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1、余 弦 定 理一、教学内容分析人教版一般高中课程标准试验教科书必修（五）（第2版）第一章解三角形第一单元第二课余弦定理。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其构造特征与表现形式，解决“边、角、边”与“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。二、学生学习状况分析本课之前，学生已经学习了三角函数、向量根本学问与正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的相识。在此根底上利用向量方法探求余弦定理，学生已有肯定的学习根底与学习爱好。总体上学生应用数学学问的意识不强，创建力较弱，对待与分析问题不深化，学问的系统性不完善，使
2、得学生在余弦定理推导方法的探求上有肯定的难度，在开掘出余弦定理的构造特征、表现形式的数学美时，可以激发学生酷爱数学的思想感情；从详细问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去谛视，解决问题是学生学习的一大难点。三、设计思想新课程的数学提倡学生动手理论，自主探究，合作沟通，深入地理解根本结论的本质，体验数学发觉与创建的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学形式进展思索，作出推断；同时要求老师从学问的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向施行者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，进步学生的数学思维实力，开展学生的数学应用意识与创新意识，深入地体会数学
3、思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学学问的潜能。四、教学目的接着探究三角形的边长与角度间的详细量化关系、驾驭余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过理论演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过相关教学学问的联络性，理解事物间的普遍联络性。五、教学重点与难点教学重点是余弦定理的发觉过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。六、教学过程：教学环节合作探究活动学情分析与设计意图学问回忆1、一般三角形全等的四种推断方法是什么？2、三角形的正弦定理内容，主
4、要解决哪几类问题的三角形？回忆旧知，防止遗忘创设引入你能推断下列三角形的类型吗？1、以3，4，5为各边长的三角形是_三角形以2，3，4为各边长的三角形是_三角形以4，5，6为各边长的三角形是_三角形2、在ABC中a8，b5，c60，你能求c边长吗？引导学生从平面几何、理论作图方面进展估计推断。学生可能比拟茫然，扶植学生分析相关内容，从多角度对待问题，用理论进展检验。提出问题你可以有更好的详细的量化方法吗？扶植学生从平面几何、三角函数、向量学问、坐标法等方面进展分析讨论，选择简洁的处理工具，引发学生的主动讨论。引导学生从相关学问入手，选择简洁的工具。合作探究ABC利用向量法推导余弦定理：如图：设
5、，由三角形法则有同理，让学生利用一样方法推导，学生对向量学问可能遗忘，留意复习；在利用数量积时，角度可能出现错误，出现不同的表示形式，让学生从错误中发觉问题，稳固向量学问，明确向量工具的作用。同时，让学生明确数学中的转化思想：化未知为已知。归纳概括余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方与减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。学问归纳比拟，发觉特征，加强识记构造分析视察余弦定理，指明了三边长与其中一角的详细关系，并发觉a与A，b与B，C与c之间的对应表述，同时发觉三边长的平方在余弦定理中同时出现使学生明确对应关系，树立方程思想，解决“边、角、边”问题学问联络余弦定理的推论：解决“边、
6、边、边”问题方法应用怎样准确地解答引入中的两个问题？怎样利用已知条件推断三角形的形态？用准确的量化关系去解决问题，用边长去推断三角形形态，勾股定理是余弦定理特例。学问应用例1：在ABC中，已知b60cm，c34cm，A41，求解三角形（角度准确到1，边长准确到1cm）例2：在ABC中，已知a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形（角度准确到1）应用数学学问求解问题加强计算器的运算功能，同时，稳固好正弦定理，余弦定理学问，发觉两种学问方法在解三角形中的综合应用。学问深化例3：已知ABC中求c边长分析：（1）用正弦定理分析引导（2）应用余弦定理构造关于C的方程求解。（3）比拟两
7、种方法的利弊。能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性。接着深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解问题优越于余弦定理。并让学生初步发觉“边、边、角”问题解法，为下节学习辅垫。练习检测1、某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的间隔 与第二辆车的间隔 之间关系为（）A： B：= C： D：大小不确定2、锐角ABC中b1，c2，则a取值为（）A：（1,3）B：（1,）C：（，2）D：（，）3、在ABC中若有，你能推断这个三角形的形态吗？若呢？用练习去稳固所学学问，使学生逐步形成良好的学
8、问构造，加强数学学问应用实力的培育。课堂小结1、正弦、余弦定理各能解决哪些类型问题？各有什么利与弊？2、从本课中你学到了哪些学问与方法？通过学问回忆，使学生各自体会收获。板书设计1、推导余弦定理及其推论2、例3、例43、练习指导4、小结投影正弦、余弦定理，比拟它们理解学问作业设计1、讨论余弦定理的其它解法设计思路。2、第11页A组3、4题稳固学问多角度对待问题七、教学反思本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后学问的联络，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧学问渐渐地融为一体，构建比拟完好的学问系统。所以在余弦定理的表现方式、构造特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定
9、理的本质，才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求在型（模型、类型），质（本质、本质），思（思维、思想方法）上到达教学效果。本课之前学生已学习过三角函数，平面几何，平面对量、解析几何、正弦定理等与本课严密联络的内容，使本课有了较多的处理工具，也使余弦定理的讨论有了更加简洁的工具。因此在本课的教学设计中抓住前后学问的联络，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，相识数学与实际的联络，学会应用数学学问与方法解决一些实际问题。学生应用数学的意识不强，创建力缺乏、对待问题不深化，很大缘由在于学生的学问系统不够完善。因此本课运用联络的观点，从多角度对待问题，在提出问题、思索分析问题、解决问题等多方
10、面对学生进展示范引导，将旧学问与新学问进展重组拟合及进步，扶植学生建立自己的良好学问构造。点评：本课是在学生学习了三角函数、平面几何、平面对量、正弦定理的根底上而设置的教学内容，因此本课的教学有较多的处理方法。李老师从解三角形的问题动身，提出解题须要，引发认知冲突，激起学生的求知欲望，调动了学生的学习主动性；在定理证明的教学中，引导学生从平面几何、三角函数、向量学问、坐标法等方面进展分析讨论，留意分析思路，提醒蕴含在证明中的数学思想，最终引导学生用向量学问推导出公式，在给出余弦定理的三个等式与三个推论之后，又对学问进展了归纳比拟，发觉特征，便于学生识记，同时也指出了勾股定理是余弦定理的特别情形
11、，进步了学生的思维层次。命题的应用是命题教学的一个重要环节，学习命题的重要目的是应用命题去解决问题。所以，例题的精选、讲解是至关重要的。设计中的例1、例2是常规题，让学生应用数学学问求解问题，稳固正弦定理、余弦定理学问。例3是已知两边一对角，求解三角形问题，可用正弦定理求之，也可用余弦定理求解，通过比拟分析，突出了正、余弦定理的联络，深化了对两个定理的理解，培育理解决问题的实力。但李老师在对例3解法的总结时，指出“能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性。”这结论有点片面。本课在继承了传统数学教学形式优点，结合新课程的要求进展改良与开展，以开展学生的数学思维实力为主线，发挥老师的设计者，组织者作用，在使学生驾驭学问的同时，扶植学生探索自己的学习方法。