2022年三角函数缩减 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载三角函数1、角的概念的推广 ：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2、象限角的概念 ：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3. 终边相同的角的表示 ：（1） 终边与终边相同 (的终边在终边所在射线上 )2()kkZ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. 例

2、：与角1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是，合弧度。（2）终边与终边共线 (的终边在终边所在直线上 ) ()kkZ. （3）终边与终边关于x轴对称2()kkZ. （4）终边与终边关于 y 轴对称2()kkZ. （5）终边与终边关于原点对称2()kkZ. （6）终边在x轴上的角可表示为：,kkZ；终边在 y 轴上的角可表示为：,2kkZ；终边在坐标轴上的角可表示为：,2kkZ. 例：的终边与6的终边关于直线xy对称，则_ 。4、与2的终边关系 ：由“两等分各象限、一二三四”确定. 例：若是第二象限角，则2是第_象限角5. 弧长公式 ：|lR，扇形面积公式：211|22SlRR，1 弧度(

3、1rad)57.3. 例：已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是1 弧度，求该扇形的面积。6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角， P( , )x y是的终边上的任意一点（ 异 于 原 点 ） ， 它 与 原 点 的 距 离 是220rxy， 那 么s i n, c o syxrr，tan,0yxx，cotxy(0)y，secrx0 x，csc0ryy。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。（1）已知角的终边经过点 P(5，12)，则cossin的值为。（2）设是第三、四象限角，mm432sin，则m的取值范围是 _ 7. 三角函数线的特征 是：正弦线 MP

4、 “站在x轴上( 起点在x轴上) ” 、余弦线 OM “躺在x轴上(起点是原点 ) ” 、正切线 AT “站在点(1,0)A处( 起点是 A)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如（1）若08，则sin,cos,tan的大小关系为 _ （2）函数)3sin2lg(cos21xxy的定义域是 _ y T A x B S O M P 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载8. 特

5、殊角的三角函数值 ：3045600901802701575sin2122230 1 0 1 624624cos2322211 0 1 0 624624tan331 30 0 2-32+3cot31 330 0 2+32-39. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc（2）倒数关系： sincsc=1,cossec =1,tancot=1, （3）商数关系：sincostan,cotcossin同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值

6、，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。 如（1）若220 x，则使xx2cos2sin12成立的x的取值范围是 _ （2）已知53sinmm，)2(524cosmm，则 tan_ （3）已知a200sin，则160tan等于A、21aaB、21aaC、aa21D、aa21（4）已知xxf3cos)(cos，则)30(sinf的值为 _ 10. 三角函数诱导公式（2k）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指 k 取奇数或偶数） ，符号看象限（看原函数，同时可

7、把看成是锐角） . 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤： （1）负角变正角，再写成2k+,02；(2)转化为锐角三角函数。 如（1）97costan()sin 2146的值为 _ （2）已知54)540sin(，则)270cos(_，若为第二象限角，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载)180tan()360cos()180sin(2_。11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公

8、式：sinsincoscossinsin22sincos令2222222coscoscossinsincos2cossin2cos112sintantan1+cos2tancos1tantan21cos2sin22 tantan21tan令如（1）下列各式中，值为12的是A、1515sincosB、221212cossinC、222 5122 5tan.tan.D、1302cos（2）已知35sin()coscos()sin，那么2cos的值为 _ （3）131080sinsin的值是_ 12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系， 注

9、意角的一些常用变式， 角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦” ；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、 已知角与目标角的变换、 角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换 . 如()()，2()()，2()()，22，222等） ，例： （1）已知2tan()5，1tan()44，那么tan()4的值是 _ （2）已知 02，且129cos()，223sin()，求cos ()的值(2) 三角函数名互化 (切割化弦 )，例： （1）求值sin50 (13 tan10 )（2）已知sincos21,tan()1cos23，求ta

10、n(2 )的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(3) 公式变形使用 （tantantan1tantan。例： （1） 已知 A、 B 为锐角，且满足 tantantantan1ABAB， 则c o s ()AB_ (2) 设ABC中，33tan Atan Btan Atan B，34sin Acos A，则此三角形是_三角形(4) 三角函数次数的降升 ( 降幂公式：21cos2cos2，21co

11、s2sin2与升幂公式：21cos22cos，21cos22sin) 。例：(1) 若32(,)，化简111122222cos为_ （2）函数255 3f (x )sinxcos xcos x532( xR)的单调递增区间为 _ (5) 式子结构的转化 (对角、函数名、式子结构化同) 。如例：求证：21tan1sin212sin1tan22；(6) 常值变换主要指“ 1”的变换 （221sincosxx22sectantancotxxxxtansin42等） ，例：已知 tan2，求22sinsincos3cos(7) 正余弦“ sincos sin cosxxxx、”的内存联系“知一求二”

12、，例： （1）若 sincosxxt ，则 sincosxx_ （2）若1(0,),sincos2，求 tan的值。13、辅助角公式中辅助角的确定：22sincossinaxbxabx(其中角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由tanba确定)在求最值、化简时起着重要作用。例： （1）若方程sin3 cosxxc有实数解，则c的取值范围是 _. （2）当函数23ycos xsin x取得最大值时， tan x的值是 _ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，

13、共 9 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sinyx和余弦函数cosyx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,222的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。15、正弦函数sin ()yx xR、余弦函数cos ()yx xR的性质 ：（1）定义域 ：都是 R。（2）值域 ：都是1,1 ，对sinyx，当22xkkZ时， y 取最大值1；当322xkkZ时， y 取最小值 1；对cosyx，当2xkkZ时， y 取最大值1，当2xkkZ 时， y 取最小值 1。例： （1）若函数

14、sin(3)6yabx的最大值为23，最小值为21，则a_， b（2）函数xxxfcos3sin)(（2,2x）的值域是 _ （3）若2，则6ycossin的最大值和最小值分别是 _ 、_ （4）函数2( )2cos sin()3sin3f xxxxsincosxx的最小值是 _，此时x_ （3）周期性 ：sinyx、cosyx的最小正周期都是2；( )sin()f xAx和( )cos()f xAx的最小正周期都是2|T。例： 若3sin)(xxf，则(1)(2)(3)(2003)ffff_ （4）奇偶性与对称性 ：正弦函数sin()yx xR是奇函数，对称中心是,0kkZ ，对称 轴 是

15、直线2xkkZ ； 余弦 函数cos ()yx xR是 偶 函 数 ， 对称 中心 是,02kkZ，对称轴是直线 xkkZ （正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。例： （1）函数522ysinx的奇偶性是 _、（2）函 数)c o s( s inc os2xxxy的图 象 的 对称 中心 和对 称轴 分 别 是 _、_ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习好

16、资料欢迎下载（3）已知3f( x )sin( x)cos( x)为偶函数，求的值。（ 5 ） 单 调 性 ：sin2,222yxkkkZ在上 单 调 递 增 ， 在32,222kkkZ单调递减；cosyx在 2,2kkkZ 上单调递减，在2,22kkkZ 上单调递增。16、形如sin()yAx的函数：（1）几个物理量 ：A振幅；1fT频率（周期的倒数）；x相位；初相；（2）函数sin()yAx表达式的确定 ：A 由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定。例：( )sin()(0,0f xAxA，|)2的图象如图所示，则( )f x_；（3）函数sin()yAx图象的画法 ：“五点法”设Xx

17、，令 X 0，3,222求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数sin()yAxk的图象与sinyx图象间的关系 ：函数sinyx的图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0）平移|个单位得sinyx的图象； 函 数sinyx图 象 的 纵 坐 标不 变， 横 坐标 变 为 原 来的1，得 到 函 数sinyx的图象；函数sinyx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数sin()yAx的图象；函数sin()yAx图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k）或向下（0k） ，得到sinyAxk的图象。要 特别注意 ，若由sinyx 得到

18、sinyx的图象，则向左或向右平移应平移|个单位，例： （1）函数2sin(2)14yx的图象经过怎样的变换才能得到sinyx的图象？(2) 要得到函数cos()24xy的图象，只需把函数sin2xy的图象向 _平移_个单位23题 图29YX-223名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（3） 将函数72sin(2)13yx图像，按向量a平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求

19、出a；若不唯一，求出模最小的向量（5）研究函数sin()yAx性质的方法：类比于研究sinyx的性质 ，只需将sin()yAx中的x看成sinyx中的x， 但在求sin()yAx的单调区间时，要特别注意 A和的符号，通过诱导公式先将化正。例： （1）函数23ysin(x)的递减区间是 _ （2）1234xylog cos()的递减区间是 _ （3）设函数)22, 0, 0)(sin()(AxAxf的图象关于直线32x对称，它的周期是，则A、)21,0()(的图象过点xfB、( )f x在区间52,123上是减函数C、)0,125()(是的图象的一个对称中心xfD、( )f x的最大值是 A （

20、4）对于函数2sin23fxx给出下列结论：图象关于原点成中心对称；图象关于直线12x成轴对称；图象可由函数2sin 2yx的图像向左平移3个单位得到；图像向左平移12个单位，即得到函数2cos 2yx的图像。其中正确结论是 _ 17、正切函数tanyx的图象和性质 ：（1）定义域：|,2x xkkZ。遇到有关正切函数问题时，注意:正切函数的定义域 . （2）值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线 ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

21、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变 既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值， 其周期性不变， 其它不定。 如xyxysin,sin2的周期都是, 但sinyxcosx 的周期为2， 而1| 2 s i n ( 3)| ,| 2 s i n ( 3) 2 |626yxyx，| tan|yx的周期不变；（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02kkZ ，特别提醒 ：正 (余)切型函数的对称中心

22、有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。（5）单调性：正切函数在开区间,22kkkZ内都是增函数。但 要注意在整个定义域上不具有单调性。18. 三角形中的有关公式 ：(1) 内角和定理 ：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和 与第三个角总互补， 任意两半角和 与第三个角的半角总互余 . 锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方. (2) 正弦定理 ：2sinsinsinabcRABC( R 为三角形外接圆的半径). 注意：正弦定理的一些变式

23、：sinsinsini a b cABC ；sin,sin,sin22abiiABCRR2cR；2sin,2 sin,2siniiiaRA bRB bRC；(3) 余弦定理 ：2222222cos ,cos2bcaabcbcAAbc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状 . (4) 面积公式 ：111sin()222aSahabCr abc（其中r为三角形内切圆半径） .如ABC 中，若CBABA22222sinsincoscossin，判断ABC 的形状（答：直角三角形） 。特别提醒 ： （1）求解三角形中的问题时，一定要注意ABC这个特殊性：,sin()sin,sincos22ABCABCAB

24、C； （2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。例： （1）ABC 中，A、B 的对边分别是 ab、 ，且A=6064, a, b，那么满足条件的ABCA、 有一个解B、有两个解C、无解D、不能确定（2）在ABC中，AB 是 sin AsinB 成立的 _条件(3)在ABC中 ，a , b , 分 别 是 角A 、 B 、 C所 对 的 边 ， 若( abc )(sin Asin B3sinC )a sinB，则C _ （4）在ABC中，601A, b，这个三角形的面积为3，则ABC 外接圆的直径是_ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

25、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（5）在ABC 中 AB=1，BC=2，则角 C 的取值范围是19. 反三角函数 ： （1）反三角函数的定义 （以反正弦函数为例）：arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a,且这个角在,22内( 11)a。(2) 反正弦 arcsin x 、反余弦arccosx、反正切 arctanx 的取值范围分别是)2,2(, 0,2,2.在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、

26、1l到2l的角、1l与2l的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？(0,0,0,22，,0，0,),0,),0,220、求角的方法 ：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如（1）若,(0,)，且 tan、tan是方程2560 xx的两根，则求的值_ （2）ABC中，3sin4cos6,4sin3cos1ABBA，则C _ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -