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1、概率与数理统计复习资料概率与数理统计复习资料一、单项选择一、单项选择1.设随机事件A与B互不相容，且P(A) 0,P(B) 0,则A.P(A) 1 P(B)C.P(AB) 1B.P(AB) P(A)P(B)D.P(AB) 12.设A，B为随机事件，P(A) 0,P(A| B) 1，则必有A.P(AB) P(A)D.P(AB) P(A)B.A BC.P(A) P(B)3.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为22A.241C2B.2C4C.2!A2434D.2!4!4.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是33113A.(
2、 )3B.( )2C.( )2444442123( )D.C4445.已知随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y 2X，则Y的概率密度fY(y)为A.2fx(2y)B.2 fx(y1y1y)C.fx()D.fx()22222x,a x b;6.如果函数f (x) 是某连续随机变量 X 的概率密度，则区间0,x a或x ba,b可以是A.(0,1)B.(0,2)C.(0, 2)D.(1,2)7.以下各函数中是随机变量分布函数的为A.F1(x) 11 x2, x x 0 0B.F2(x) xx 01 x341arctgx, x 2C.F3(x) ex, x D.F4(x) 18.设二维随机向量X,
3、Y的联合分布列为Y012X012则P(X 0) A.1121121122122121121122120212B.24C.1212D.5129.已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间1,3和2,4上服从均匀分布，则E(XY) A.3B.6C.10D.12,100，且1,事件A发生；10.设(x)为标准正态分布函数，Xii 1,2,0, 事件A不发生，100P(A) 0.8,X1, X2, X100相互独立。令Y Xi，则由中心极限定理知 Yi1的分布函数F(y)近似于y 80)C.(16y 80)D.(4y 80)411.设随机事件 A 与 B 互不相容，且有P(A)0，P(B)0，则以下
4、关系成立的是()A.A，B 相互独立B.A，B 不相互独立C.A，B 互为对立事件D.A，B 不互为对立事件12. 已知 P(A)=0.3，P(B)=0.5，P(AB)=0.6，则 P(AB)=().B.0.2CD. 113. 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则 f(x)一定满足A.(y)B.(A.0f(x)1B.D.f(+)=114. 从 0，1，9 十个数字中随机地有放回地接连抽取四个数字，则“8”至少出现一次的概率为()A.0. 1B.0.3439C. 0.4D.15. 设一批产品共有 1000 个， 其中有 50 个次品。 从中随机地有放回地抽取 500个产品，X 表示抽到次品
5、的个数，则 PX3()PX xf (t)dtXC.f (x)dx 12497C350C950500C1000A.497A350A950333497500A1000B.C.C500(0.05) (0.95)D.5001cosx,a x b,20,其它.16.设随机变量X 的概率密度为f(x)=则区间 (a,b)是().A.(0，2)B.(2,0)C.(，)D.(2，2)17. 已知随机变量 X 的分布列为X1-25p则 P-22=A. 0B.C18. 设二维随机向量X,Y的概率密度为 f(x,y)，则 PX1=A. 11dxf(x,y)dyB.1dxf(x,y)dyC.f(x,y)dxD.1f(
6、x,y)dx119设随机变量 XB30，6 ，则 EX()1A.65B.625C.6D. 520. 设随机变量 XB(100，0.1)，则方差 D(X)=().A. 10B. C. 9D. 3二、二、填空填空1.一口袋中装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这2只球恰为一红一黑的概率是.122.设P(A) ，P(B | A) ，则P(AB) .253.已知随机变量 X 的分布列为X12345P2aa则常数a .4.设随机变量XN(0,1)，(x)为其分布函数，则(x)(x) .35.已知连续型随机变量 X 的分布函数为1xx 0;3e ,1F(x) (x1),0 x 2;3x2.1,
7、设 X 的概率密度为f (x)，则当x 0, f (x) .6.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且P(X 1)P(X 1,Y 1)=11，P(Y 1)，则231x27.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)=f (x) e, x ，则2E(X 1).28. 设 随 机 变 量X与Y相 互 独 立 ， 且D(X) 1，D(Y) 2， 则D(X Y) .9.设样本的频数分布为X01频数13223142则样本方差s2.2N(,)，中未知，X1,X2,X10.设总体服从正态分布Xn为其样本。假2H :1H1:1，则采用的检验统计量为.0设假设检验问题为11.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5，P
8、(AB)=0.8，那么P(AB)=_,P(AB)=_.12. 进行 5 重贝努利试验，事件 A 在每次试验中发生的概率 P(A)=0.1，则在5 次试验中 A 恰发生 2 次的概率为_，A 至少发生 1 次的概率为_13.假设 1，2，3，4，5 号运发动随机排成一排，则1 号运发动站在正中间的概率为_.14. 设 X 为连续随机变量，c 为一个常数，则PXc_.15. 设 XN(5，4)，假设 d 满足 P(Xd)=(1)，则 d=_.16. 已知 X 服从两点分布，其分布列为X01，那么当0 x1 时，X 的分布函数的取值为 F(x)=_.4Pk17. 已知随机变量 X 的分布函数为 FX
