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1、我的函数的根本性质教案1. .函数的单调性(1)设那么上是增函数；上是减函数.(2)设函数在某个区间内可导，假如，则为增函数；假如，则为减函数.注：假如函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数;假如函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.2. 奇偶函数的图象特征 函数奇偶性的断定奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，假如一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；假如一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数注：若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.注：对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数及 的图象关于直线对称.注
2、：若,则函数的图象关于点对称;若,则函数为周期为的周期函数.3. 多项式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数的图象的对称性(1)函数的图象关于直线对称.(2)函数的图象关于直线对称.4. 两个函数图象的对称性(1)函数及函数的图象关于直线(即轴)对称.(2)函数及函数的图象关于直线对称.(3)函数和的图象关于直线y=x对称.25.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.5. 互为反函数的两个函数的关系.27.若函数存在反函数,则其反函数为,并不是,而
3、函数是的反函数.6. 几个常见的函数方程(1)正比例函数,.(2)指数函数,.(3)对数函数,.(4)幂函数,.(5)余弦函数,正弦函数，. 7. 几个函数方程的周期(约定a0)（1），则的周期T=a；（2），或，或,或,则的周期T=2a；(3)，则的周期T=3a；(4)且，则的周期T=4a；(5),则的周期T=5a；(6)，则的周期T=6a.8. 分数指数幂 (1)（，且）.(2)（，且）.9. 根式的性质（1）.（2）当为奇数时，；当为偶数时，.10. 有理指数幂的运算性质(1).(2).(3).注：若a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂
4、都适用.33.指数式及对数式的互化式.34.对数的换底公式 (,且,且, ).推论 (,且,且, ).11. 对数的四则运算法则若a0，a1，M0，N0，则(1);(2);(3).注：设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.12. 对数换底不等式及其推论若,则函数(1) 当时,在和上为增函数.(2) (2)当时,在和上为减函数.推论:设，且，则（1）.（2）.四典例解析题型一：推断函数的奇偶性例1探讨下述函数的奇偶性：解：（1）函数定义域为R， ，f(x)为偶函数；（另解）先化简：，明显为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要简洁得多。（2）需要分两段探讨
5、：设设当x=0时f(x)=0，也满意f(x)=f(x)；由、知，对xR有f(x) =f(x)， f(x)为奇函数；（3），函数的定义域为，f(x)=log21=0(x=1) ，即f(x)的图象由两个点 A（1，0）及B（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，f(x)既是奇函数，又是偶函数；（4）x2a2, 要分a 0及a 0时， ，当a 0时，f(x)为奇函数； 既不是奇函数，也不是偶函数.点评：推断函数的奇偶性是比拟根本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必需是等价变换过程（要保证定义域不变）。例2(2002天津文.1
6、6)设函数f（x）在（，+）内有定义，下列函数：y=|f（x）|；y=xf（x2）；y=f（x）；y=f（x）f（x）。必为奇函数的有_（要求填写正确答案的序号）答案：；解析：y=（x）f（x）2=xf（x2）=y；y=f（x）f（x）=y。点评：该题考察了推断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维实力有较高的要求。题型二：奇偶性的应用例3（2002上海春，4）设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x0时，f（x）=log3（1+x），则f（2）=_ _。答案：1；解：因为x0时，f（x）=log3（1+x），又f（x）为奇函数，所以f（x）=f（x），设x0，所以f（x）=f（x）=f（1x），
7、所以f（2）=log33=1。点评：该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。例4已知定义在R上的函数y= f(x)满意f(2+x)= f(2x)，且f(x)是偶函数，当x0，2时，f(x)=2x1，求x4，0时f(x)的表达式。解：由条件可以看出，应将区间4，0分成两段考虑：若x2，0，x0，2，f(x)为偶函数，当x2，0时，f(x)= f(x)=2x1,若x4，2，4+ x0，2，f(2+x)+ f(2x)，f(x)= f(4x)，f(x)= f(x)= f4（x）= f(4+x)=2（x+4）1=2x+7；综上，点评：结合函数的数字特征，借助函
