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1、第二十二章 一元二次方程 单元要点分析 教材内容 1本单元教学的主要内容 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题 2本单元在教材中的地位与作用 一元二次方程是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等根底之上学习的，它也是一种数学建模的方法学好一元二次方程是学好二次函数不行或缺的，是学好高中数学的奠基工程应当说，一元二次方程是本书的重点内容 教学目的 1学问与技能 理解一元二次方程及有关概念；驾驭通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程；驾驭根据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用娴熟驾驭以上学问解决问题 2过程与方法 （1）通过丰富的实例，让学生合作讨
2、论，教师点评分析，建立数学模型根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念 （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等 （3）通过驾驭缺一次项的一元二次方程的解法干脆开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习稳固配方法解一元二次方程 （4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac0，b2-4ac=0，b2-4ac0，即（m-4）2+10不管m取何值，该方程都是一元二次方程 练习: 1.方程（2a4）x22bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方
3、程？ 2.当m为何值时,方程(m+1)x4m-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程 五、归纳小结（学生总结，教师点评） 本节课要驾驭： （1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用 六、布置作业 1教材P34 习题221 1(2)(4)(6)、2 2选用作业设计补充:若x2-2xm-1+3=0是关于x的一元二次方程,求m的值 作业设计 一、选择题 1在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ） 3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （x-2）（x+5）=x2-1 3x2-=0 A1个 B2
4、个 C3个 D4个 2方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A2，3，-6 B2，-3，18 C2，-3，6 D2，3，6 3px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ） Ap=1 Bp0 Cp0 Dp为随意实数 二、填空题 1方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_ 2一元二次方程的一般形式是_ 3关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是_ 三、综合进步题 1a满意什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？ 2关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=
5、6可能是一元二次方程吗？为什么？ 3一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的： 设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0小明列出方程后，想知道铁片的长究竟是多少，下面是他的探究过程：第一步：x1234x2-3x-1-3-3 所以，_x_第二步： x3.13.23.33.4x2-3x-1-0.96-0.36 所以，_x_ （1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的局部； （2）通过以上探究，估计出矩形铁片的整数局部为_，特别位为_课后反思第2课时 221 一元二次方程 教学内容 1一元二次方程根的概念； 2根据题意断定一个数
6、是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些详细题目 教学目的 理解一元二次方程根的概念，会断定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些详细问题 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念断定一个数是否是根同时应用以上的几个学问点解决一些详细问题 重难点关键 1重点：断定一个数是否是方程的根； 2难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根教学过程一、复习引入 学生活动：请同学独立完成下列问题问题1前面有关“执竿进屋”的问题中,我们列得方程x2-8x+20=0列表：x1234567891011x
7、2-8x+20 问题2前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=44x123456x2+7x列表： 教师点评（略） 二、探究新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？ （2）假如抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？ 教师点评：（1）问题1中x=2与x=10是x2-8x+20=0的解，问题2中，x=4是x2+7x-44=0的解.（2）假如抛开实际问题，问题2中还有x=-11的解 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 回过头来看：x2-8x+20=0有两个根，一个是2，另一个是10，都满意题意；但是，问题2中的x=-11的
8、根不满意题意因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不确定是实际问题的根，还要考虑这些根是否的确是实际问题的解 例1下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 分析：要断定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满意方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值点拨:
9、假如一个数是方程的根,那么把该数代入方程,确定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法常常用到,同学们要深入理解. 例3你能用以前所学的学问求出下列方程的根吗？ （1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 分析：要求出方程的根，就是要求出满意等式的数，可用干脆视察结合平方根的意义 解：略 三、稳固练习 教材P33 思索题 练习1、2 四、应用拓展 例3要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应当怎样剪？ 设长为xcm，则宽为（x-5）cm 列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0 请根据列方程答复以下问题： （1）x可能小于5吗？
10、可能等于10吗？说说你的理由（2）完成下表： x1011121314151617x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？ 分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法“夹逼”方法求出该方程的根 解：（1）x不行能小于5理由：假如x5，则宽（x-5）0，不合题意 x不行能等于10理由：假如x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不行能（2） x 10 11 12 1314151617x2-5x-150-100-84-66-46-2402654 （3）铁片长x=15cm 五、归纳小结
11、（学生归纳，教师点评） 本节课应驾驭： （1）一元二次方程根的概念； （2）要会推断一个数是否是一元二次方程的根； （3）要会用一些方法求一元二次方程的根(“夹逼”方法; 平方根的意义) 六、布置作业 1教材P34 复习稳固3、4 综合运用5、6、7 拓广探究8、9 2选用课时作业设计 作业设计 一、选择题 1方程x（x-1）=2的两根为（ ） Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2=-1 Cx1=1，x2=2 Dx1=-1，x2=2 2方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ） Ax1=b，x2=a Bx1=b，x2= Cx1=a，x2= Dx1=a2，x2=b2 3已知x=-1是方程a
12、x2+bx+c=0的根（b0），则=（ ） A1 B-1 C0 D2 二、填空题 1假如x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=_，x2=_ 2已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为_ 3方程（x+1）2+x（x+1）=0，那么方程的根x1=_；x2=_ 三、综合进步题 1假如x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值 2假如关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根 3在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个好玩的变形，即在（）2-2x+1=0，令=y，
13、则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：在（x2-1）2+（x2-1）=0中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根课后反思第3课时 22.2.1 干脆开平方法 教学内容 运用干脆开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程 教学目的 理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些详细问题 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后学问迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程 重难点关键 1重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；领悟降次转化的
14、数学思想 2难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，学问迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n0）的方程 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题1填空（1）x2-8x+_=（x-_）2；（2）9x2+12x+_=（3x+_）2；（3）x2+px+_=（x+_）2问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 问题2：目前我们都学过哪些方程二元怎样转化成一元？一元二次方程于一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？ 二、探究新知 上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，干脆开平方得x=3，假
15、如x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用干脆开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论） 教师点评：答复是确定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=3 即2t+1=3，2t+1=-3 方程的两根为t1=1，t2=-2例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1分析：很清晰，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1 解：(2)由已知，得：（x+3）2=2 干脆开平方，得：x+3= 即x+3=，x+3=- 所以，方程的两根x1=-3+，x2=-3- 例2市政府支配2年内将人均住房面积由如今的10m2进步到14
16、.4m，求每年人均住房面积增长率 分析：设每年人均住房面积增长率为x一年后人均住房面积就应当是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应当是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为x， 则：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 干脆开平方，得1+x=1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去 所以，每年人均住房面积增长率应为20% （学生小结）教师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把
17、一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想” 三、稳固练习教材P36 练习补充题：如图，在ABC中，B=90，点P从点B开场，沿AB边向点B以1cm/s的速度挪动，点Q从点B开场，沿BC边向点C以2cm/s的速度挪动，假如AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时动身，几秒后PBQ的面积等于8cm2？ 教师点评： 问题2：设x秒后PBQ的面积等于8cm2 则PB=x，BQ=2x 依题意，得：x2x=8 x2=8 根据平方根的意义，得x=2 即x1=2，x2=-2 可以验证，2和-2都是方程x2x=8的两根，但是挪动时间不能是负值所以2秒后PBQ的面积
18、等于8cm2 四、应用拓展 例3某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？ 分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应当是（1+x），三月份的营业额是在二月份的根底上再增长的，应是（1+x）2 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x 那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31 把（1+x）当成一个数，配方得： （1+x+）2=2.56，即（x+）2=256 x+=1.6，即x+=1.6，x+=-1.6 方程的根为x1=10%，x2=-3.1 因为增长率为正数， 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%
19、 五、归纳小结 本节课应驾驭： 由应用干脆开平方法解形如x2=p（p0），那么x=转化为应用干脆开平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=，到达降次转化之目的若p0则方程无解 六、布置作业 1教材P45 复习稳固1、2 2选用作业设计:一、选择题 1若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ） Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4，q=-2 2方程3x2+9=0的根为（ ） A3 B-3 C3 D无实数根 3用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（ ） A（x-）2=，x= B（x-）2=-，原方程无解 C（x-）2=，x1=+，
20、x2= D（x-）2=1，x1=，x2=- 二、填空题 1若8x2-16=0，则x的值是_ 2假如方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是_ 3假如a、b为实数，满意+b2-12b+36=0，那么ab的值是_ 三、综合进步题 1解关于x的方程（x+m）2=n 2某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m （1）鸡场的面积能到达180m2吗？能到达200m吗？ （2）鸡场的面积能到达210m2吗？ 3在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于须要，如今要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能扶植这名同学制成方框，并说
21、明你制作的理由吗？课后反思第4课时 22.2.2 配方法(1) 教学内容 间接即通过变形运用开平方法降次解方程 教学目的 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能娴熟应用它解决一些详细问题 通过复习可干脆化成x2=p（p0）或（mx+n）2=p（p0）的一元二次方程的解法，引入不能干脆化成上面两种形式的解题步骤 重难点关键 1重点：讲清“干脆降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤 2难点与关键：不行干脆降次解方程化为可干脆降次解方程的“化为”的转化方法与技巧 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （
22、3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7 教师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式，那么可得x=或mx+n=（p0） 如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗 二、探究新知 列出下面问题的方程并答复： （1）列出的经化简为一般形式的方程与刚刚解题的方程有什么不同呢？ （2）能否干脆用上面三个方程的解法呢？ 问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？ （1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有
23、 （2）不能 既然不能干脆降次解方程，那么，我们就应当设法把它转化为可干脆降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化： x2+6x-16=0移项x2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 x2+6x+32=16+9左边写成平方形式 （x+3）2=25 降次x+3=5 即 x+3=5或x+3=-5 解一次方程x1=2，x2= -8可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解 例
24、1用配方法解下列关于x的方程 （1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-=0 分析：（1）明显方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上 解：略 三、稳固练习 教材P38 讨论改为课堂练习，并说明理由 教材P39 练习1 2（1）、（2） 四、应用拓展例3如图，在RtACB中，C=90，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点动身分别沿AC、BC方向向点C匀速挪动，它们的速度都是1m/s，几秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半 分析：设x秒后PCQ的面积为RtABC面积的一半，PCQ也是直角三角形根据已知列出等式 解：设x秒后PCQ的面积为RtAC
25、B面积的一半 根据题意，得：（8-x）（6-x）=86 整理，得：x2-14x+24=0 （x-7）2=25即x1=12，x2=2 x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去 所以2秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半 五、归纳小结 本节课应驾驭： 左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以干脆降次解方程的方程 六、布置作业 1教材P45 复习稳固23(1)(2) 2选用作业设计 一、选择题 1将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ） A（x-2）2+3 B（x-2）2-3 C（x+2）2+3 D（x+2）2-3 2已知x2
26、-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ） Ax2-8x+（-4）2=31 Bx2-8x+（-4）2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 3假如mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ） A1 B-1 C1或9 D-1或9 二、填空题 1方程x2+4x-5=0的解是_ 2代数式的值为0，则x的值为_ 3已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为_ 三、综合进步题 1已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4
27、x+3=0的解，求这个三角形的周长 2假如x2-4x+y2+6y+13=0，求（xy）z的值 3新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研说明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？课后反思第5课时 22.2.2 配方法(2) 教学内容 给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程 教学目的 理解配方法的概念，驾驭运用配方法解一元二次方程的步骤 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些详细题目 重难点关键 1重点：讲清配方法
28、的解题步骤 2难点与关键：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 （学生活动）解下列方程： （1）x2-4x+7=0 （2）2x2-8x+1=0 教师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式，不行以干脆开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进展解题 解：略. (2)与(1)有何关联 二、探究新知讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变
29、形为(x+p)2=q的形式，假如q0，方程的根是x=-pq；假如q0,方程无实根 例1解下列方程 （1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方解：略 三、稳固练习 教材P39 练习 2（3）、（4）、（5）、（6） 四、应用拓展 例2用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6 分析：因为假如绽开（6x+7）2，那么方程就变得很困难，假如把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=（6x+7）+，x+1=（6x+7）
30、-，因此，方程就转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法 解：设6x+7=y 则3x+4=y+，x+1=y- 依题意，得：y2（y+）（y-）=6 去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72， y4-y2=72 （y2-）2= y2-= y2=9或y2=-8（舍） y=3 当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=- 当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=- 所以，原方程的根为x1=-，x2=-例3求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0. 五、归纳小结 本节课应驾驭：1配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤2配方法是解一元二次方程
31、的通法，它重要性，不仅仅表如今一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质推断代数式的正负性（如例3）在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将常常用到。 六、布置作业 1.教材P45 复习稳固3（3）（4）补充：（1）已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则求x+y+z的值（2）求证：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数2.作业设计一、选择题 1配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（ ） A（x-）2= B（x-）2=0 C（x-）2= D（x-）2=2下列方程中，确定有实数解的是（ ） Ax2+1=0 B（2x+1）2=0 C（2x+1）2+3=0 D（x-a）2=a 3已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ） A1 B2 C-1 D-2 二、填空题 1假如x2+4x-5=0，则x=_ 2无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_数 3假如16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是_ 三、综合进步题 1用配方法解方程 （1）9y2-18y-4=0