《2022年2022年计数原理中的数列思想 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2022年计数原理中的数列思想 .pdf（3页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、EDCBAA D C B E .共n个扇形计数原理中的数列思想浙江省温岭中学数学组王玉龙摘要：本文采用数列方法来解决计数原理中的方法数问题，通过具体例证演示，化繁为简，探求解决一类问题的一般方法关键词：计数原理数列递推思想计数原理历来都是高中数学中的一个难点和热点，学生在学习中普遍感到一个问题就是对解题结果的不自信与不确定，其根本原因是在于考虑问题的过程中对于分类和分步的原则不清， 而导致容易出现重复和遗漏。笔者尝试从另一个角度来思考方法数问题，借助于数列知识来帮助我们解决这个问题，这样方法数问题可以明确的由数列的通项来求解. 问题一：扇形染色问题中的数列方法例 1：用 4 中不同的颜色给右图
2、中的五角星的五个顶点染色，要求每个顶点用一种颜色，每条线段上的两个顶点颜色不同，共有多少中不同的染色方案？分析： 实质上这个染色问题根据相邻情况，完全等价于下面的这个问题：已知扇形 ADBEC ，用 4 中颜色将每个扇形区域染一种颜色，要求有公共边的相邻区域颜色不同，共有多少种染色方案？常规方法当然可以解决，但是都要进行分类分步解决，下面举其中一种方法说明：从不相邻的AB,AE 入手考虑可以分成3 类，一、 AB 同色， AE 不同色 .共有 4 3 3 2=72 种方法二、 AE 同色， AB 不同色 .共有 4 3 3 2=72 种方法三、 ABE 都不同色，共有4 3 2 2 2=96
3、种方法故总计 72+72+96=240 种方法 . 但是，我们可以进一步思考，这道题目中的扇形区域只有5 个，我们可以按照上面的思路进行分析和求解，若将扇形区域扩展为6 个、 7 个、 8 个， ，n 个，这样的问题又如何解决？所以我们应该寻找一个这类问题的一般性的解法. 拓展：用4 中颜色给如下的n(n2) 个扇形区域染色，要求有公共边的相邻区域颜色不同，共有多少种染色方案？事实上我们不妨将扇形区域一次标为1，2，3，, n，我们依次来将它们一一染色。不妨我们设将n个扇形染好的方法数记为an. 则按乘法原理，第一个扇形染色有4 种方法，第二个扇形与第一个不同色，有3 种方法；第三个扇形与第二
4、个不同色，有3 种方法， ,依次类推，染完这n 个扇形共有4 3n-1种方法 .但是最后一个扇形与第一个扇形相邻，有可能和第一个扇形颜色相同，这样最后只相当于染了n-1 个扇形，也可能与第一个扇形不同，这样最后就染了n 个扇形 .故有222221111) 1(33.)1)(3(3,1213),3(3,34nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa所以故又的等比数列，是公比为则这样我们就获得了，无论染多少个扇形区域的一般方法. 问题二：走楼梯 -斐波拉契数列方法例 2：有一个楼梯一共有10 格台阶某人每步可上一格或两格，则此人走这个楼梯的方法共有多少种？分析： 此题的常规方法显然非常麻烦，
5、虽然数字不是很大，但是采用列举法无疑也是非常繁琐。下面我们直接给出利用数列知识解决这个问题的方法：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - A B 设走上第 n 个楼梯的方法数为an，nnnnnnaaaaaaa)251(5553)251(521051.10.89.2, 1101221公式阶递推关系，求出通项实质上我们可以利用二方法种即走完这个楼梯共有递推可以得到拉契数列如此就得到了一个斐波，且则拓展：假定有一排蜂房，形状如
6、图所示，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能向右方（右上或右下）爬行，从一个蜂房爬到另一个蜂房中去，若从最初位置A 爬到位置 B，则有多少种不同的爬法？分析： 此题完全类似于例2，可将蜂房从左向右依次编号也有nnnaaa12的规律，可得217a,即有 21 种不同的爬法 . 问题三：调换座位 贝努利装错信问题例 3：现有 4 位同学坐在自己的座位上，现欲调换他们的座位，即每个人都不能再坐在自己的座位上，有多少方法？分析： 这个问题当然可以一一的列举出所有调换座位的所有情况，一共 9 种。但是若调换的不是 4 个人的座位，而是5 个人， 6 个人， ，n 个人，那么方
