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1、2009年高考安徽数学理科试题及答案第I卷 (选择题 共50分)一.选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）i是虚数单位，若，则乘积的值是（ ） （A）-15 （B）-3 （C）3 （D）15（2）若集合则AB是（ ） （A） (B) (C) (D) （3）下列曲线中离心率为的是（ ）（A） （B） （C） （D） (4)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ）（A）p:b+d , q:b且cd （B）p:a1,b1， q:的图像不过第二象限（C）p: x=1, q:（D）p:a1, q: 在上为增函数（5）已知为等差数列，+
2、=105，=99.以表示的前项与，则使得到达最大值的是（ ）（A）21 （B）20 （C）19 （D） 18（6）设b,函数的图像可能是（ ）（7）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两局部，则的值是（ ） （A） （B） （C） （D） （8）已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的间隔 等于，则的单调区间是（ ）（A） （B）（C） （D）（9）已知函数在R上满意，则曲线在点处的切线方程是（ ）（A） （B） （C） （D）（10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中随意选两个点连成直线，乙也从这6个点中随意选两个点连成直线，则所得的两条直线互相平行但不重合的概率等于（ ）（A）
3、 （B） （C） （D）二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。(11）若随机变量，则=_.(12)以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取一样的长度单位。已知直线的极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点A与B，则|AB|=_.(13) 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是_.（14）给定两个长度为1的平面对量与，它们的夹角为. 如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是=_.（15）对于四面体ABCD，下列命题正确的是_（写出全部正确命题的编号）。相对棱AB与CD所在的直线异面；由顶点A作四面体的高，其
4、垂足是BCD的三条高线的交点；若分别作ABC与ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之与大于最长棱。三解答题：本大题共6小题，共75分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡的指定区域内。（16）（本小题满分12分）在ABC中，sin(C-A)=1, sinB=。（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积。（17）（本小题满分12分） 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区B确定是受A感染的。对于C，因犯难以断定他是受A还是受
5、B感染的，于是假定他受A与受B感染的概率都是。同样也假定D受A、B与C感染的概率都是。在这种假定之下，B、C、D中干脆受A感染的人数X就是一个随机变量。写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）.（18）（本小题满分13分）如图，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2。（I）求二面角B-AF-D的大小；（II）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共局部的体积。（19）（本小题满分12分） 已知函数，探讨的单调性.（20）（本小题满分13分）点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP
6、的倾斜角为，直线的倾斜角为.（I）证明: 点是椭圆与直线的唯一交点；（II）证明:构成等比数列。（21）（本小题满分13分）首项为正数的数列满意（I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；（II）若对一切都有，求的取值范围。答案一选择题：BDBAB CACAD二填空题：11： 12： 13：127 14：2 15：三解答题16解：（I）由知。又所以即故(II)由（I）得：又由正弦定理，得：所以X123P17.解：随机变量X的分布列是X的均值。附：X的分布列的一种求法共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：ABCDABCDABCDABDCACDB在情形与之下，A干脆感染了一个人；在情形、
7、之下，A干脆感染了两个人；在情形之下，A干脆感染了三个人。18.解：（I）(综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，G为垂足。连接BG、DG。由BDAC,BDCF,得：BD平面ACF，故BDAF.于是AF平面BGD,所以BGAF,DGAF,BGD为二面角B-AF-D的平面角。由FCAC,FC=AC=2,得FAC=,OG=.由OBOG,OB=OD=,得BGD=2BGO=.(向量法)以A为坐标原点，、方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).于是设平面ABF的法向量，则由得。令得，同理，可求得平面ADF的法向量。由知，平面ABF与平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大
8、小等于。（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共局部为四棱锥H-ABCD。过H作HP平面ABCD，P为垂足。因为EA平面ABCD，FC平面ABCD，所以平面ACFE平面ABCD，从而由得。又因为故四棱锥H-ABCD的体积19.解：的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式. 当，即时，对一切都有.此时在上是增函数。 当,即时，仅对有,对其余的都有, 此时在上也是增函数。 当，即时，方程有两个不同的实根,.+0_0+单调递增极大单调递减微小单调递增此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.20.解：（I）（方法一）由得代
9、入椭圆,得.将代入上式,得从而因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.(方法二)明显P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得即故P与Q重合。（方法三）在第一象限内，由可得椭圆在点P处的切线斜率切线方程为即。因此，就是椭圆在点P处的切线。依据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。（II）的斜率为的斜率为由此得构成等比数列。21.解：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系得是奇数。依据数学归纳法，对任何，都是奇数。（II）（方法一）由知，当且仅当或。另一方面，若则；若，则依据数学归纳法，综合所述，对一切都有的充要条件是或。（方法二）由得于是或。因为所以全部的均大于0，因此与同号。依据数学归纳法，与同号。因此，对一切都有的充要条件是或。