8、数的奇偶性，处理函数的解析式。题型三：推断证明函数的单调性例5（2001天津，19）设，是上的偶函数。（1）求的值；（2）证明在上为增函数。解：（1）依题意，对一切，有，即。对一切成立，则，。（2）(定义法)设，则，由，得，即，在上为增函数。（导数法），在上为增函数点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。例6已知f(x)是定义在R上的增函数，对xR有f(x)0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，探讨F (x)的单调性，并证明你的结论。解：这是抽角函数的单调性问题，应当用单调性定义解决。在R上任取x1、x2，设x1x2，f(x2)= f(x1)， f(x)
9、是R上的增函数，且f(10)=1，当x10时0 f(x)10时f(x)1; 若x1x25，则0f(x1)f(x2)1, 0 f(x1)f(x2)1,0, F (x2)x15，则f(x2)f(x1)1 , f(x1)f(x2)1, 0, F(x2) F (x1)；综上，F (x)在（，5）为减函数，在（5，+）为增函数。点评：该题属于推断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比拟特别的问题，其根本实力是变量代换、换元等，应娴熟驾驭它们的这些特点。题型四：函数的单调区间例7（2001春季北京、安徽，12）设函数f（x）（ab0），求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性。
10、.解：在定义域内任取x1x2，f（x1）f（x2），ab0，ba0，x1x20，只有当x1x2b或bx1x2时函数才单调当x1x2b或bx1x2时f（x1）f（x2）0f（x）在（b，）上是单调减函数，在（，b）上是单调减函数点评：本小题主要考察了函数单调性的根本学问。对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间。例8（1）求函数的单调区间；（2）已知若试确定的单调区间和单调性。解：（1）函数的定义域为，分解根本函数为、明显在上是单调递减的，而在上分别是单调递减和单调递增的。依据复合函数的单调性的规则：所以函数在上分别单调递增、单调递减。（2）解法一：函数的定义域为R，分解根本函数为和
11、。明显在上是单调递减的，上单调递增；而在上分别是单调递增和单调递减的。且，依据复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为；单调减区间为。解法二：， 令 ，得或，令 ，或单调增区间为；单调减区间为。点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。题型五：单调性的应用例9已知偶函数f(x)在(0，+)上为增函数，且f(2)=0，解不等式flog2(x2+5x+4)0。解：f(2)=0,原不等式可化为flog2(x2+5x+4)f(2)。 又f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+)上为增函数，f(x)在(,0)上为减函数且f(2)=f(2)=0。不等式可化为 log2(x2+5
12、x+4)2 或 log2(x2+5x+4)2由得x2+5x+44，x5或x0由得0x2+5x+4得x4或1x由得原不等式的解集为x|x5或x4或1x或x0。例10已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在0，+上是增函数，是否存在实数m，使f(cos23)+f(4m2mcos)f(0)对全部0,都成立？若存在，求出符合条件的全部实数m的范围，若不存在，说明理由。解：f(x)是R上的奇函数，且在0，+上是增函数，f(x)是R上的增函数，于是不等式可等价地转化为f(cos23)f(2mcos4m)，即cos232mcos4m,即cos2mcos+2m20。设t=cos,则问题等价地转化为函数g(
13、t)=t2mt+2m2=(t)2+2m2在0，1上的值恒为正，又转化为函数g(t)在0，1上的最小值为正。当0,即m0m1及m042m4+2，421,即m2时，g(1)=m10m1。m2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m42。另法(仅限当m可以解出的状况)： cos2mcos+2m20对于0,恒成立，等价于m(2cos2)/(2cos) 对于0,恒成立当0,时，(2cos2)/(2cos) 42，m42。点评：上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题。题型六：最值问题例11（2002全国理，21）设a为实数，函数f（x）=x2+|xa|+1，xR。（1）探讨f
14、（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值。解：（1）当a=0时，函数f（x）=（x）2+|x|+1=f（x），此时f（x）为偶函数。当a0时，f（a）=a2+1，f（a）=a2+2|a|+1，f（a）f（a），f（a）f（a）。此时函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数。（2）当xa时，函数f（x）=x2x+a+1=（x）2+a+。若a，则函数f（x）在（，a）上单调递减，从而，函数f（x）在（，a）上的最小值为f（a）=a2+1。若a，则函数f（x）在（，a上的最小值为f（）=+a，且f（）f（a）。当xa时，函数f（x）=x2+xa+1=（x+）2a+。若a，则函数f（x）在a，+上的最小
15、值为f（）=a，且f（）f（a）。若a，则函数f（x）在a，+上单调递增，从而，函数f（x）在a，+上的最小值为f（a）=a2+1。综上，当a时，函数f（x）的最小值是a。当a时，函数f（x）的最小值是a2+1。当a时，函数f（x）的最小值是a+。点评：函数奇偶性的探讨问题是中学数学的根本问题，假如平常留意学问的积累，对解此题会有较大扶植.因为xR，f（0）=|a|+10，由此解除f（x）是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a=0时，f（x）是偶函数，第2题主要考察学生的分类探讨思想、对称思想。例12设m是实数，记M=m|m1，f(x)=log3(x24mx+4m2+m+)。(1)证