9、(x),则随机变量 Y=3X+2 的分布函数FY(y)=_.18. 设随机变量 X 有密度 K(1 x),0 x 1,f(x)=则 K=_0,其它.三、三、证明题证明题1.设A、B为两个随机事件，0 P(B) 1，且P(A| B) P(A| B)，证明事件A与B相互独立。2. 设 A，B 为随机事件，PB0，证明：P(A|B)=1-P(A|B).四、计算题共四、计算题共 8 8 分分cx,0 x 1;1.设随机变量 X 的概率密度为f (x) 且E(X) 0.75， 求常数0,其它.c和.2. 设随机向量(X，Y)概率密度为 f(x,y)=(1)求边缘概率密度 fX(x),fY(y)五、综合题
10、五、综合题8xy,0 x 1,0 y x0,其他(2)求概率 PYX2ey,0 x y;1.设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)=f (x, y)0,其它.一、 求(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x), fY(y)；二、 判断X与Y是否相互独立，并说明理由；2设随机变量X1与X2相互独立，且X1N(,2)，X1N(,2)，令1D(X),D(Y);(2)X与Y的相关系数XY.X X1 X22，Y X1 X2.求：3. 加工某种零件，如生产情况正常，则次品率为3%，如生产情况不正常，则次品率为 20%，按以往经验，生产情况正常的概率为 80%，任取一只零件，求它是次品
11、的概率.已知所制成的一个零件是次品，求此时生产情况正常的概率.54. 设由取自正态总体XN(,0.92)，容量为9的样本，得样本的X 5，求未知参数的95%置信区间 u0.0251.96六应用题六应用题1已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量 X 服从正态分布，其方差为0.03， 在某段时间抽测了10炉铁水， 算得铁水含碳量的样本方差为0.0375.试问这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异？ (显2著性水平 0.05(.2,00.025(9) 19.023.975(9) 2.7)2. 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为
12、66.5 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 0.05 下， 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分？设H0: 70H1: 70答案一、单项选择11.D12.B16.D17.D二、填空2.13.C18.B14.B19.D15.C20.C1114. 15.ex6.7. 18. 39. 265310. (n-1)s2或(xi1ni x)211.1,0.212. 缺答案13. 缺答案14. 缺答案15.116.0.417.218. 3三、证明题共 8 分1.证法一：由题设及条件概率定义得P(AB)P(AB),P(B)P(B)又P(AB) P(A B) P(A) P(AB)，由以上二式可
13、得P(AB)=P(A)P(B)，故 A 与 B 相互独立。证法二：由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)=P(B) P(B)P(A|B)(由题设)=P(A|B)，6则 P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B),故 A 与 B 相互独立。2，证：右边=1P(A| B) 1P(AB)P(B)P(B) P(AB)P(AB) P(A| B)=左P(B)P(B)1四、计算题共 8 分1cx dx 1,01.解：由1可得1cxdx 0.75,0c1, 1解得 2,c 3.c 0.75, 22 解： fX(x) 8xydy 8xydy 4x30 x4x3fX(x) 00
14、 x 1其它0 y 1其它4y同理可得fY(x) 0 xx1XP(Y ) dx28xydy 8xdx2ydy0021 4xy | dx 081x220五、综合题本大题共两小题，每题 12 分，共 24 分1解： 1边缘概率密度为fx(x)=yxedy e,x 0;xf(x,y)dy x0,0,fx(y)=yyyedx ye,y 0;f(x,y)dx xy0,0,2由于 f(x,y) fX(x)fY(y)，故 X 与 Y 不独立。73PX+Y1=12xy1f(x,y)dxdy1xx=dx0eydy12=1e2e1.2.解：D(X)=D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=22,D(Y)=D(X
15、1- X2)= D(X1)+ D(X2)=22,Cov(X,Y)=E(XY)- E(X)E(Y)2=E(X1) E(X22)E(X1 E(X2)E(X1) E(X2)=D(X1)- D(X2)=0,则XYCov(X,Y)D(X)D(Y) 0.3解： 1边缘概率密度为fx(x)=yedy ex,x 0;f(x,y)dy xx0,0,fx(y)=yyyedx ye,y 0;f(x,y)dx xy0,0,2由于 f(x,y) fX(x)fY(y)，故 X 与 Y 不独立。3PX+Y1=12xy1f(x,y)dxdy1xx=dx0eydy12=1e2e1.4.解：D(X)=D(X1+X2)=D(X1)
16、+D(X2)=22,D(Y)=D(X1- X2)= D(X1)+ D(X2)=22,Cov(X,Y)=E(XY)- E(X)E(Y)2=E(X1) E(X22)E(X1 E(X2)E(X1) E(X2)=D(X1)- D(X2)=0,则XYCov(X,Y)D(X)D(Y) 0.六、应用题1.解：缺答案82.解：这是两正态总体均值差的区间估计问题。由题设知，2n1=5,n2=6,x=175.9,y=172,s1 113 .,s2.2=9.1, 005sw2(n11)s1(n21)s22选取 t(9)=2.2622,n1 n22则12置信度为的置信区间为：x y t(n1 n22)sw21111,x y t(n1 n22)swn1n2n1n22=- .9