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1、 2021年全国初中数学结合竞赛试题 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题此题总分值42分，每题7分 (此题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个不管是否写在括号内，一律得0分.)1.用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分.，是的小数部分，是的小数部分，那么 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校方案恰好用500元购置上述图书30本，那么不同的购书方案有 种 种 种 种 3(A). 假如一个正整数可以表示为两个连续奇数
2、的立方差，那么称这个正整数为“和谐数.如： 和均为“和谐数.那么，不超过的正整数中，全部的“和谐数之和为 3(B.二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点.当为整数时， 4.的半径垂直于弦,交于点，连接并延长交于点,假设,那么的面积为 5.如图，在四边形中，,对角线的交点为，那么 ( ) 6.设实数满意 那么的最大值为 ( ) 二、填空题此题总分值28分，每题7分(此题共有4个小题，要求干脆将答案写在横线上.) 1.【1(A)、2B】 的顶点、在反比例函数的图象上，,轴，点在点的上方，且那么点的坐标为 .1(B).的最大边上的高线和中线恰好把三等分，,那么 . 2(A).在四边形中，,平分,为对
3、角线的交点，那么 .3.【3(A)、4(B)】 有位学生遗忘写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 3(B).假设质数、满意：那么的最大值为 .4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内每格填入一个数，使得同一列中任何两数之差的肯定值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为,那么的最大值为 . 第二试 (3月20日上午9:50 11:20) 一、此题总分值20分为正整数，求能取到的最小正整数值. 二、此题总分值25分(A).如图，点在以为直径的上，于点,点在上，四边形是正方形，的延长
4、线及交于点.证明:. (B).： 求的值.三、此题总分值25分(A).正实数满意： ,且 .(1) 求的值.(2) 证明:.(B).如图，在等腰中,为边上异于中点的点，点关于直线的对称点为点,的延长线及的延长线交于点 求的值. 2021年全国初中数学结合竞赛试题及详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题此题总分值42分，每题7分 (此题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个不管是否写在括号内，一律得0分.)1.用表示不超过的最大整数，
5、把称为的小数部分.，是的小数部分，是的小数部分，那么 【答案】. 【解析】 即 又 应选A. 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校方案恰好用500元购置上述图书30本，那么不同的购书方案有 种 种 种 种 【答案】C. 【解析】设购置三种图书的数量分别为那么，即，解得 依题意得，为自然数非负整数，故有种可能的取值分别为，对于每一个值，和都有唯一的值自然数相对应. 即不同的购书方案共有11种，应选C. 3(A). 假如一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么称这个正整数为“和谐数.如： 和均为“和谐数.那么，不超过的正整数中，全部的“和谐数之和为 【答案】B. 【解析】
6、其中为非负整数，由得， ，即得全部不超过2021的“和谐数，它们的和为应选B.3(B.二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点.当为整数时， 【答案】B. 【解析】依题意知 故 且，于是 又为整数， 故，应选B.4.的半径垂直于弦,交于点，连接并延长交于点,假设,那么的面积为 【解析】设那么于在中， 即解得，即 第4题答案图 为的中位线， 是的直径， 应选A. 5.如图，在四边形中，,对角线的交点为，那么 ( ) 第5题答案图 【答案】D. 【解析】过点作于点那么 设 那么 在中， 那么 明显，化简整理得解得不符合题意，舍去，故在中，,应选D. 6.设实数满意 那么的最大值为 ( ) 【答案】C
7、. 【解析】 当且仅当时，取等号，故，应选C. 二、填空题此题总分值28分，每题7分(此题共有4个小题，要求干脆将答案写在横线上.) 1.【1(A)、2B】 的顶点、在反比例函数的图象上，,轴，点在点的上方，且那么点的坐标为 .【答案】. 【解析】如图，过点作于点.在中， 在中， 第1题答案图 ,设，依题意知故，于是 解得，故点的坐标为.1(B).的最大边上的高线和中线恰好把三等分，,那么 .【答案】. 【解析】 第1题答案图1 第1题答案图2 依题意得, 故. (1)假设时，如答案图1所示， 又平分 在中，即 从而.在中， 在中，. (2)假设时，如答案图2.综上所述，. 2(A).在四边形
8、中，,平分,为对角线的交点，那么 . 【答案】. 【解析】设, 平分, (第2题答案图), 解得，,故.3.【3(A)、4(B)】 有位学生遗忘写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .【答案】.【解析】设两个三位数分别为，那么，故是的正整数倍，不妨设为正整数，代入得是三位数，解得为正整数，的可能取值为验证可知，只有符合，此时 故所求的六位数为. 3(B).假设质数、满意：那么的最大值为 .【答案】. 【解析】由得，因为质数，故的值随着质数的增大而增大，当且仅当获得最大值时，获得最大值. 又，因为质数，故的可能取值为，但时，不是质数，舍去
9、.当时,. 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内每格填入一个数，使得同一列中任何两数之差的肯定值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为,那么的最大值为 .【答案】 【解析】(根据5个1分布的列数的不怜悯形进展探讨,确定的最大值.(1)假设5个1分布在同一列，那么；(2)假设5个1分布在两列中，那么由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故,故;(3) 假设5个1分布在三列中，那么由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故,故; (4) 假设5个1分布在至少四列中，那么其中某一列至少有一个数大于3，这及冲突. 综上所述， 另一方面，如下表的
10、例子说明可以取到10.故的最大值为1114511245222453324533345 第二试 (3月20日上午9:50 11:20) 一、此题总分值20分为正整数，求能取到的最小正整数值.【解析】解：因为正整数，要使得的值为正整数，那么有.当时，只能为1，此时故能取到的最小正整数值不超过4.当时，只能为;假设，那么.当时，只能为;假设;假设那么.(下面考虑：的值能否为1？)反证法假设，那么，即， 因为正整数，故为奇数，从而为奇数，为偶数，不妨设，其中均为正整数，那么 即被除所得余数为3，而被4除所得余数为1，故式不行能成立，故.因此，能取到的最小正整数值为2. 二、此题总分值25分(A).如图
11、，点在以为直径的上，于点,点在上，四边形是正方形，的延长线及交于点.证明:. (第2(A)题答案图)【证明】：连接、为的直径，于点由四边形是正方形及于点可知:点在上，以点为圆心、为半径作及直线交于另一点,那么及切于点,即是的切线，直线是的割线，故由切割线定理得,即点及点重合，点在上，. (注：上述最终一段得证明用了“同一法)(B).： 求的值.【解析】由得 由恒等式得， 又 同理可得 原式=【注：恒等式】三、此题总分值25分(A).正实数满意： ,且 .(3) 求的值.(4) 证明:.【解析】1解：由等式，去分母得， ， ，原式= 2证明：由1得计算过程知，又为正实数,.【注：】(B).如图，在等腰中,为边上异于中点的点，点关于直线的对称点为点,的延长线及的延长线交于点 求的值.第3B题答案图【解析】如图，连接,那么点关于直线的对称点为点,四点共圆,(同弧所对得圆周角相等),四点共圆， 注：假设共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，那么四个顶点共圆，也可以说成：假设线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