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1、静心研究准确把握科学备考（之四）2010 年高考新课程代数内容复习漫谈四、训练落实，切忌走过场、搞形式世界上最伟大的事业，都是一点一滴完成的. 苏格兰社会改革家托马斯格恩1巧用函数中 “ 三个二次 ” 题型解题新课程的代数知识结构的新特点是体现在以函数思想为主线的代数体系，淡化了代数运算与变形技巧，注重函数数学思想方法的渗透，注重函数方法的应用意识的培养。二次函数、二次方程与二次不等式这三者之间有着不可分割的天然关系，它们不但是沟通低次与高次函数、方程、不等式的纽带与桥梁，更重要的是解决函数零点分布、不等式恒成立、函数不等式等问题的必不可少的工具可想而知，虽然高考中直接考查“ 三个二次 ” 的
2、内容份量不重，但是与它相关的内容恰有较大的比重。因此在高考复习中，搞好“ 三个二次 ” 的复习，是落实数学双基、确保数学高考成功的关键环节。分析历年的高考试卷，关于“ 三个二次 ” 的内容的考点归纳起来主要有以下方面。（1）直接考查二次函数的最值、图像问题；（2）直接考查二次方程的根的分布问题，构成变量的线性不等关系，与目标函数的最优解交汇；（3）直接考查含参数的二次不等式的解的问题；（4）与不等式恒成立相关的二次函数的最值问题；（5）把 “ 三个二次 ” 作为解题工具的综合性问题，如导函数为二次函数的高次函数的综合问题等。新课程的数学高考命题注重函数思想的能力立意，以二次函数为基点的命题思维
3、形式应值得关注，根据新课程的特点，命题的趋势主要会表现在：以二次函数的性质、图像、最值、二次不等式的解的形式为知识点的选择、填空的小题；以二次方程的根分布为背景的变量范围问题、体现规划思想的小题；含参变量的不等式恒成立的问题；以二次函数在指定范围的最值、二次不等式、二次方程的根为基点设计综合性的大题，可以与任何组快知识交汇，尤其是解析几何的最值问题。例 1已知关于x的不等式()()axax224210的解集是空集，求实数a的取值范围。例 2设2( )32f xaxbxc，若0,(0)0,(1)0abcff，求证：（1）0a且21ba；（2）方程( )0f x在（ 0，1）内有两个实根。例 3若
4、12,x x是关于方程2102xaxa的两个实数根（ 1）求实数a的取值集合A；（ 2）试问：是否存在实数m，使得不等式212214 2633mtmxxxx对任意aA及1,1t恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。例 4已知二次函数)0,(1)(2aRbabxaxxf，设方程xxf)(的两个实数根为1x和2x。(1)如果4221xx，设函数)(xf的对称轴为0 xx，求证：10 x；(2)如果21x，212xx，求b的取值范围。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
5、 - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 2妙用导数解决一些实际应用问题导数是高考的重要考点之一，包括导数的概念及几何意义、基本初等函数的导数、简单的复合函数的求导方法、常用导数运算公式和导数的应用等内容。利用导数求函数的单调区间、最值是近几年高考的必考点，也是难点。导数的引入拓展了高考数学命题范围，摆脱了对二次函数的依赖，使函数题型变得更加丰富多彩，高次函数、指数函数、对数函数等成为导数考查的重要载体，也是考查函数性质及数学思想方法、能力等重要载体。以后几年高考的导数题仍将突出导数的工具性、方法性的作用，在函数、数列、解析几何等主干知识的交汇处设计考题，承担命题创新的
6、要求和任务。导数的考查一般分3 个层次：第一层次主要考查导数的几何意义、求导公式和求导法则；第2 层次考查导函数的性质，如函数的最值、极值、单调性等；第3 层次考查以导数为工具灵活综合应用数学知识的能力，如证明不等式、解决实际应用问题等。在考查题型上，上述第一、二层次一般设置在选择填空题，第三层次放在解答题。例 1设函数( )bf xaxx，曲线( )yf x在点(2,(2)f处的切线方程为74120 xy。（ 1）求 f (x)的解析式；（ 2）求证：曲线( )yf x上任一点处的切线与直线0 x和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值。例 2 设函数xxxfcos2sin)(。(1)
7、 求)(xf的单调区间；(2) 如果对任何0 x，都有axxf)(，求 a 的取值范围。例 3 已知 a 是实数，函数f ( x)= x2( x- a) 。（ 1）若 f(1)=3, 求 a 的值及曲线)(xfy在点)1(, 1(f处的切线方程；（2）求)(xf在区间 0 ，2 上的最大值。例 4 已知函数1( )ln(1),(1)nf xaxx其中 nN*, a 为常数。（ 1）当 n=2 时，求函数f(x)的极值；（ 2）当 a=1 时，求证：对任意的正整数n,当 x2 时，有 f(x)x-1。3运用分类讨论思想解题透析分类讨论思想是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学思想，这种数学思想
8、对人的思维发展起着重要影响。它不但可以培养学生思维的条理性和概括性，而且有助于提高认识问题的全面性和深刻性、提高学生分析问题、解决问题的能力；落实到考试中还能体现“着重考查数学能力的要求”.因而分类讨论问题现已逐渐渗透到整个中学数学的每个章节，成为促进学生有效学习的热点问题和重点方法，由于这类问题综合性强，逻辑严密又富有探索性，自然也是学习和教学的难点。面对学生在解题中遇到需要分类讨论问题的种种现实，分类计论思想的教学必须注意破解三个主要问题，即“何时用？如何用？怎么巧用？”，并从更高层次要求寻求如何避免分类讨论，不断提高解题的水平和能力。分类讨论思想的学习应用，关键是要理解其精髓，即做到收放
9、自如的要求，既要会分类解之，又会避免分类合而解之。近年来，高考中每一道题几乎都考虑到数学思想方法的运用，同时也检验了数学知识，分类讨论思想的考查往往深透在各种类型的题目中，故对数学解题思想方法的研究就更显得有现实意义，分类讨论作为一种重要的数学思想更显其地位的显著. 预测在最近几年的高考中会有不俗的表现，其考查的落点可分布在选择、填空、解答之中，着力点可分散于小题中，也可集中体现于某一问题之间，因此不可小觑。例 1已知函数2( )2 sin2 3 sincosf xaxaxxb的定义域为 0,2，值域为 5,4.求a和b。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
10、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 例 2设kR，函数111( )11xxf xxx， ，( )( )F xf xkx，xR，试讨论函数( )F x的单调性。例 3某班有两个课外活动小组，其中第一个小组有足球票6 张，排球票4 张；第二小组有足球票4 张，排球票6 张.甲从第一小组的10 张票中任抽1 张，乙从第二小组的10 张票中任抽1 张。（1）两人都抽到足球票的概率是多少？（2）两人中至少有1 人抽到足球票的概率是多少？例 4随着机构改革的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有
11、职员2a 人（1402a420，且 a 为偶数)，每人每年可创利b 万元。据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1 人，则留岗职员每人每年多创利 0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的43，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？4函数与方程思想方法解题突破本专题的主要内容是函数思想、方程思想及其应用，函数的思想方法是用联系变化的观点，将给定的数学问题转化为函数关系，即将所研究的问题借助建立函数关系式或构造中间函数，通过研究函数的图像与性质，加以分析，得出所需的结论. 方程的思想方法， 就是设出未知数， 根据题中各量之
12、间的关系，列出等式， 沟通已知与未知的关系，从而解决问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点. 我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、立体几何与解析几何中的最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析和解决；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n 项和的公式，都可以看成n 的函数，数列问题也可以用函数方法解决。纵观近几年的高考试题，函数的主干知
13、识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一. 在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终比较大，近年还有进一步增加的趋势. 且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题. 函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、 题型多、 应用技巧多 . 在浙江省高中新课标数学中，增加了函数与方程这一节内容，可见其重要。在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式、讨论解的个数问题、数形结合解题等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：（1）解方程；（2）含参数方程讨论； （3）转化为对方程的研究，如直
14、线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；（ 4）构造方程求解。预测最近几年高考对本讲考查趋势：函数的零点问题、二次函数、二次方程、二次不等式间的关系；特别是方程根的个数与函数图象交点间的关系的讨论将会继续重点考查。例 1.设不等式2x 1m(x21) 对满足 |m| 2 的一切实数m的取值都成立 . 求 x 的取值范围。例 2. 设cba，且0cba，抛物线cbxaxy22被x轴截得的弦长为l，求证：323l. 例 3. 设 f(x)lg1243xxa，如果当x(- ,1 时 f(x) 有意义，求实数a 的取值范围。例 4. 已知不等式32)1(log12121.312111annn
15、na，对于一切大于1 的自然数n都成立，求实数a的取值范围。5数形结合思想方法解题刍议名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 数学思想是中学数学的灵魂，是数学知识在更高层次上的抽象概括与提炼，而数形结合作为重要的数学思想之一，则是出奇制胜解决数学问题的法宝.其实质就是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，让代数问题几何化，
16、几何问题代数化，从而使数学问题化难为易、化繁为简.诚如华罗庚先生所言：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。数形结合大体涉及“ 以形助数 ” 和 “ 以数辅形 ” 两个方面：（1）借助形的生动和直观性来阐明或者揭示数学对象之间的联系，即以图形作为手段，数为目的，在处理诸如集合问题中实数与数轴上的点的对应关系、函数与图象的对应关系、曲线与方程的对应关系、样本的统计图表与总体特征数之间的联系、所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义、以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念诸如几何概型、统计初步、应用性问题的图示分析等领域的问题时广泛采用。（2）借助于数的精确和运算
17、的简洁明快将形的问题数字化解决，如解析法证明平面几何问题，用方程来研究曲线、用向量方法处理空间几何问题等。综观这些年来的高考数学试题，对数形结合思想的考察主要侧重在“以形助数”方面。在运用数形结合思想分析和解决问题时，应特别注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。例 1设21( )1xxf xxx， ，( )g x是二次函数，若( ( )f g x的值域是0，则( )g x的值域是（）A11，B10，C0，D1
18、，例 2.已知向量ba,是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足0)()(caca， 则c的最大值为（）A1 B2 C2D22例 3设定义域为R 的函数1, 01,1lg)(xxxxf，则关于x的方程0)()(2cxbfxf有 7 个不同实数解的充要条件是（）A0,0 cbB0,0 cbC0,0 cbD0,0 cb例 4已知1,0 aa，试求方程)(log)(log222axakxaa有解时实数k的取值范围。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -