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1、1 高中数学必修一第一章集合与函数概念专题集合的综合性问题一、专题指导【考点分析】集合是高中数学中的基本概念之一，也是历届高考的必考点。 考查重点是集合与集合之间的关系， 近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力， 在解决这些问题时， 要注意利用几何的直观性，注意运用文氏图解题方法的训练， 注意利用特殊值法解题， 加强集合表示方法的转换和化简的训练 . 【知识要点】1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为；空集是任何集合的子集，记为?；空集是任何非空集合的真子集；已知集合 S 中 A的补集是一个有限集， 则集
2、合 A也是有限集 .（） （例：S=N ；A=x|x 0，则 CsA= 0 ）5空集的补集是全集 . 6若集合 A=集合 B，则 CBA =?， CAB =?3. （x，y）|xy =0 ，xR ，yR坐标轴上的点集 . （x，y）|xy 0，xR ，yR二、四象限的点集 . （x，y）|xy 0，xR ，yR 一、三象限的点集 . 注 ：对方程组解的集合应是点集. 例：解的集合 (2 ，1). 点集与数集的交集是 . （例： A =(x ，y)| y =x+1 B=y|y =x2+1 则 AB =）4. n 个元素的子集有 2n 个. n 个元素的真子集有2n 1 个. n 个元素的非空真子
3、集有2n2 个. 【例题解析】高考试题中的集合问题主要集中在以下五种常见的类型：一基本型这类题型主要考查集合的基本概念和基本运算，常用的解法有定义法、 列举法、性质法、韦恩图法及语言转换法等；【例 1】( 2006 年重庆卷 )已知集合 U=1,2,3,4,5,6,7, A=2,4,5,7,B=3,4,5, 则(uA) (uB)= ( ) (A)1,6 (B)4,5 (C)1,2,3,4,5,7 (D)1,2,3,6,7 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4
4、 页 - - - - - - - - - 2 解析：因为U=1,2,3,4,5,6,7， uA表示全集 U中， A的补集。则 uA=1，3，6 ，uB=1，2，6，7 ；所以(uA) (uB)= 1 ，2，3，6，7 ，答案为 D. 【例 2】定义集合运算： AB=z|z= xy(x+y)，xA，yB，设集合 A=0，1，B=2，3，则集合 AB的所有元素之和为（）（A）0 （B）6 （C ）12 （D）18 解析：本题为新定义集合问题，需按AB=z|z= xy(x+y)，xA，yB来求出集合 AB的所有元素，而集合 A= 0， 1 ， B= 2， 3 ， 求得 AB= 0,6,12 ，因此集
5、合 AB的所有元素之和为18，答案为 D 。二综合型这类题型主要将集合与不等式、三角函数、 解析几何等知识结合， 形成多个知识点的综合问题。解决这类题目的关键在于灵活运用相关的知识。【例 3】（2006 年上海卷）若空间中有四个点，则 这四个点中有三点在同一直线上 是 这四个点在同一平面上 的（）（A）充分非必要条件；（ B）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D）非充分非必要条件解析：充分性成立： 这四个点中有三点在同一直线上有两种情况：1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出这四个点在同一平面上 ；2）第四点不再共线三点所在的直线上，可推出 这四个点在唯一的一个平面内 ；必要性不成立： 这
6、四个点在同一平面上 可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”。因此答案为A。【例 4】（2006 年全国卷 II ）已知集合 M x|x 3，Nx| log2x1，则 M N ( ) （A）x|x 0（B）x|0 x3（C）x|1 x3（D ）x|2 x3解析：因为 log22=1，由 log2x1 解得 X2，所以 Nx| x2，则 M Nx|2 x3，因此答案为 D。三计数型这类题型是指以集合为背景，求子集的个数、 集合中元素的个数等。 常用的方法有公式法、图表法等。【例 5】（2006 年辽宁卷）设集合1,2A=, AB=1,2,3 ，则满足的集合 B的个数是（）(A)1 (B)3 (
7、C)4 (D)8 解析：1,2A=, AB=1,2,3 ，则集合 B中必含有元素 3，即此题可转化为求集合1, 2A=的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有 22=4 个。故选择答案 C。【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想。【例 6】（2002 北京，1）满足条件 M 1=1 ，2，3的集合 M的个数是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3 A.4 B.3 C.2 D.
8、1 解析：满足条件的集合M有2,3 ，1,2,3，因此答案为 C。四逆向型逆向型是指已知集合的运算结果，写出集合运算的可能表达式， 这类题型往往具有一定的开放性。【例 7】（2003 京春理， 11）若不等式 |ax+2|6 的解集为（ 1，2），则实数 a等于（）A.8 B.2 C.4 D.8 【评述】本题主要考查绝对值不等式的解法，方程的根与不等式解集的关系，考查了分类讨论的数学思想方法及逻辑思维能力，此题也可以利用选项的值代入原不等式，去寻找满足题设条件的a 的值. 解析： | ax+2|6， 6ax+26，8ax0时，有axa48，而已知原不等式的解集为（1，2），所以有：1824aa
9、. 此方程无解（舍去） . 当 a0时，有axa48，所以有1428aa解得 a=4，当 a=0时，原不等式的解集为R，与题设不符（舍去），故a=4. 答案为 C 。【例 8】（2003上海春，5）已知集合 A=x|x|2，xR，B=x|x a，且 AB ，则实数 a 的取值范围是 _. 【评述】本题主要考查集合的概念和集合的关系. 解析： A=x| 2x2，B=x| xa ，又 AB，利用数轴上覆盖关系：如图8 所示，因此有 a2。五运用型这种题型是指从表面上来看不一定是考查集合知识，但若灵活运用集合的有关知识，则能突破解题的难点，优化解题思路，甚至避免分类讨论。【例 9】（2006 年辽宁
10、卷）设 + 是 R上的一个运算 ,A 是 R的非空子集 , 若对任意,a bA有a +bA, 则称 A对运算 +封闭, 下列数集对加法、减法、乘法和除法( 除数不等于零 ) 四则运算都封闭的是（）(A) 自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集图 8名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 4 解析：A中 121不是自然数， 即自然数集不满足条件； B中 120.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件； D中222不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C。【评述】本题考查了阅读和理解能力， 同时考查了做选择题的一般技巧排除法。以上的这五种类型是最近几年高考考查的型式，对于艺术生的备考而言， 好好地理解并掌握这五种类型，是在高考中立于不败之地的关键。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -