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1、1 零件的参数设计的模型分析摘要本文以产品的成本和产品期望损失之和为目标函数，以标定值和容差为变量建立非线性优化模型。问题中产品的参数由7 个零件参数确定。零件参数由标定值和容差共同确定。零件的容差越小，产品参数y 偏离0y概率就越小，损失也就越小，但是成本变高。据此分析我们建立一个以损失和成本之和为目标函数的优化模型。我们通过模拟试验猜测题中零件的参数服从正态分布，其i和i分别是标定值和容差的三分之一。并采用2检验法进行了假设检验，确认其服从正态分布。在其基础上对经验公式进行简化处理，得到产品参数y 关于零件参数x 的线性函数：y=24.58961x-5.99112x+14.66753x-4
2、.02814x-1.15045x-0.05396x-1.15047x+3.4512y 是ix的线性组合，再次证明产品参数服从正态分布，进而可求出损失期望和目标函数。目标函数为： Min=成本+损失期望。通过对题中所给数据的求解得到目标函数值为307.7万元。在对模型的求解中，零件的标定值是连续的，采用迭代法搜索；容差是离散的，采用穷举法搜索。通过matlab求得最优解为： Min=40.12725 万元，此时x1=0.075，x2=0.225，x3=0.075，x4=0.075，x5=1.125，x6=18.0974，x7=0.8479。7 个零件选取的容差等级依次为 BBBCCBB。关键词：
3、零件参数正态分布迭代法穷举法一、问题提出一件产品由多个零件组成，标志产品性能的参数取决于这些零件的参数。每个零件的参数是独立的，零件的参数是标定值和容差。假设每个零件不存在容差，则这件产品的参数是一个定值，但是这个假设不符合实际情况。实际生产过程中，零件的参数总是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 2 出现在一个区间而不是一个点， 即实际值总是偏离标定值的。 当这些零件组装成产品时，产品的参数就不是一个定值，也将成
4、为一个取值区间。如果产品的参数偏离原先设计值过多（ y 偏离0y0.3）这个产品就报废，带来9000元的损失；如果偏离的不太多（y偏离0y0.1）这个产品就成为次品，带来1000 元的损失。产品的参数偏离设计值的多少是由多个零件参数的容差等级确定的。零件容差等级越高，产品参数的偏离值较小的概率就大，损失的费用也就越小，但是生产零件的成本就会变高。零件容差等级越低，产品参数的偏离值较大的概率就大，损失的费用也就愈大， 但是生产零件的成本会降低。 当批量生产时就会存在一个最优的零件容差等级组合，使期望成本与期望损失之和达到最小。本文就是要建立一个数学优化模型，来求解这个最优组合。二、基本假设1、假
5、设 1：7 个零件的参数标定值均服从正态分布，且彼此独立。2、假设 2：零件参数的容差为均方差的倍。3、假设 3：零件参数的目标值0y为 1.50 ，当 y 偏离 y00.1 时，产品为次品，质量损失为 1000 元；当 y 偏离 y00.3 时，产品为废品，损失为9000元。4、假设 4：产品的参数 y 只由七个零件标定值1x、2x、3x、4x、5x、6x、7x决定。三、符号说明ix零件参数的标定值y产品的参数y优化设计时产品的参数1C单个产品的成本（元）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
6、 - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 3 2C单个产品的损失费用（元）产品参数的期望值产品参数的均方差ijD第 i 个参数第 j 容差等级零件的成本， j=1,2,3.假定 C 等为 1，B 等为 2，A 等为 3 ijR第 j 等容差与第 i 个参数的标定值的相对值fy产品参数 y 的概率密度函数( )F y产品参数 y 偏离目标值的概率函数1p产品为合格品的概率2p产品为次品的概率3p产品为废品的概率ijT容差等级选择矩阵（用1 表示选择该容差，用0 表示不选择该矩阵。且每一行有且只有一个值为1）. 四、模型的分析建立与求解4.1 模型的数据分析4
7、.1.1 对产品参数 y 随机分布的研究我们通过 matlab 软件对原设计中零件的7 个参数分别随机选取了2 万个值，将其代入经验公式，得到 2 万个 y 的值。我们用 excel 对 y 的分布进行了数据分析（如表1） ，平均1.716065 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 4 表一并得到了 y 值分布的直方图（如图 1）随机y值分布直方图05001000150020002500300035001.41.4
8、61.521.581.641.71.761.821.881.9422.062.12y值频率频率图 1 根据直方图，我们不妨猜测y的随机分布函数服从正态分布。= x=1.7160，=S=0.1013。采用分布拟合检验的2检验法，根据如下的定理：标准误差0.010139 标准差0.101393 方差0.010281 最小值1.531051 最大值1.958957 置信度(95.0%) 0.020119 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - -
9、- - - - - 5 定理： 若n充分大（ n50）, 0H：总体 x的分布函数为( )F x，则当0H为真时（无论0H中的分布属何种分布） ，统计量总是近似地服从自由度为k-r-1的2分布；其中，r是被估计的参数个数。于是，若在假设0H下算得有22(1)kr其中221()kiiiifnpnp则在显著水平下拒绝0H，否则，就接受0H我们将 y值分成 26个组，用2检验法，代入，的估计值，得：2=12.3654 因为220.050.05(1)(261 1)36.415kr12.3654 所以，将 y的分布看成正态分布是可以接受的。4.1.2 经验公式的简化由于 y 关于ix的函数是非线性的，
10、由ix的均值求解 y 的均值，由ix的均方差求y的均方差都及其复杂，所以我们考虑通过多元函数的泰勒展开来实现，借助于matlab软件，我们得到了简化后的经验公式（程序见附录二），取常数项和一次项之后，结果如下：y =24.58961x-5.99112x+14.66753x-4.02814x-1.15045x-0.05396x-1.15047x+3.45124.1.3 原设计的总费用在原设计中，7 个零件参数的标定值分别为： x1=0.1， x2=0.3， x3=0.1， x4=0.1， x5=1.5，x6=16，x7=0.75；容差均取最便宜的等级。而容差通常规定为均方差的3倍，易求得()ix
11、3iijxR（其中ix为第 i 中零件参数的标定值，iR为第 i 中零件容差与标定名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 6 是的相对值） 。根据随机变量线性组合数学期望及标准差的性质：11()()nniiiiiiECXCE X，211()()nniiiiiiDCXCD X（iC为常数）得：( )y=1.7256，( )y0.1105 所以假定yN（1.7256，0.1105） ，则22()21( )2yf ye，(
12、)( )yF yfy dy由此可以得到：合格品的概率：1p =(1.6)(1.4)FF0.1262 次品的概率：2p =(1.8)(1.6)(1.4)(1.2)FFFF=0.6234 废品的概率：3p =0.2504 原设计中容差均采用最便宜的等级，于是单个零件的成本费用为： C1=25+20+20+50+50+10+25=200（元）而单个零件的损失费用 =1000次品的概率 +9000废品的概率，即： C2=1000*2p+9000*3p=2877（元）总费用： C=1000（C1+C2 ）=307.7（万元）4.2 模型的建立和求解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
13、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 7 4.2.1 模型的建立对于单个产品， 其费用由 y 偏离 y0造成的损失和零件成本两部分构成，不妨设定目标函数：min1000(12)CC其中1C 表示单个产品的成本，2C 表示单个产品的由y 偏离 y0造成的损失费用。由题意，成本费用由7 个零件参数所选择的容差等级决定，零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。所以成本费用可以表示为：73111ijijijCDT其中ijD表示第 i 个参数第 j 容差等级零件的
14、成本， j=1,2,3 （假定 C等为 1， B等为 2，A等为 3） ，根据题意，可以用矩阵的形式表示为：10000251000020501000020502005010050050100001000010251001000025100ijD（注：矩阵中所有等于10000 的值都表示没有设定该等级容差，并不代表成本费用）而ijT是关于容差等级的一个选择矩阵，用 1 表示选择该容差， 用 0 表示不选择该矩阵。且每一行有且只有一个值为1. 如：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
15、- 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 8 010100100100100100010ijT表示从 x1 到 x7 的容差等级分别为BCCCCCB. 对于单个产品的损失费用，有如下设定：当产品参数y 偏离 y00.1 时，产品为次品，质量损失为 1,000元；当 y 偏离 y00.3 时，产品为废品，损失为9,000元，由于其偏离值的随机性，我们只能采用求数学期望的办法。首先，我们将 7 个零件参数的标定值代入经验公式，得到y 的均值而()ix3iijxR，所以7221( )()3iijiixRyw，ijR表示第 j 等容差与第 i 个参数的标定值的相对值，iw表示简
16、化后经验公式中ix前面的系数。从而可以求到22()21()2yf ye，()()yF yf y dy由此，合格品的概率：1p =(1.6)(1.4)FF次品的概率：2p =(1.8)(1.6)(1.4)(1.2)FFFF废品的概率：3p =1-(1.8)F+(1.2)F23C210009000pp综上所述，我们建立如下的数学模型：min1000(12)CC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 9 1234567310
17、.0750.1250.2250.3750.0750.1250.0750.01251.1251.875.12200.56250.935011ijijjxxxxxstxxTT或4.2.2 模型的求解我们通过 matlab 软件编程，得到目标函数的最优解为min=40.12725 万元，比原设计减少了 267.57275 万元。此时的 x1=0.075，x2=0.225，x3=0.075，x4=0.075，x5=1.125，x6=18.0974，x7=0.8479。7 个零件选取的容差等级依次为BBBCCBB（程序见附录三）五、模型的评价与推广5.1 模型的评价 5.1.1 对于泰勒展开式的误差分析
18、我们将原设计中 7 个零件参数，代入原经验公式得到y=1.7256，而使用简化之后的经验公式得到y=1.72597，相对误差|*100%yyEy=0.021%，表明简化公式精确度很高。5.1.2 模型的优点1. 模型将原来复杂的经验公式简化为多元线性函数表达式，且误差极小，大大减少了计算的复杂度名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 10 2. 采用计算机模拟的方法，为前期确定y 随 x 的随机分布情况提供了依据，对结
19、果的验证也起到了很好的补充作用3. 模型准确的解决了y 偏离 y0造成的损失和零件成本的最小值，并提供了7 个参数标定值和容差的最佳选择5.1.3 模型的缺点1为了得到 7 个零件标定值的精确结果，势必将搜索步长减小，加大了算法的时间复杂度，使计算机运算时间更长。5.2 模型的推广该模型很好解决了优化零件参数设计对产品参数合格率的提高，可以广泛应用于生产和生活，从而提高生产效益。七、参考文献【1】许伯强等 , 大学物理实验，江苏大学出版社，2001年 2 月【2】上海交通大学数学系，概率论与数理统计，科学出版社，2007年 2 月【3】韩中庚，数学建模方法及其应用，高等教育出版社，2009年
20、6 月【4】盛骤，谢式千等，概率论与数理统计，高等教育出版社，1989年八、附录8.1 附录清单附录1：对经验公式做 20000次模拟的 matlab 程序附录 2：求解 y 关于ix的泰勒展开式的matlab程序附录 3：求解模型的 matlab 程序8.2 附录正文名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 11 附录1syms x1x2x3x4x5x6x7Y1=174.42*(x1/x5)*(x3/(x2-x1)0
21、.85);Y2=(1-2.62*(1-0.36*(x4/x2)-0.56)(3/2)*(x4/x2)1.16)/(x6*x7);Y= Y1*sqrt(Y2) mm=zeros(1,20000);for i=1:20000 g1=normrnd(0.1,0.05/3*0.1); g2=normrnd(0.3,0.1/3*0.3); g3=normrnd(0.1,0.1/3*0.1); g4=normrnd(0.1,0.1/3*0.1); g5=normrnd(1.5,0.1/3*1.5); g6=normrnd(16,0.1/3*16); g7=normrnd(0.75,0.05/3*0.75)
22、;m(i)=subs(Y,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7);end m xlswrite(mydata6.xls,m)附录 2. clcmaple(mtaylor(174.42*(x1/x5)*(x3/(x2-x1)0.85*sqrt(1-2.62*(1-0.36*(x4/x2)(-0.56)1.5*(x4/x2)1.16)/(x6*x7),x1=0,x2=0,x3=0,x4=0,x5=0,x6=0,x7=0,2) syms z0 x0 c0 v0 b0 n0 m0 maple(readlib(mtaylor); 附录 3. 主函数：Min=
23、90000; global H A C %全局变量H=10000,25,10000;20,50,10000;20,50,200;50,100,500;50,10000,10000;10,25,100;10000,25,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 12 100; %成本矩阵A=0.1 0.05 0.01;0.1 0.05 0.01;0.1 0.05 0.01;0.1 0.05 0.01;0.1 0.05 0
24、.01;0.1 0.05 0.01;0.1 0.05 0.01; %容差矩阵C=zeros(7,3); 把容差选择矩阵元素全部赋值为0 for z=1:1:3 for x=1:1:3 for c=1:1:3 for v=1:1:3 for g=1:1:3 for n=1:1:3 for m=1:1:3 D=z x c v g n m; C=zeros(7,3); for i=1:1:7 C(i,D(i)=1; end %产生 73 列矩阵，该矩阵特点是每一行只有一个 1 ，其它两个数为 0。本矩阵是为了对零件容差等级进行选择lb=0.075 0.225 0.075 0.075 1.125 12
25、 0.5625; ub=0.125 0.375 0.125 0.125 1.875 20 0.935; X0=0.075 0.225 0.075 0.075 1.125 12 0.5625; xopt fopt=fmincon(mubiao,X0,lb,ub,); if foptMin Min=fopt; XOPT=xopt; Q=C; end end end end 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 13 e
26、nd end end end 求 y 正态分布期望值的函数：function f=junzhi(X) f=3.4512+24.5896,-5.9911,14.6675,-4.0281,-1.1504,-0.0539,-1.1504*X; %把一组 X取值带入经验公式的简化式，得到期望值求 y 正态分布均方差的函数function f=junzhi2(X) f=(24.5896,-5.9911,14.6675,-4.0281,-1.1504,-0.0539,-1.1504.*X)/3; %得到一个行向量，为计算均方差做准备目标函数：function f=mubiao(X) global C A
27、H %全局变量 B=C.*A; E=(sum(B,2); G= junzhi2(X); F=(G.*E).2; b=(sum(F(:)0.5; %求解产品参数的均方差，b即是均方差a= junzhi(X); %求解产品参数的期望值p0=normcdf(1.6,a,b)-normcdf(1.4,a,b); %产品为合格品的概率p1=normcdf(1.8,a,b)-normcdf(1.6,a,b)+normcdf(1.4,a,b)-normcdf(1.2,a,b); %产品为次品的概率p2=1-p0-p1; %产品为废品的概率名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 14 sunshi=1000*p1+9000*p2; %产品的损失费用I=C.*H; %用容差选择矩阵选择容差等级chengben=sum(I(:); %零件的总成本f=chengben+sunshi; %目标函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -