人教七年级上学期竞赛入门辅导讲义共十讲很实用.docx

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1、 第一讲 数的整除一、内容提要：假如整数A除以整数BB0所得的商A/B是整数，那么叫做A被B整除 0能被全部非零的整数整除一些数的整除特征除 数能被整除的数的特征_2或5末位数能被2或5整除_4或25末两位数能被4或25整除_8或125末三位数能被8或125整除_3或9各位上的数字和被3或9整除如771，54324_11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减，其差能被11整除如143，1859，1287，908270等_7，11，13从右向左每三位为一段，奇数段的各数和与偶数段的各数和相减，其差能被7或11或13整除如1001，22743，17567，21281等_能被7整除的数的特征：抹去个位

2、数减去原个位数的2倍其差能被7整除如1001100298能被7整除又如700770014686，681256能被7整除能被11整除的数的特征：抹去个位数减去原个位数其差能被11整除如1001100199能11整除又如10285102851023102399能11整除二、例题例1两个三位数和的和仍是三位数且能被9整除求x，y解：x，y都是0到9的整数，能被9整除，y=6328567，x=3例2 己知五位数能被12整除，求x解：五位数能被12整除，必定同时能被3和4整除，当1234X能被3整除时，x=2，5，8当末两位能被4整除时，x0，4，8x8例3 求能被11整除且各位字都不一样的最小五位数解

3、：五位数字都不一样的最小五位数是10234，但124034，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，五位数字都不一样的最小五位数是10263三、练习1 分解质因数：写成质因数为底的幂的連乘积59318591287327610101102962 假设四位数能被3整除，那么 a=_3 假设五位数能被11整除，那么x_4 当m=_时，能被25整除5 当n=_时，能被7整除6 能被11整除的最小五位数是_，最大五位数是_7 能被4整除的最大四位数是_，能被8整除的最小四位数是_8 8个数：125，756，1011，2457，7855，8104，9152，70972

4、中，能被以下各数整除的有填上编号：6_，8_，9_，11_9 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_个，能被3整除但不是5的倍数的共_个10 由1，2，3，4，5这五个自然数，随意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？11 己知五位数能被15整除，试求A的值12 求能被9整除且各位数字都不一样的最小五位数第二讲 倍数 约数一、内容提要1两个整数A和BB0，假如B能整除A记作B/A，那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数例如3/15，15是3的倍数，3是15的约数2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数如

5、0是7的倍数，7是0的约数3整数AA0的倍数有多数多个，并且以互为相反数成对出现，0，A，2A，都是A的倍数，例如5的倍数有5，10，4整数AA0的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括1和A例如6的约数是1，2，3，65通常我们在正整数集合里探讨公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数6公约数只有1的两个正整数叫做互质数例如15与28互质7在有余数的除法中，被除数除数商数余数假设用字母表示可记作： ABQR，当A，B，Q，R都是整数且B0时，AR能被B整除例如23372那么232能被3整除二、例题例1写出以下各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应

6、用：2，22，23，24，3，32，33，34，23，223，2232解：列表如下：正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计_21，2231，32231，2，3，64_221，2，43321，3，3232231，2，3，4，6，126_231，2，4，84331，3，32，33422321，2，3，4，6，9，12，18，369_241，2，4，8，165341，3，32，33，345_其规律是：设Aambn(a，b是质数，m，n是正整数)那么合数A的正约数的个是m+1(n+1)例如：求360的正约数的个数解：分解质因数：36023325，360的正约数的个数是31211124个

7、例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数解：24233，902325最大公约数是23， 记作24，906最小公倍数是23325360， 记作24，90=360例3己知32，44除以正整数N有一样的余数2，求N解：322，442都能被N整除，N是30，42的公约数30，426，而6的正约数有1，2，3，6经检验1和2不合题意，N6，3例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求合适条件的最小正整数分析：依题意假如所求的数加上1，那么能同时被10，9，8整除，所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1解：10，9，8=360，所以所求的数是359三、练习112的正约数有_，1

8、6的全部约数是_2分解质因数300_，300的正约数的个数是_3用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数4一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_5能同时被3，5，11整除的最小四位数是_最大三位数是_6己知14和23各除以正整数A有一样的余数2，那么A_7写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的全部两位数答_8一个长方形的房间长丈，宽丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？假设用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖合适？9一条长阶梯，假如每步跨2阶，那么最终剩1阶，假如每步跨3阶，那么最终剩2阶，假如每步跨4阶，那么最终剩3阶，假如每步跨5阶，

9、那么最终剩4阶，假如每步跨6阶，那么最终剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？第三讲 质数合数一、内容提要1正整数的一种分类：质数的定义：假如一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数质数也称素数合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数2 根椐质数定义可知 质数只有1和本身两个正约数， 质数中只有一个偶数2假如两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，假如两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3任何合数都可以分解为几个质数的积能写成几个质数的积的正整数就是合数二、例题例1两个质数的和等于奇数

10、a a5求这两个数解：两个质数的和等于奇数，必有一个是2，所求的两个质数是2和a2例2己知两个整数的积等于质数m， 求这两个数解：质数m只含两个正约数1和m， 又1m=m，所求的两个整数是1和m或者1和m例3 己知三个质数a，b，c它们的积等于30，求合适条件的a，b，c的值解：分解质因数：30235合适条件的值共有： 应留意上述六组值的书写排列依次，此题假如改为4个质数a，b，c，d它们的积等于210，即abcd=2357那么合适条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来例4试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数解：此题答案不是唯一的设N是不大于5的全部质数的积，即N235那么N2，N

11、3，N4，N5就是合适条件的四个合数即32，33，34，35就是所求的一组数此题可推广到n 个令N等于不大于n+1的全部质数的积，那么N2，N3，N4，Nn+1就是所求的合数三、练习1小于100的质数共 个，它们是 2己知质数P与奇数Q的和是11，那么P ，Q 3己知两个素数的差是41，那么它们分别是 4假如两个自然数的积等于19，那么这两个数是 假如两个整数的积等于73，那么它们是 假如两个质数的积等于15，那么它们是 5两个质数x和y，己知xy=91，那么x= ，y= ，或x= ，y= 6 三个质数a，b，c它们的积等于1990 那么7能整除311513的最小质数是 8己知两个质数A和B合

12、适等式AB99，ABM求M与的值9试写出6个連续正整数，使它们个个都是合数10具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？11求合适以下三个条件的最小整数： 大于1没有小于10的质因数不是质数12某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，那么这个质数是 13一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是 第四讲 零的特性一、内容提要一、零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数零是自然数，是整数，是偶数1 零是表示具有相反意义的量的基准数例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支平衡可记作结存0元2零是断定正、负数的界限假设a 0那么a是正数，反过来也

13、成立，假设a是正数，那么 a0记作a0 a是正数读作a0等价于a是正数bb时，a-b0；当ab时，a-b0(三)、在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。例如近似数米与米不同，前者表示精确到米即1分米，误差不超过5厘米； 后者表示精确到米即1厘米，误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下：近似数近似数1.60a， a2 a2， aa， a+1a4 x表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：句。x22有最小值0，x+3|有最大值0， 2x2有最大值2，3x1有最小3。5肯定值小于5的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？6要使以下等式成立，字母x、y应取什么值？0，xx3

14、0，x1y3207以下说法正确吗？为什么？a的倒数是n表示一切自然数，2n1表示全部的正奇数 假如ab， 那么 (a 、b 、m都是有理数 )8x取什么值时，以下代数式的值是正数？xx1xx1x2 第五讲 数学符号一、内容提要数学符号是表达数学语言的特别文字每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义数学符号一般可分为：1 元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用和表示园和三角形等2 关系符号：如等号，不等号，相像，全等，平行，垂直等3 运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、肯定值等4 逻辑符号：略5 约定符号和协助符号：例如我们约定正整数a和b中，

15、假如a除以b的商的整数部份记作Z，而它的余数记作R， 那么Z3，R1；又如设表示不大于x的最大整数，那么5，6，0，3正确运用符号的关健是明确它所表示的意义即定义对题设中临时约定的符号，肯定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由详细到抽象，逐步加深理解在解题过程中为了简明表述，须要临时引用协助符号时，必需先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆二、例题例1设表示不大于Z的最大整数，n为正整数n除以3的余数 计算：13;2004解：原式43100原式14202例2求19871988的个位数 说明1987198919931991能被10整除的理由解：设Nx表示整数x的个位数， N19871988N

16、74497N741N19871989N19931991N744971N344973N71N337701987198919931991能被10整除例3定义一种符号的运算规那么为：ab=2a+b试计算：53174解：5325313 21749429422例4 设ab=a(ab+7), 求等式3x=2(-8)中的x解：由题设可知：等式3x=2(-8)就是33x722879x+21=18 x=4三、练习1设Qx 表示有理数x 的整数部分，那么QQ12.3= QQ2设n表示不小于n的最小整数，那么23设m表示不大于m的最大整数假设m=2 那么m= 假设n= 那么n=假设1Y0那么Y 假设7b8那么b假设

17、x=4 那么x 假设nCn1那么C4正整数a和b中，设a除以b的商的整数部分记作Z余数记作R，ab的个位数记作nab,写出以下各数的结果：RRZZn(19891990)= 5设n！表示自然数由1到n的连乘积例如5！12345120计算：1203!6设= a1b2a2b1计算： 7定义一种符号的运算法那么为ab= 那么 3223 1233108a，b都是正整数，设a b表示从a起b个連续正整数的和例如23234545678己知x52005 求x9设x表示不大于x数的最大整数且xx求10设a表示不大于数a的最大整数，例如1，2 那么3x+12x-的全部的根的和是第六讲 用字母表示数一、内容提要和例

18、题1， 用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来，从详细的数字计算到用抽象的字母概括运算规律上，是一种飞跃2， 用字母表示数时，字母所取的值，应使代数式有意义，并使它所表示的实际问题有意义例如写出数a的倒数用字母表示一切偶数解：当a0时， a的倒数是设n为整数，2n可表示全部偶数3， 命题中的字母，一般要注明取值范围，在没有说明的状况下，它表示所学过的数，并且能使题设有意义例题化简：x 3x3 | x+5|解：x3，x30，x3x3x3当x5时，x5x5，当x 0，b0， 那么 a+b0，不行逆肯定值性质 假如a0，那么|a|=a 也不行逆假设|a|=a那么a07， 有规

19、律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式二、例题 例1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的n位数呢？ 解：不同的五位数可从最大 五位数99999减去最小五位数10000前的全部正整数，即99999-9999=90000. 推广到n位正整数，那么要视察其规律一位正整数，从1到9共9个， 记作91二位正整数从10到99共90个， 记作910三位正整数从100到999共900个， 记作9102四位正整数从1000到9999共9000个， 记作9103 指数3=4-1 n位正整数共910 n-1个例2 A C D E B在线段AB上加了3个点C、D、E后，图中共有几条线段？ 加n点呢？解：以A为

20、一端的线段有： AC、AD、AE、AB 共4条以C为一端的线段有：除CA外 CD、CE、CB 共3条以D为一端的线段有：除DC、DA外 DE、DB 共2条以E为一端的线段有：除ED、EC、EA外 EB 共1条共有线段1+2+3+4=10 条 留意：3个点时，是从1加到4， 因此假如是n个点，那么共有线段1+2+3+n+1= =条三、练习1， 右边代数式中的字母应取什么值？ S正方形=a2 3的倍数3n2， 用字母表示：一切奇数， 全部正偶数，一个三位数，n个a相乘的结果， 负数的肯定值是它的相反数3， 写出：从1开始，n 个自然数的和是_从11开始到2n+1 連续奇数的和n5是_m个球队进展单循环赛所需场数是_4， 999=1031， 9999=1041， 那么各位数都是9的n位数=_5， 计算112= ，1112= ，n10时=_6， 写出图中全部三角形并计算其个数，假如线段上有10个点呢？