16、明：当mM时，f(x)对全部实数都有意义；反之，若f(x)对全部实数x都有意义，则mM；(2)当mM时，求函数f(x)的最小值；(3)求证：对每个mM,函数f(x)的最小值都不小于1。 (1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log3(x2m)2+m+,当mM时，m1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定义域为R。反之，若f(x)对全部实数x都有意义，则只须x24mx+4m2+m+0。令0，即16m24(4m2+m+)0，解得m1，故mM。(2)解析：设u=x24mx+4m2+m+，y=log3u是增函数，当u最小时，f(x)最小。而u=(x2m)2+m+，明显，当x=m时，u取最小值为m
17、+，此时f(2m)=log3(m+)为最小值。(3)证明：当mM时，m+=(m1)+ +13，当且仅当m=2时等号成立。log3(m+)log33=1。点评：该题属于函数最值的综合性问题，考生需要结合对数函数以及二次函数的性质来进展处理。题型七：周期问题例13若y=f(2x)的图像关于直线和对称，则f(x)的一个周期为（ ）A B C D解：因为y=f(2x)关于对称，所以f(a+2x)=f(a2x)。所以f(2a2x)=fa+(a2x)=fa(a2x)=f(2x)。同理，f(b+2x) =f(b2x)，所以f(2b2x)=f(2x)，所以f(2b2a+2x)=f2b(2a2x)=f(2a2x
18、)=f(2x)。所以f(2x)的一个周期为2b2a，故知f(x)的一个周期为4(ba)。选项为D。点评：考察函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可。若函数y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称（ab），则这个函数是周期函数，其周期为2（ba）。例14已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数获得最小值。证明：；求的解析式；求在上的解析式。解：是以为周期的周期函数，又是奇函数，。当时，由题意可设，由得，。是奇函数，又知在上是一次函数，可设，而，当时，从而当时，故时，。当时，有，。当时，。点评：该题属于一
19、般函数周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转化成数字特征。五思维总结1推断函数的奇偶性，必需依据函数的奇偶性定义进展，为了便于推断，常应用定义的等价形式：f(-x)= f(x)f(-x) f(x)=0；2对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内随意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的本质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的随意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其相应图象的特别的对
20、称性的反映；3若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0，因此，“f(x)为奇函数”是f(0)=0的非充分非必要条件；4奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此依据图象的对称性可以推断函数的奇偶性。5若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内随意x恒成立，则称T为函数f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域肯定是无限集。6单调性是函数学习中特别重要的内容，应用特别广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的实力得到了很大的进步，因此解决详细函数的单调性问题，一般求导解决，而解决及抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决
21、。留意，关于复合函数的单调性的学问一般用于简洁问题的分析，严格的解答还是应当运用定义或求导解决。3.常用的求值域的方法（1）化归法；（2）图象法（数形结合）， （3）函数单调性法， （4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）根本不等式法等 关于函数值域误区定义域、对应法则、值域是函数构造的三个根本“元件”。平常数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就减弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的驾驭时好时坏，事实上，定义域及值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域及值域的互相转化）。假如函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是简洁的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必需联络函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值状况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，理论证明，假如加强了对值域求法的探讨和探讨，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的相识。