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1、例谈梯形中的常用协助线 在解证有关梯形的问题时，经常要添作协助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。本文举例谈谈梯形中的常用协助线，以扶植同学们更好地理解和运用。一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。例1如图1，梯形的上底3，下底8，腰4，求另一腰的取值范围。2、平移两腰：利用梯形中的某个特别点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。例2如图2，在梯形中，B90，1，3，E、F分别是、的中点，连接，求的长。3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将条件转化到一个三角形中。例3如图3，在等腰梯形中，3，7，求证：
2、。【变式1】平移对角线梯形的面积是32，两底及高的和为16，假如其中一条对角线及两底垂直，那么另一条对角线长为 例4如图4，在梯形中，15，20，高12，求梯形的面积。二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。例5如图5，在梯形中，50，80，2，5，求的长。 【变式2】如下图，四边形中，不平行于，. 推断四边形的形态，并证明你的结论. 【变式3】延长两腰如图，在梯形中，、为、的中点。三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。例6如图6，在直角梯形中，于点E，求证：。四、作梯形的高1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。例7如图7，在直角
3、梯形中，90，2，对角线，垂足为F，过点F作，交于点E，求证：四边形是等腰梯形。图72、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。例8如图8，在梯形中，为上底，求证：。【变式4】如图2-44所示是梯形， ， ，且，交于O.求的度数【变式5】 如图2-45所示直角梯形中，90，135，的垂直平分线交于N，交延长线于F，垂足为M求证：【变式6】例如图2-46所示直角梯形中，90，E是的中点假设2，8，求的面积【变式7】过顶点作高，90，求证：五、作中位线1、梯形一腰中点，作梯形的中位线。例9如图9，在梯形中，O是的中点，90，求证：。2、梯形两条对角线
4、的中点，连接梯形一顶点及一条对角线中点，并延长及底边相交，使问题转化为三角形中位线。例10如图10，在梯形中，E、F分别是、的中点，求证：1；2 【变式8】如下图等腰梯形中，对角线，所成的角60，P，Q，R分别是，的中点求证：是等边三角形【变式9】过一腰中点作底边平行线构造中位线梯形中，的平分线过的中点E3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形到达解题的目的。例10、在梯形中， 900，E是上的中点，连接和，求2。【变式10】如图，E是梯形中腰上的中点，作法图形平移一腰，转化为三角形、平行四边形作高，转化为两直角三角形和一矩形延长两腰，转化为三角形平移一对角线，转化为三角形
5、、平行四边形连接一顶点及一腰的中点，构造全等三角形【模拟试题】答题时间：40分钟1. 假设等腰梯形的锐角是60，它的两底分别为11cm，35cm，那么它的腰长为. 2. 如下图，等腰梯形中，B60，2，8，那么此等腰梯形的周长为 A. 19B. 20C. 21D. 22*3. 如下图，12，20，15，那么梯形的面积为 A. 130B. 140C. 150D. 160*4. 如下图，在等腰梯形中，对角线及相互垂直，且30，70，求的长. 5. 如下图，等腰梯形的锐角等于60，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长. 6. 如下图，等腰梯形中，10，于E，求的长. 7. 如下图，梯形中，D
6、2B，8，求的长. *8. 如下图，梯形中，1假设E是的中点，且，那么及有何位置关系？2E是及的角平分线的交点，那么及有何位置关系？类型二：不添加协助线多数及全等、面积、梯形中位线有关系1、：如图，四边形为矩形，四边形为等腰梯形，。求证：举一反三：【变式1】如图，：在梯形中，、相交于点O. 求证：. 说明 此题中，我们也可以用和的面积相等，推出和的面积相等，等底等高的性质在证明三角形及四边形的面积问题时，起关键作用.【变式2】如图，：是的平分线，. 1求证：四边形是等腰梯形. 2假设的周长为，求四边形的周长. 说明：等腰梯形的判定，一般是先判定一个四边形是梯形，然后再由“两腰相等或“同一底上的两个角相等来判定它是等腰梯形，要判定一个四边形是梯形时，判定一组对边不平行经常有困难，所以可用判定平行的两边不相等的方法来解决【变式3】如图2-43所示在直角三角形中，E是斜边上的中点，D是的中点，交延长线于F求证：四边形是等腰梯形