7、法数又为多少呢？此问题的原模型实质是贝努力装错信问题。即 n 个人每人写一封信，每个人再拿回一封信，当然要求每个人不要再拿回自己写的那一封，则有多少种方法？此类问题，我们也可以通过递推数列的思想来进行求解. )!)1(! 31! 21! 111( !.21.9,2, 1, 0, 1,00112233221143210nnannnnnaCaCaCaCaCaCAaaaaaaannnnnnnnnnnnnnnnnnnn其通项公式实质上我们也可以求出个人调换座位的方法数出任意这样也同样可以递推求数没有人调换座位的方法个人调换座位的方法数有只个人调换座位的方法数只有个人的全排列个人调换座位的方法数即则有个
8、人座位的方法为设调换问题四：传球问题 纵向考虑的递推思想例 4.甲乙丙丁四个人进行传球游戏，持球人可以传给其他3 人中的任意一人，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5 次传球后，球仍回到甲手中的方法数为多少？分析：传球问题在很多很多的资料中都有出现，但是这类问题提供的参考答案方法无一例外的都是画出树杈图进行列举求解，笔者对此问题作了进一步的思考和拓展，若是更多的人，传更多次的球回到甲手中，比如传球10 次后回到甲的手中，其方法数难道也用列举法？显然太不现实。我们同样可以尝试利用递推数列的思想来进行推导和求解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
9、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - A B C D 60.4)1(33)1)(341(341)341(34131.3133,30.51111111121aaaaaaaannnaaannnnnnnnnnnnnnnn手中的方法数为所以五次传球后回到甲所以所以，所以因此，必有给甲。中，下一次传球必须传的手一人手中，不论球在谁球在乙丙丁三人中的某再传到甲的手中；二、次传球不可能则第况：一、球在甲手中，次传球后，球有两种情而第次的方法数为原理，传球种，按乘法有个传球对象，传球方法传球人都有事实上，每次传球中，
10、则的方法数为次传球后，球在甲手中设第问题五：几何问题 等差数列的应用例 5.已知 ABC 内有 1004 个点， 连同 A、B、C 三点一共1007 个点， 这些点中任意三个点都不共线，以这1007 个点作为顶点，可以组成多少个互不重叠（不覆盖）的三角形? 分析： 直接考虑 1007 个点比较困难，但是我们可以尝试着从三角形中多出1 个点、 2 个点等等有限的几个出发来探索一般性的规律。事实上我们可以记ABC 有 n 个点，构成符合题意200911004212) 1(22.2332,3,1004111annaaaanaannnn故故不失一般性的有个三角形了个三角形，这样就增加在的三角形一分为，
11、将所三角形的三个顶点连线角形中，这个点与这个个三角形中的某一个三已有的加的这个点一定会落在时，新增而当显然的三角形的个数记为这样我们就利用等差数列的知识解决了这道困难的排列组合问题。通过以上的几个问题，我们可以发现， 在困难复杂易错的计数原理的问题中，如果能够善于利用数列递推的思想来帮助我们思考问题，可以使得问题变得非常的简单明了直接。实际上这里也能启发我们对于高中知识的相关性的思考，数列和计数原理这两个都与自然数有关的问题， 它们的内部存在着诸多的联系，能用数列知识解决的方法数问题也绝不只有这几个问题。 “ 他山之石可以攻玉” ，我们应该在日常的教学中去探索更多的领域，当我们用单一的知识解题出现困难时，不妨考虑借助于其他相关知识帮助我们解决问题，能够真正做到对于高中数学的融会贯通。寻找和探求解决问题的一般性规律和方法，才是我们数学学习的本质。参考文献：高中数学奥林匹克竞赛教程，浙江教育出版社名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -