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1、人教版五年级下册数学第三单元学问点易错点汇总一、长方体与正方体的相识【学问点1】 要素立体图形棱面顶点数量特征数量特征数量特征长方体12互相平行的棱长度相等6相对的面完全一样8同一个顶点引出的三条棱分别叫做长、宽、高特殊长方体12垂直于正方形面的棱长度相等6两个面是正方形，其余四个面是完全一样的长方形8正方体12全部的棱长度都相等6全部面都是正方形且完全一样8一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6各面是正方形，但不会存在3个、4个、5个面是正方形！【学问点2】棱长与公式：长方体棱长与=（长+宽+高）4 长+宽+高=棱长与4 长方体棱长与=下面周长2+高4 长方体棱长与=右面周长2+长
2、4 长方体棱长与=前面周长2+宽4 正方体棱长与=棱长12 棱长=棱长与12棱长与的变形：例如：有一个礼盒须要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结局部须要10厘米彩带，一共须要多长的彩带？3020cm20cm 分析：本题虽然并未干脆提出求棱长与，但由于彩带的捆扎是与棱互相平行的， 因此，在解决问题时首先确定每局部彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长与。 前面与后面的彩带长度=高的长度；左面与右面的彩带长度=高的长度； 上面与下面的彩带长度=长的长度。 须要彩带的长度=高4+长2+打结局部长度 204+302+10=150cm30m6m50m【学问点3】确定长方体中每个面的形态以及长、宽、高分别是多少。
3、长方体一共有6个面，相对面完全一样，如：前面与后面完全一样，左面与右面完全一样，上面与下面完全一样。依据习惯我们一般认为在一个平面中程度方向的为长，垂直方向的为高。依据这一习惯我们我们只需找到须要的面并依据习惯确定长与宽即可。例如：如图下列长方体的后面是长方体形态，长是8宽是4；它的右面是长方形态，长是6宽是4；下面是长方形态，长是8宽是6。上面下面左面后面右面前面练习：经过折叠可以组合成正方体:经过折叠可以组合成长方体：【学问点5】长方体或正方体的切割组合对棱长的影响（1）切割将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条长与4条宽；（棱长增加的最长）将长方体竖向切割成两个
4、长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条宽与4条高；（棱长增加的最短）将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比原来增加4条棱。（2） 组合将两个完全一样的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时削减4条长与4条宽；（棱长削减的最多）将两个完全一样的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时削减4条长与4条高；将两个完全一样的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时削减4条宽与4条高；（棱长削减的最少）将两个完全一样的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时削减8条棱；一次类推将三个完全一样的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时削减16条棱，四个组合削减24条
5、棱，五个组合削减32条（公式：8（N1）例如：将五个完全一样的正方体组合成一个长方体后，棱长与为140厘米，原来每个正方体的棱长与是多少？分析：五个正方体棱长共有125=60条； 将五个完全一样正方体组合后棱长比原来削减32条，还剩60-32=28条； 即这28条棱的长度与即为新长方体的棱长与，所以正方体一条棱的长度为：14028=5cm； 所以一个正方体的棱长与为：512=60cm。【学问点6】小正方体拼大正方体的规律由于正方体，每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应当是相等的，因此要拼出最小的正方体至少须要222=23=8个（也就是说每条棱上放2个小
6、正方体），接着再往大了拼正方体，就是每条棱上放3个小正方体即333=33=27个，依次类推接下来是444=43=64个；555=53=125个 从中我们可以发觉要用小的正方体拼出大的正方体所须要的小正方体的个数应当是一个数的立方。这就要求我们可以熟记一些数的立方：23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 103=1000 小正方体拼大长方体的规律规律同正方体，首先视察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的a倍，宽是小正方体棱长的b倍，高是小正方体棱长的c倍，则，大长方体就是由abc个小正方体组成的。【学
7、问点1】 长方体外表积=（长宽+长高+宽高）2 =（ab+ac+bc）2 =（前面面积+上面面积+右面面积）2正方体外表积=棱长棱长6=aa6=6a2 =随意一个面的面积6前面面积=后面面积；左面面积=右面面积；上面面积=下面面积 两个棱长与相等的长方体或一个长方体与一个正方体，外表积不肯定相等！外表积相等的两个长方体或一个长方体与一个正方体，棱长与也不肯定相等！ 【学问点2】长方体外表求法的变形： 贴商标类型：只求四周面积。例如：一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5，须要在包装盒四周贴上商标，须要商标纸的面积是多少？ 游泳池类型：只求四周与底面。例如：一座游泳池，长宽高分别为10m，4m
8、，1.5m，须要在池内贴上边长为1dm的瓷砖，大约须要多少块瓷砖？ 抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。 例如：一款抽纸盒，长宽高分别是20cm，12cm，5cm，上面有长14cm，宽3cm的抽纸口，做这款抽纸盒须要多少硬纸片？ 占地面积问题：只求底面面积。例如：一个长方体蓄水池，长12m，宽8m，深3m，这个水池占地面积多少平方米？【学问点3】棱长改变对外表积的影响： 正方体正方体的棱长扩大2倍，其棱长与也扩大2倍，外表积扩大4倍，体积扩大8倍；正方体的棱长扩大3倍，其棱长与也扩大3倍，外表积扩大9倍，体积扩大27倍；正方体的棱长扩大n倍，其棱长与也扩大n倍，外表积扩大n2倍，体积扩大n3倍
9、。 长方体长方体的长宽高同时扩大2倍，其棱长与也扩大2倍，外表积扩大4倍，体积扩大8倍；长方体的长宽高同时扩大3倍，其棱长与也扩大3倍，外表积扩大9倍，体积扩大27倍；长方体的长宽高同时扩大n倍，其棱长与也扩大n倍，外表积扩大n2倍，体积扩大n3倍。长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长与改变无规律，外表积改变也无规律，体积扩大abc倍。长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，棱长与改变无规律，外表积改变无规律，体积扩大ab倍 。长方体的宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长与改变无规律，外表积改变无规律，体积扩大bc倍 。长方体的长扩大a倍，高扩大c倍，棱长与改变无规律，外表积改变无规律，体积扩大a
10、c倍 。【学问点4】n 立体图形的切割：（切割会使外表积增加，因此存在外表积增加最多或最少的问题） 长方体沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其外表积比原来增加的最多。沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其外表积比原来增加的最少。而且每切一刀增加两个完全一样的面，切两刀增加四个完全一样的面，依次类推。 正方体无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。例如：两盒磁带有三种不同的包装方式，你说哪一种最省包装纸？ 要求最省包装纸，即外表积最小，也就是外表积比原来单独包装时削减的外表积最多，依据规律应当选择第一种包装方式。n 立体图形的组合（组合只
11、会使外表积削减，因此存在削减最多或最少的问题） 长方体将原来长方体的最大面组合在一起，其外表积比原来削减的最多。将原来长方体的最小面组合在一起，其外表积比原来削减的最少。而且两个组合将削减两个完全一样的面，三个组合削减四个完全一样的面，依次类推。 正方体无论沿那个面组合，都将削减两个正方形的面，削减的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。【学问点5】小正方体拼成的大正方体外表涂漆问题大正方体长、宽、高上有几个小正方体，则将长、宽、高上的正方体数相乘就是大正方体所含小正方体的总数；在顶点位置的小正方体露在外面的面有3个；在棱上（不包含顶点位置）的小正方体露在外面的面有2个；在面上（不包含棱上）
12、的小正方体露在外面得面有1个；用总数3个面的2个面的1个面得=没有露在外面的小正方体的个数。例如：在该正方体外表涂上漆，有三个面涂上漆的小正方体有几个？有两个面图上漆的小正方体有几个？有一个面涂上漆的小正方体有几个？没有涂上漆的小正方体有几个？【学问点6】单位换算长度单位：mm、cm、dm、m 相邻两个单位进率为10面积单位：mm2、cm2、dm2、m2 相邻两个单位进率为100体积单位：mm3、cm3、dm3、m3 相邻两个单位进率为1000容积单位：ml、l 相邻两个单位进率为1000特殊的：1ml=cm3 1l=1dm3 1方=1m不是同一类型的单位，数据不能比拟大小，同一类型的单位中右
13、边的单位比左边的单位大。大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率。高级单位进率高级单位的数低级单位低级单位的数进率例如：手指尖约占了1立方厘米的空间，即它的体积约为1立方厘米。 一个粉笔盒的体积约为1 dm。 建一游泳池，约要挖土6000方。 1.36 dm =1360 cm 4.573m =4573 dm 一个烧杯约能装水500ml。 520ml=0.52L 5.67L=5.67 dm =5670cm三、长方体与正方体的体积【学问点1】容积与体积根本概念体积是指所占空间的大小；容积是指所包容物体的体积；一个物体的容积一般都比它的体积小。当容器壁厚度忽视不计时体积=容积；否则体积容积。比
14、方说，一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积。（容器壁忽视不计）体积计算方法：长方体的体积=长宽高正方体的体积=棱长棱长棱长长方体与正方体的体积=底面积高 =右面面积长 =前面面积宽体积相等的两个长方体或者一个长方体与一个正方体，外表积不肯定相等，棱长与也不肯定相等。体积相等的两个正方体，外表积肯定相等，棱长与也肯定相等。体积相等的状况下正方体的外表积比长方体的小；外表积相等的状况下正方体的体积比长方体的体积大。【学问点2】体积大小的比拟对于液体可以干脆比拟体积的大小，假如液体体积小于容器既可以装得下，假如大于容器体积则装不下。对于固体而言，在体积小于容器体积的前提下，还须要比
15、拟物体的长宽高于容器的长宽高，只有物体的长宽高都小于或等于容器的长宽高时才可以将物体装入容器。例如：有一个长为8分米，高位5分米，体积为240平方分米的硬纸盒，有一件陶瓷长为7.4分米，高位4分米，宽为6.5分米，是否可以放入该容器？分析：单纯计算容器与陶瓷的体积我们可以发觉：陶瓷体积硬纸盒体积。但这并不意味着瓷器就可以装进盒子。 我们还须要视察陶瓷长宽高于容器长宽高的大小。 通过计算硬纸盒的长=8分米 宽=240（85）=6分米 高=5分米 陶瓷的长=7.4分米 宽=6.5分米 高=4分米 我们可以发觉陶瓷的宽比盒子的宽大，所以即使在体积小于盒子的前提下，仍旧是装不进去的。【学问点3】切割组合对体积的影响【学问点4】砌墙类问题练习：（1）一块长1.2米,宽6分米,厚3分米的长方体木块,可以截出多少块棱长为3分米的正方体？【学问点5】填土抬高地面类问题【学问点6】计算不规则物体体积的方法液面上升或下降的问题【学问点7】等体积变形问题【学问点8】绽开图形拼长方体或正方体棱长改变对体积的影响