项是( )A B. C. D.例4：以下运算正确的选项是 A、 B、 C、 D、例5：以下式子正确的选项是 A B C D例6：化简的结果是 A、 B、 C、 D、例7：约分： ；= ； 。例8：约分： ； ； ； ； ； 。例9：分式，中，最简分式有( )A1个 B2个 C3个 D4个6、分式的乘，除，乘方：分式的乘法：乘法
6、法测：=.分式的除法：除法法那么：=分式的乘方：求n个一样分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是()n.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：()(n为正整数)例题：计算：1 2 3计算：4 5 6 计算：7 8 9计算：10 11 12 计算：13 14求值题：1：，求的值。 2：，求的值。 3：，求的值。例题：计算：1 2= 3= 计算：4= 5 6求值题：1： 求的值。2：求的值。例题：计算的结果是 A B C D 例题：化简的结果是 A. 1 B. C. D . 计算：1；2 3(a21)7、分式的通分及最简公分母：通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分
7、母是多项式要先把分母因式分解分为三种类型：“二、三型；“二、四型；“四、六型等三种类型。“二、三型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。例如：最简公分母就是。“二、四型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。例如：最简公分母就是“四、六型：指几个分母之间有一样的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；一样的都要有。例如：最简公分母是：这些类型自己要在做题过程中细致地去理解和应用，细致的去发觉之间的区分及联络。例1：分式的最简公分母是 A B C D例2：对分式，通分时， 最简公分母是 Ax2y B例3：下面各分式：,，其中最简分式有 个。A. 4B
8、. 3C. 2D. 1例4：分式，的最简公分母是 .例5：分式a及的最简公分母为；例6：分式的最简公分母为 。8、分式的加减：分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。通分方法：先视察分母是单项式还是多项式，假如是单项式那就接着考虑是什么类型，找出最简公分母，进展通分；假如是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，接着通分。分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式及分式的加减。例1：= 例2：= 例3：= 例4：= 计算：1 2 3 4 . 例5：化简等于 A B C D例6：
9、例7： 例8： 例9： 例10： 例11： 例12： 练习题：1 2 3 +. 4 5 例13：计算的结果是 A B C D 例14：请先化简：，然后选择一个使原式有意义而又喜爱的数代入求值.例15： 求的值。9、分式的混合运算：例1： 例2：例3： 例4： 例5： 例6： 例7 例8： 例9： 练习题：10、分式求值问题：例1：x为整数，且为整数，求全部符合条件的x值的和.例2：x2，y，求的值.例3：实数x满意4x2-4，那么代数式2的值为例4：实数a满意a22a8=0，求的值.例5：假设 求的值是 A B C D例6：，求代数式的值例7：先化简，再对取一个相宜的数，代入求值练习题：1，其
10、中5. 2,其中5 3,其中3，24 ；其中85； 5，其中 -16先化简，再求值：(2).其中x2.78先化简，再选择一个你喜爱的数代入求值11、分式其他类型试题：例1：视察下面一列有规律的数：，根据其规律可知第个数应是n为正整数例2： 视察下面一列分式：根据你的发觉，它的第8项是 ，第n项是 。例3：按图示的程序计算，假设开始输入的n值为4，那么最终输出的结果m是 A 10 B 20 C 55 D 50例4：当时,分式及互为相反数.例5：在正数范围内定义一种运算，其规那么为，根据这个规那么的解为 ABC或1D或例6：，那么；例7： ，那么AB C D例8：，求的值；例9：设,那么的值是(
11、) A. B.0 C.1 D.例10：请从以下三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式44 4 2例11：先填空后计算：= 。= 。= 。3分本小题4分计算：解：= 12、化为一元一次的分式方程：1分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。2解分式方程的过程，本质上是将方程两边同乘以一个整式最简公分母，把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此分式方程肯定要验根。3解分式方程的步骤 ：1能化简的先化简； (2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程； (4)验根例1：假如分式的值为1，那么x
12、的值是 ；例2：要使的值相等，那么。例3：当时，方程=2的根为.例4：假如方程 的解是x5，那么a 。例5：(1) (2) 例6:解方程：例7：关于x的方程无解，求a的值。例8：关于x的方程的根是正数，求a的取值范围。例9：假设分式及的2倍互为相反数，那么所列方程为；例10：当m为何值时间？关于的方程的解为负数？例11：解关于的方程例12：解关于x的方程:例13：当a为何值时, 的解是负数例14：先化简,再求值:,其中满意方程组例15知关于x的方程的解为负值，求m的取值范围。练习题： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8 9 13、分式方程的增根问题：1增根应满意两个条
13、件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 2分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，假如最简公分母的值不为0，那么整式方程的解是原分式方程的解；否那么，这个解不是原分式方程的解。例1：分式方程+1=有增根，那么 例2：当k的值等于 时，关于x的方程不会产生增根；例3：假设解关于x的分式方程会产生增根，求m的值。例4：取 时，方程会产生增根；例5：假设关于x的分式方程无解，那么m的值为。例6：当k取什么值时？分式方程有增根.例7：假设方程有增根，那么m的值是 A4 B3 C-3 D1例8：假设方程有增根，那么增根可能为 A、0 B、2 C、0或2 D、114
14、、分式的求值问题：例1：，分式的值为 ；例2：假设1，那么的值为 。例3： ，那么 ；例4：，那么的值为 A B C D 例5：，求的值；例6：假如=2，那么= 例7：及的和等于，那么 , b = 。例8：假设，那么分式 A、 B、 C、1 D、1例9：有一道题“先化简，再求值：，其中。小玲做题时把“错抄成了“，但她的计算结果也是正确的，请你说明这是怎么回事？例10：有这样一道数学题:“己知2005,求代数式a(1+)的值,王东在计算时错把“2005抄成了“2050，但他的计算结果仍旧正确，请你说说这是怎么回事。例11：有这样一道题：“计算：的值，其中，某同学把错抄成，但它的结果及正确答案一样
15、，你说这是怎么回事？例题：，求的值。15、分式的应用题：1列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答2应用题有几种类型；根本公式是什么？根本上有四种：a.行程问题：根本公式：路程=速度时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题b.数字问题： 在数字问题中要驾驭十进制数的表示法c.工程问题： 根本公式：工作量=工时工效d.顺水逆水问题: v顺水静水水 v逆水静水水工程问题：例1：一项工程，甲需x小时完成，乙需y小时完成，那么两人一起完成这项工程须要 小时。例2：小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的
16、时间相等。设小明打字速度为x个/分钟，那么列方程正确的选项是 A B C D 例3：某工程须要在规定日期内完成,假如甲工程队独做,恰好如期完成; 假如乙工作队独做,那么超过规定日为x天,下面所列方程中错误的选项是( )A.; B.; C.; D.例4：一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作须要的小时数是A B C D例5：赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发觉平常每天要多读21页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页假如设读前一半时,平均每天读x页,那么以下方程中,正确的选项是 A、 B、 B、 D、例6：某煤厂原方
17、案天消费120吨煤，由于采纳新的技术，每天增加消费3吨，因此提早2天完成任务，列出方程为 A B C D 例7：某工地调来72人参与挖土和运土工作，3人挖出的土1人恰好能全部运走，问怎样调配劳动力才使挖出来的土能刚好运走且不窝工？要解决此问题，可设派人挖土列方程；例8：八1、八2两班同学参与绿化祖国植树活动，八1班每小时比八2班多种2棵树，八1班种66棵树所用时间及八2班种60棵树所用时间一样，求：八1、八2两班每小时各种几棵树？例9：某一一项工程预料在规定的日期内完成，假如甲独做刚好能完成，假如乙独做就要超过日期3天，如今甲、乙两人合做2天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问规定
18、日期是几天？例10：服装厂接到加工720件衣服的订单，预料每天做48件，正好可以按时完成，后因客户要求提早5天交货，那么每天应比原方案多做多少件？例11：为加快西部大开发的步伐，确定新修一条马路，甲、乙两工程队承包此项工程。假如甲工程队单独施工，那么刚好可以按期完成；假如乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成。如今甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，那么也刚好可以按期完成。问师宗县原来规定修好这条马路需多长时间？例12：某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共4350元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共4750元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需
19、付甲、丙两队共2750元。1求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？2假设工期要求不超过20天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。价格价钱问题：例1：“五一江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，动身时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设参与巡游的同学共x人，那么所列方程为A B C D例2：用价值100元的甲种涂料及价值240元的乙种涂料配制成一种新涂料，其每千克售价比甲种涂料每千克售价少3元，比乙种涂料每千克的售价多1元，求这种新涂料每千克的售价是多少元？假设设这种新涂料每千克的售价为x元，那么根据题
20、意可列方程为例3：某工程队要聘请甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙同种工种各聘请多少人时，可使得每月所付的工资最少？例4：为了扶植遭遇自然灾难的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次捐款人数多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进展捐款？例5：随着技术的普及，越来越多的学校开设了微机课.某初中方案拿出72万元购置电脑，由于团体购置，结果每台电脑的价格比方案降低了500元，因此实际支出了64万
21、元.学校共买了多少台电脑？假设每台电脑每天最多可运用4节课，这些电脑每天最多可供多少学生上微机课？(该校上微机课时规定为单人单机)例6：光明中学两名老师带着假设干名三好学生去参与夏令营活动，联络了甲、乙两家旅游公司，甲公司供应的实惠条件是：1名老师收行业统一规定的全票，其余的人按折收费，乙公司那么是：全部人全部按8折收费经核算甲公司的实惠价比乙公司的实惠价廉价，那么参与活动的学生人数是多少人？例7：北京奥运“祥云火炬2021年5月7日在羊城传递，熊熊燃烧的奥运圣火将在羊城传递和平、友情、进步的“和平之旅，广州市民万众喜迎奥运。某商厦用8万元购进奥运纪念运动休闲衫，面市后供不应求，商厦又用17.
22、6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种运动休闲衫时每件定价都是58元，最终剩下的150件按八折销售，很快售完，请问在这两笔生意中，商厦共赢利多少元？顺水逆水问题：例1：A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又马上从B地逆流返回A地，共用去9小时，水流速度为4千米/时，假设设该轮船在静水中的速度为x千米/时，那么可列方程 A、 B、 C、 D、例2：一只船顺流航行90及逆流航行60所用的时间相等，假设水流速度是2，求船在静水中的速度，设船在静水中速度为，那么可列方程 A、= B、= C、+3= D、+3=例3：轮船顺流航行66千米
23、所需时间和逆流航行48千米所需时间一样，水流速度是每小时3千米，求轮船在静水中的速度。行程问题：例1：在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千米，那么他在这段路上、下坡的平均速度是每小时 A、千米 B、千米 C、千米 D、无法确定例2：甲、乙两人分别从两地同时动身，假设相向而行，那么小时相遇；假设同向而行，那么小时甲追上乙那么甲的速度是乙的速度的倍 倍 倍 倍例3：八年级A、B两班学生去距学校4.5千米的石湖公园玩耍，A班学生步行动身半小时后，B班学生骑自行车开始动身，结果两班学生同时到达石湖公园，假如骑自行车的速度是步行速度的3倍，求步行和骑自行车的速度
24、各是多少千米/小时？例4：A、B两地的间隔 是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地动身，它的速度是公共汽车的3倍，小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度。例5：甲、乙两火车站相距1280千米，采纳“和谐号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度。数字问题：例1：一个分数的分子比分母小6,假如分子分母都加1,那么这个分数等于,求这个分数.例2：一个两位数，个位数字是2，假如把十位数字及个位数字对调，所得到的新的两位数及原来的两位数之比是7：4，求原来的两位数。例3：一个分数的分母加上5，分子加上4，其结果仍是原来的分数，求这个分数。例4：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小2，个位上的数字加上8以后去除这个两位数时，所得到的商是2，求这个两位数。16、公式变形问题：例1：一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为U像距为V，凸透镜的焦距为F，且满意，那么用U、V表示F应是 A B C D例2：公式，那么表示的公式是 A B C D例3：一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满意关系式：. 假设f6厘米，v8厘米，那么物距u 厘米.例4：梯形面积S、a、b、h都大于零，以下变形错误是 A B. C. D.例5：,那么M及N的关系为( )N N D.不能确定.