人教版八年级数学分式知识点及典型例题(17页).doc

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1、-人教版八年级数学分式知识点及典型例题-第 16 页分式的知识点及典型例题分析1、 分式的定义:一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子叫做分式,A为分子,B为分母。例:下列式子中,、8a2b、-、2-、 、中分式的个数为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5练习题:(1)下列式子中,是分式的有 .(2)下列式子,哪些是分式?2、 分式有,无意义,总有意义:使分式有意义:令分母0按解方程的方法去求解();使分式无意义:令分母=0按解方程的方法去求解;()分式值为0:分子为0且分母不为0()分式值为正或大于0:分子分母同号(或)分式值为负或小于0:分子分母异号(

2、或)分式值为1:分子分母值相等(A=B)分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0)注意:(0)例1:当x 时,分式有意义; 例2:分式中,当时,分式没有意义例3:当x 时,分式有意义。 例4:当x 时,分式有意义例5:,满足关系 时,分式无意义;例6:无论x取什么数时,总是有意义的分式是( )A B. C. D.例7:使分式 有意义的x的取值范围为() ABCD例8:要是分式没有意义,则x的值为( ) 同步练习题:3、分式的值为零:使分式值为零:令分子=0且分母0,注意:当分子等于0使,看看是否使分母=0了,如果使分母=0了,那么要舍去。例1:当x 时,分式的值为0 例2:当x 时,分式

3、的值为0例3:如果分式的值为为零,则a的值为( ) A. B.2 C. 例4:能使分式的值为零的所有的值是 ( )A B C 或 D或例5:要使分式的值为0,则x的值为( )A.3或-3 B.3 C.-3 D 2例6:若,则a4、分式的基本性质的应用:分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不变。 例1: ; ;如果成立,则a的取值范围是_;例2: 例3:如果把分式中的a和b都扩大10倍,那么分式的值( )A、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变例4:如果把分式中的x,y都扩大10倍,则分式的值( ) A扩大100倍 B扩大10倍 C不变 D缩

4、小到原来的例5:如果把分式中的x和y都扩大2倍,即分式的值( )A、扩大2倍; B、扩大4倍; C、不变; D缩小2倍例6:如果把分式中的x和y都扩大2倍,即分式的值( )A、扩大2倍; B、扩大4倍; C、不变; D缩小2倍例7:如果把分式中的x和y都扩大2倍,即分式的值( )A、扩大2倍; B、扩大4倍; C、不变; D缩小倍例8:若把分式的x、y同时缩小12倍,则分式的值()A扩大12倍B缩小12倍C不变D缩小6倍例9:若x、y的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是( )A、 B、 C、 D、例10:根据分式的基本性质,分式可变形为( )A B C D 例11:不改变分式的值

5、,使分式的分子、分母中各项系数都为整数, ;例12:不改变分式的值,使分子、分母最高次项的系数为正数, = 。5、分式的约分及最简分式:约分的概念:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分分式约分的依据:分式的基本性质分式约分的方法:把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式约分的结果:最简分式(分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式)约分主要分为两类:第一类:分子分母是单项式的,主要分数字,同字母进行约分。第二类:分子分母是多项式的,把分子分母能因式分解的都要进行因式分解,再去找共同的因式约去。例1:下列式子(1);(2);(3);(4)中正确的是( )A 、1个 B

6、 、2 个 C、 3 个 D、 4 个例2:下列约分正确的是( )A、; B、; C、; D、例3:下列式子正确的是( )A B. C. D.例4:下列运算正确的是( )A、 B、 C、 D、例5:下列式子正确的是( )A B C D例6:化简的结果是( )A、 B、 C、 D、例7:约分: ;= ; 。例8:约分: ; ; ; ; ; _。例9:分式,中,最简分式有( )A1个 B2个 C3个 D4个6、分式的乘,除,乘方:分式的乘法:乘法法测:=.分式的除法:除法法则:=分式的乘方:求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表示就是()n.分式的乘方,是把分子、分母各自乘方.用式子表示

7、为:()n=(n为正整数)例题:计算:(1) (2) (3)计算:(4) (5) (6) 计算:(7) (8) (9)计算:(10) (11) (12) 计算:(13) (14)求值题:(1)已知:,求的值。 (2)已知:,求的值。 (3)已知:,求的值。例题:计算:(1) (2)= (3)= 计算:(4)= (5) (6)求值题:(1)已知: 求的值。(2)已知:求的值。例题:计算的结果是( )A B C D 例题:化简的结果是( )A. 1 B. xy C. D . 计算:(1);(2) (3)(a21)7、分式的通分及最简公分母:通分:主要分为两类:第一类:分母是单项式;第二类:分母是多

8、项式(要先把分母因式分解)分为三种类型:“二、三”型;“二、四”型;“四、六”型等三种类型。“二、三”型:指几个分母之间没有关系,最简公分母就是它们的乘积。例如:最简公分母就是。“二、四”型:指其一个分母完全包括另一个分母,最简公分母就是其一的那个分母。例如:最简公分母就是“四、六”型:指几个分母之间有相同的因式,同时也有独特的因式,最简公分母要有独特的;相同的都要有。例如:最简公分母是:这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用,仔细的去发现之间的区别与联系。例1:分式的最简公分母是( )A B C D例2:对分式,通分时, 最简公分母是( )Ax2y B例3:下面各分式:,,其中最简分式

9、有( )个。A. 4B. 3C. 2D. 1例4:分式,的最简公分母是 .例5:分式a与的最简公分母为_;例6:分式的最简公分母为 。8、分式的加减:分式加减主体分为:同分母和异分母分式加减。1、同分母分式不用通分,分母不变,分子相加减。2、异分母分式要先通分,在变成同分母分式就可以了。通分方法:先观察分母是单项式还是多项式,如果是单项式那就继续考虑是什么类型,找出最简公分母,进行通分;如果是多项式,那么先把分母能分解的要因式分解,考虑什么类型,继续通分。分类:第一类:是分式之间的加减,第二类:是整式与分式的加减。例1:= 例2:= 例3:= 例4:= 计算:(1) (2) (3) (4) .

10、 例5:化简+等于( ) A B C D例6: 例7: 例8: 例9: 例10: 例11: 例12: 练习题:(1) (2) (3) +. (4) (5) 例13:计算的结果是( )A B C D 例14:请先化简:,然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值.例15:已知: 求的值。9、分式的混合运算:例1: 例2:例3: 例4: 例5: 例6: 例7 例8: 例9: 练习题:10、分式求值问题:例1:已知x为整数,且+为整数,求所有符合条件的x值的和.例2:已知x2,y,求的值.例3:已知实数x满足4x2-4x+l=O,则代数式2x+的值为_例4:已知实数a满足a22a8=0,求的值.例

11、5:若 求的值是( )A B C D例6:已知,求代数式的值例7:先化简,再对取一个合适的数,代入求值练习题:(1),其中x=5. (2),其中a=5 (3),其中a=-3,b=2(4) ;其中a=85; (5),其中x= -1(6)先化简,再求值:(x+2).其中x2.(7)(8)先化简,再选择一个你喜欢的数代入求值11、分式其他类型试题:例1:观察下面一列有规律的数:,根据其规律可知第个数应是(n为正整数)例2: 观察下面一列分式:根据你的发现,它的第8项是 ,第n项是 。例3:按图示的程序计算,若开始输入的n值为4,则最后输出的结果m是 ( )A 10 B 20 C 55 D 50例4:

12、当x=_时,分式与互为相反数.例5:在正数范围内定义一种运算,其规则为,根据这个规则的解为() ABC或1D或例6:已知,则;例7: 已知,则()AB C D例8:已知,求的值;例9:设,则的值是( ) A. B.0 C.1 D.例10:请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式,并化简该分式44 4 2例11:先填空后计算:= 。= 。= 。(3分)(本小题4分)计算:解:12、化为一元一次的分式方程:(1)分式方程:含分式,并且分母中含未知数的方程分式方程。(2)解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母),把分式方程转化为整式方程。解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母

13、时,最简公分母有可能为,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根。(3)解分式方程的步骤 :(1)能化简的先化简; (2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程; (3)解整式方程; (4)验根例1:如果分式的值为1,则x的值是 ;例2:要使的值相等,则x=_。例3:当m=_时,方程=2的根为.例4:如果方程 的解是x5,则a 。例5:(1) (2) 例6:解方程:例7:已知:关于x的方程无解,求a的值。例8:已知关于x的方程的根是正数,求a的取值范围。例9:若分式与的2倍互为相反数,则所列方程为_;例10:当m为何值时间?关于的方程的解为负数?例11:解关于的方程例12:解关于x的方程:例1

14、3:当a为何值时, 的解是负数?例14:先化简,再求值:,其中x,y满足方程组例15知关于x的方程的解为负值,求m的取值范围。练习题: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 13、分式方程的增根问题:(1)增根应满足两个条件:一是其值应使最简公分母为0,二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 (2)分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。例1:分式方程+1=有增根,则m= 例2:当k的值等于 时,关于x的方程不会产生增根;例3:若解关于x的分式方程会产生增根,求m

15、的值。例4:取 时,方程会产生增根;例5:若关于x的分式方程无解,则m的值为_。例6:当k取什么值时?分式方程有增根.例7:若方程有增根,则m的值是( )A4 B3 C-3 D1例8:若方程有增根,则增根可能为( )A、0 B、2 C、0或2 D、114、分式的求值问题:例1:已知,分式的值为 ;例2:若ab=1,则的值为 。例3:已知 ,那么_ ;例4:已知,则的值为( )A B C D 例5:已知,求的值;例6:如果=2,则= 例7:已知与的和等于,则a= , b = 。例8:若,则分式( )A、 B、 C、1 D、1例9:有一道题“先化简,再求值:,其中。”小玲做题时把“”错抄成了“”,

16、但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事?例10:有这样一道数学题:“己知:a=2005,求代数式a(1+)的值”,王东在计算时错把“a=2005”抄成了“a=2050”,但他的计算结果仍然正确,请你说说这是怎么回事。例11:有这样一道题:“计算:的值,其中”,某同学把错抄成,但它的结果与正确答案相同,你说这是怎么回事?例题:已知,求的值。15、分式的应用题:(1)列方程应用题的步骤是什么? (1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答(2)应用题有几种类型;基本公式是什么?基本上有四种:a.行程问题:基本公式:路程=速度时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题b.数字问题: 在数字问

17、题中要掌握十进制数的表示法c.工程问题: 基本公式:工作量=工时工效d.顺水逆水问题: v顺水=v静水+v水 v逆水=v静水-v水工程问题:例1:一项工程,甲需x小时完成,乙需y小时完成,则两人一起完成这项工程需要_ 小时。例2:小明和小张两人练习电脑打字,小明每分钟比小张少打6个字,小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟,则列方程正确的是( )A B C D 例3:某工程需要在规定日期内完成,如果甲工程队独做,恰好如期完成; 如果乙工作队独做,则超过规定日为x天,下面所列方程中错误的是( )A.; B.; C.; D.例4:一件工程甲单独做小时

18、完成,乙单独做小时完成,甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是()(A) (B) (C) (D)例5:赵强同学借了一本书,共280页,要在两周借期内读完,当他读了一半时,发现平时每天要多读21页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x页,则下列方程中,正确的是( )A、 B、 B、 D、例6:某煤厂原计划天生产120吨煤,由于采用新的技术,每天增加生产3吨,因此提前2天完成任务,列出方程为( )A B C D 例7:某工地调来72人参加挖土和运土工作,已知3人挖出的土1人恰好能全部运走,问怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工?要解决此问题,

19、可设派人挖土列方程;例8:八(1)、八(2)两班同学参加绿化祖国植树活动,已知八(1)班每小时比八(2)班多种2棵树,八(1)班种66棵树所用时间与八(2)班种60棵树所用时间相同,求:八(1)、八(2)两班每小时各种几棵树?例9:某一一项工程预计在规定的日期内完成,如果甲独做刚好能完成,如果乙独做就要超过日期3天,现在甲、乙两人合做2天,剩下的工程由乙独做,刚刚好在规定的日期完成,问规定日期是几天?例10:服装厂接到加工720件衣服的订单,预计每天做48件,正好可以按时完成,后因客户要求提前5天交货,则每天应比原计划多做多少件?例11:为加快西部大开发的步伐,决定新修一条公路,甲、乙两工程队

20、承包此项工程。如果甲工程队单独施工,则刚好可以按期完成;如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成。现在甲、乙两队先共同施工4个月,剩下的由乙队单独施工,则也刚好可以按期完成。问师宗县原来规定修好这条公路需多长时间?例12:某工程由甲、乙两队合做6天完成,厂家需付甲、乙两队共4350元;乙、丙两队合做10天完成,厂家需付乙、丙两队共4750元;甲、丙两队合做5天完成全部工程的,厂家需付甲、丙两队共2750元。(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)若工期要求不超过20天完成全部工程,问可由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由。价格价钱问题:例1:“五一”江北水城文化旅游节期

21、间,几名同学包租一辆面包车前去旅游,面包车的租价为180元,出发时又增加了两名同学,结果每个同学比原来少摊了3元钱车费,设参加游览的同学共x人,则所列方程为()A B C D例2:用价值100元的甲种涂料与价值240元的乙种涂料配制成一种新涂料,其每千克售价比甲种涂料每千克售价少3元,比乙种涂料每千克的售价多1元,求这种新涂料每千克的售价是多少元?若设这种新涂料每千克的售价为x元,则根据题意可列方程为_例3:某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元,现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙同种工种各招聘多少人时,可使得每月

22、所付的工资最少?例4:为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元,第二次捐款总额为5000元,第二次捐款人数比第一次捐款人数多20人,而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款?例5:随着IT技术的普及,越来越多的学校开设了微机课.某初中计划拿出72万元购买电脑,由于团体购买,结果每台电脑的价格比计划降低了500元,因此实际支出了64万元.学校共买了多少台电脑?若每台电脑每天最多可使用4节课,这些电脑每天最多可供多少学生上微机课?(该校上微机课时规定为单人单机)例6:光明中学两名教师带领若干名三好学生去参加夏令营活动,联系了甲、乙

23、两家旅游公司,甲公司提供的优惠条件是:1名教师收行业统一规定的全票,其余的人按折收费,乙公司则是:所有人全部按8折收费经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜,那么参加活动的学生人数是多少人?例7:北京奥运“祥云”火炬2008年5月7日在羊城传递,熊熊燃烧的奥运圣火将在羊城传递和平、友谊、进步的“和平之旅”,广州市民万众喜迎奥运。某商厦用8万元购进奥运纪念运动休闲衫,面市后供不应求,商厦又用万元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进数量的2倍,但单价贵了4元,商厦销售这种运动休闲衫时每件定价都是58元,最后剩下的150件按八折销售,很快售完,请问在这两笔生意中,商厦共赢利多少元?顺水逆水问

24、题:例1:A、B两地相距48千米,一艘轮船从A地顺流航行至B地,又立即从B地逆流返回A地,共用去9小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水中的速度为x千米/时,则可列方程( )A、 B、 C、 D、例2:一只船顺流航行90km与逆流航行60km所用的时间相等,若水流速度是2km/h,求船在静水中的速度,设船在静水中速度为xkm/h,则可列方程( )A、= B、= C、+3= D、+3=例3:轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相同,已知水流速度是每小时3千米,求轮船在静水中的速度。行程问题:例1:在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米,下坡时的速度为每小时

25、V2千米,则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时( )A、千米 B、千米 C、千米 D、无法确定例2:甲、乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则小时相遇;若同向而行,则小时甲追上乙那么甲的速度是乙的速度的()倍 倍 倍 倍例3:八年级A、B两班学生去距学校4.5千米的石湖公园游玩,A班学生步行出发半小时后,B班学生骑自行车开始出发,结果两班学生同时到达石湖公园,如果骑自行车的速度是步行速度的3倍,求步行和骑自行车的速度各是多少千米/小时?例4:A、B两地的距离是80公里,一辆公共汽车从A地驶出3小时后,一辆小汽车也从A地出发,它的速度是公共汽车的3倍,已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地,

26、求两车的速度。例5:甲、乙两火车站相距1280千米,采用“和谐”号动车组提速后,列车行驶速度是原来速度的3.2倍,从甲站到乙站的时间缩短了11小时,求列车提速后的速度。数字问题:例1:一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于,求这个分数.例2:一个两位数,个位数字是2,如果把十位数字与个位数字对调,所得到的新的两位数与原来的两位数之比是7:4,求原来的两位数。例3:一个分数的分母加上5,分子加上4,其结果仍是原来的分数,求这个分数。例4:一个两位数,十位上的数字比个位上的数字小2,个位上的数字加上8以后去除这个两位数时,所得到的商是2,求这个两位数。16、公式变形问题:例1:一根蜡烛在凸透镜下成实像,物距为U像距为V,凸透镜的焦距为F,且满足,则用U、V表示F应是( )(A) (B) (C) (D)例2:已知公式(),则表示的公式是( )A B C D例3:一根蜡烛在凸透镜下成一实像,物距u,像距v和凸透镜的焦距f满足关系式:. 若f6厘米,v8厘米,则物距u 厘米.例4:已知梯形面积S、a、b、h都大于零,下列变形错误是( )A B. C. D.例5:已知,则M与N的关系为( )A.MN B.M=N C.MN D.不能确定.

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