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1、精品资料欢迎下载数学物理方程期末考试试题及答案一、求解方程 （15 分）. )()(0002xuxuuauatxatxxxtt其中)0()0(。解：设atxatx则方程变为：0u，)()(atxGatxFu(8 )由边值条件可得：)()0()2(),()2()0(xGxFxxGF由)0()0(即得：)0()2()2(),(atxatxtxu。二、利用变量分离法求解方程。（15 分）)(, )(,0,0,),( ,00002xuxutuuQtxuautttlxxxxtt其中lx0。0a为常数解：设)()(tTxXu代于方程得：0 XX，0 2TaT(8 ) xCxCXsincos21，atCat
2、CTsincos21由边值条件得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页精品资料欢迎下载21)(, 0lnClxnatAatBunnnsin)sincos(1lndxlxnxlB0sin)(2，lndxlxnxanA0sin)(2三证明方程02cuuauxxt)0(c具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性 . (15 分) 证明：设uevct代入方程：).(),(),(),0()(02102tgtlvtgtvxvvavtxxt设21,vv都是方程的解设21vvv代入方程得：0),(,), 0(0002tlvt
3、vvvavtxxt由极值原理得0v唯一性得证。(8 )由21vv21vv，稳定性得证由uevct知u的唯一性稳定性得证。四求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15 分). , 0, 0 zuuuuzzyyxx).(0 xfuz解：设),(p是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点),(p格林函数：222)()()(141),(zyxyxG222)()()(141zyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页精品资料欢迎下载2/32220)()(2yxzGnGz方程的解：dxyxyxuR22/3222)()()
4、,(2),(五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20 分) ),()(2tyxfuuauyyxxtt),(0yxut),(0yxutt).,(tyxgu其中,),( ,0yxt为的边界 . 解:设21,uu都是方程的解设21uuu代入方程得：0)(2yyxxttuuau00tu00ttu. 0u设21)(tEdxdyuuauyxt(2222dttdE)(2dxdyuuuuauuytyxtxttt)(22dxdyuuauuyyxxttt)(20(10 ) 0)0()(EtE，Cu，由边值条件得：0u。 (20 ) 六 考察边值问题nixifuxcuxbui1)()(精选学习资料 - - - -
5、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页精品资料欢迎下载.0nu试证)(xc当充分负时 ,其解具有唯一性及在能量模意义下的稳定性.(20 分) 证明：在原方程两边同乘以u然后在上积分：uunixidxfudxuxcuuxbi12)()(由格林公式dxuudsnudxDu2dxDu2由Young不等式dxuunixi1dxunixi212dxun22又dxudxffudx222121故得估计：dxfCdxuunixi2221)(10 ) 设21,uu都是方程的解设21uuu代入方程并由估计式得：0u唯一性得证21uu21ff，稳定性得证。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页