2022年2022年集合中常见的几类问题 .pdf-淘文阁

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1、. . 集合中常见的几类问题题型 1：元素的互异性常见出错点：求出参数范围忘记带回检验，导致增根1、已知 A=a+2，（a+1）2，a2+3a+3且 1A，求实数 a 的值；2、已知 M=2，a，b，N=2a，2，b2 且 M=N ，求 a，b 的值. 集合元素的“三性”及其应用3、设2x（2） 1，R ，求中所有元素之和已知集合 ,2 Aa ab ab，2 ,Ba ac ac，若 AB ，求c的值4、已知集合A2， 3,2a+4a+2， B 0,7, 2a+4a-2,2-a ，且 AB=3,7,求a值题型 2、有限集之间的关系用韦恩图 1 、全集 U=x|x10 ，xN ，AU，BU，

2、且（CUB）A=1,9 ，AB=3，（CUA)(CUB)=4,6,7，求 A、B。题型 3：证明、判断两集合的关系1、设集合|32,Aa annZ，集合|31,Bb bkkZ ，试判断集合 A、B 的关系。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - . . 题型 4、无限集之间的关系用数轴2、集合 A=x|x-3|a，a0，B=x|x2-3x+20，且 BA，则实数 a 的取值范围是 . 搞不清楚是否能取得边界值：例题 3

3、、A=x|x10，B=x|x1m且 BA，求 m的范围 . 题型 5、集合之间的关系（在方程、不等式中的考查）常见出错点：1、集合的关系判断中遗忘空集的情况2、集合所表示的是点集还是数集（点集多从图形的角度去考虑）3、集合中所涉及到的方程或不等式最高次数如果是字母要讨论0 的情况1、设集合0232xxxA，0)5() 1(222axaxxB（1）若2BA，求实数a的值；（2）若ABA，求实数a的取值范围若2BA。2、集合|10Ax ax,2|320Bx xx, 且ABB, 求实数a的值. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

5、 A中只有一个元素，求m的值；（3）若 A中含有两个元素，求m的取值范围 . 题型六：补集思想的应用例 1 已知集合 A=y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)0,B=y|y2-6y+80，若 AB，求实数 a 的取值范围。例 2、若下列三个方程： x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围。二、集合中的创新题考查1、新运算问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10

6、页 - - - - - - - - - . . 例 1定义集合 A与 B的运算： AB x| xA，或 xB，且 xAB，已知集合 A1，2，3，4，B3 ，4，5，6，7，则(AB) B为( ) (A) 1 ，2，3，4，5，6，7 (B) 1，2，3，4 (C) 1 ，2 (D) 3，4，5，6，7 例 2 M ，P是两非空集合，定义M与 P的差集为 M P x| xM且 xP ，则 M ( M P)=（）(A) P (B) M P (C) M P (D) M2、元素或集合的个数问题例 3 设 P3，4，5，Q 4，5，6，7，定义 PQ ( a，b)| aP，bQ ，则 PQ中元素的个

7、数为 ( ) (A) 3 (B) 4 (C) 7 (D) 12 例 4 设 M ， P是两个非空集合，定义 M与 P的差集为 M P x| xM且 xP 已知 A1，3，5，7，B2，3，5 ，则集合 AB的子集个数为 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 3、理想配集问题例 5 设 I 1 ，2，3，4，A与 B是 I 的子集，若 AB1，3 ，则称（ A、B）为一个“理想配集”那么符合此条件的“理想配集”的个数是（规定（ A、B）与（B、A）是两个不同的“理想配集” ）( )A4 B8 C 9 D16 4、元素的和问题例 6定义集合 A，B的一种运算： A*B x|

8、xx1x2，其中 x1A，x2B ，若 A1 ，2，3 ，B1 ，2 ，则 A*B中的所有元素之和为 ( )(A) 9 (B) 14 (C) 18 (D) 21 5、集合的分拆问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - . . 例 7 若集合A1、A2满足A1A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当 A1=A2时，（A1， A2）与（A2， A1）为集合 A的同一种分拆，则集合 A=a1,

9、 a2, a3A.27 B.26 C.9 D.8 6、集合长度问题例 8 设数集 M x| m xm 34 ， N x| n31xn ，且 M 、 N都是集合 x|0 x1 的子集，如果把 ba 叫做集合 x| axb的“长度” ，那么集合 MN的“长度”的最小值是 ( ) (A)31 (B) 23 (C) 112 (D)5127、集合组成的数集例 9 设 S为复数集 C的非空子集 . 若对任意x,yS，都有xy,xy,xyS，则称 S为封闭集。下列命题：集合 Sabi | a,b 为整数， i 为虚数单位为封闭集；若 S为封闭集，则一定有 0S；封闭集一定是无限集；若 S为封闭集，则满足

10、 STC 的任意集合 T 也是封闭集 . 其中真命题是（写出所有真命题的序号）1设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果1kA，且1kA，那么称k是A的一个“孤立元”给定12345678S，，，，，，，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个62 对于各数互不相等的正数数组12,ni ii（n是不小于2的正整数），如果在pq时有pqii，则称“pi与qi”是该数组的一个“顺序” ，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”例如，数组2,4,3,1中有顺序“2, 4” ， “2, 3” ，其“顺序数”等于2若各数互不相等的正数数组12345,a aa

11、aa的“顺序数”是4，则54321, ,a a a a a的“顺序数”是63对于任意两个正整数，定义运算（用表示运算符号）：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - . . 当m，n都是正偶数或都是正奇数时，mnmn，例如46461, 3737；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mnmn，例如34341 2在上述定义中，集合*|12MabababN，

12、，的元素有个15 4设集合 0 1 2 3 4 5,SAAAAAA，在 S 上定义运算“”为：ijkAAA，其中k为ij被 4 除的余数，,0,1,2,3,4,5i j则满足关系式20()xxAA的 ()xxS的个数有个3 5实数集R中定义一种运算“ *” ，具有性质：对任意, *a bR abba；对任意, *0aR aa；对任意, ,(*)*()( *)( *)2a b cRabccabacbcc；则0*226给定集合1,2,3,., nAn，*nN若f是nnAA的映射，且满足：任取,ni jA若ij，则( )( )f ifj；任取,nmA若2m，则有m(1),(2),.,()

13、fff m则称映射f为nnAA的一个“优映射”例如：用表 1 表示的映射f：33AA是一个“优映射” 已知f：44AA是一个“优映射”，请把表2 补充完整（只需填出一个满足条件的映射）i1 2 3 4 或i1 2 3 4 ( )f i2 3 1 4 ( )f i2 3 4 1 7定义映射fAB，其中|AmnmnR，BR已知对所有的有序正整数对mn，满足下述条件：11fm，；若mn，0fmn，；1,1f mnn fm nf m n则3, 2f的值是；6 8已知(1,1)1f，(,)*f m nN（m、*)nN，且对任意m、*nN都有：(,1)(,)2f m nf m n；(1,1)2(,1)f

14、 mf m给出以下三个结论：（1）(1,5)9f；（2）(5,1)16f；（3）(5, 6)26f其中正确的个数为（ A ）（A）3（B）2（C）1（D ）09下图展示了一个由区间01，到实数集R的映射过程：区间01，中的实数m对应数轴上的点M，如图 1；表 1 i1 2 3 ( )f i2 3 1 表 2 i1 2 3 4 ( )f i3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - . . 将线段AB围成一个圆，使

15、两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为01，如图 3图 3 中直线AM与x轴交于点0N n，则m的象就是n，记作fmn 方程0fx的解是x；12 下列说法中正确命题的序号是（填出所有正确命题的序号）114f；fx是奇函数； fx在定义域上单调递增；fx的图象关于点1,02对称10若集合 A具有以下性质：A0，A1；若Ayx,，则Ayx，且0 x时，Ax1则称集合 A 是“好集” 分别判断集合1,0,1B =-，有理数集 Q 是否是“好集” ，并说明理由11若集合12,(2)kAa aakL，其中(1, 2,)iaikZL，由 A中的元

16、素构成两个相应的集合：( , ),Sa b aA bA abA ，( , ),Ta b aA bA abA 其中( , )a b是有序数对若对于任意的aA，总有aA，则称集合 A具有性质 P 检验集合01 2 3，，与12 3，，是否具有性质 P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合 S和 T 12已知数集12,nAa aa（121naaa，2n）具有性质 P ：对任意的 i 、 j(1)ijn，ija a与jiaa两数中至少有一个属于A分别判断数集1,3,4 与 1,2,3,6是否具有性质 P ，并说明理由课后练习1、定义集合运算：|,A Bz zxy xA yB 设1,2 ,0,

17、2AB，则集AOMBA(B)yxNM图 1图 2图 3MAm01名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - . . 合 AB的所有元素之和为（）A0； B2； C3； D6 2 定义集合运算 :ByxxyyxBA,zA22, 设集合1,0A,3 ,2B,则集合BA的所有元素之和为3设集合RTSaxaxTxxS,8|,32|，则a的取值范围是（）A13a； B13aC 3a或1a； D3a或1a4已知全集 UR，集合212M

19、合 A=x|mx2-2x+3=0，m R .（1）若 A是空集，求 m2）若 A中只有一个元素，求m名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - . . （3）若 A中至多只有一个元素，求m的取值范围 .1 设 S,T, 是 R 的两个非空子集 , 如果存在一个从S 到 T 的函数( )yf x满足:( )( )|;()i Tf xxSii对任意12,x xS 当12xx 时, 恒有12()()f xf x, 那么称这两个

21、M 中的元素个数为 ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 5设整数4n, 集合1,2,3,Xn . 令集合, ,| , ,Sx y zx y zXxyz yzx zxy且三条件恰有一个成立,若, ,x y z 和,z w x 都在 S中, 则下列选项正确的是 ( ) A . , ,y z wS, ,x y wS B., ,y z wS, ,x y wSC., ,y z wS, ,x y wS D., ,y z wS, ,x y wS6 （2013年重庆数学（理））对正整数n,记名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - . . 1,2,3,mIn ,mmmmPmIkIk. (1) 求集合7P中元素的个数 ; (2) 若mP的子集 A中任意两个元素之和不是整数的平方 , 则称 A为“稀疏集”.求n的最大值 , 使mP能分成两人上不相交的稀疏集的并. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -

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