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1、九年级三角函数知识点、例题、中考真题1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。222cba2、如下图，在 RtABC中，C为直角，则 A的锐角三角函数为 ( A可换成B)：定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边AAsincaAsin1sin0A( A为锐角 ) BAcossinBAsincos1cossin22AA余弦斜边的邻边AAcoscbAcos1cos0A( A为锐角 ) 正切的邻边的对边AtanAAbaAtan0tanA( A为锐角 ) BAcottanBAtancotAAcot1tan( 倒数 ) 1cottanAA余切的对边的邻边AAAcotabAcot0cot
2、 A( A为锐角 ) 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。5、0、 30、 45、60、90特殊角的三角函数值( 重要) 三角函数030456090sin02122231 cos12322210tan0 331 3-cot-31 330 6、正弦、余弦的增减性：当 090时， sin随的增大而增大， cos随的增大而减小。 7、正切、余切的增减性：当 090时， tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。)90cot(tanAA)90tan(cotAABAcottanB
3、Atancot)90cos(sinAA)90sin(cosAABAcossinBAsincosA90B90得由BA对边邻边斜边A C B bacA90B90得由BA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。依据：边的关系：222cba；角的关系：A+B=90 ；边角关系：三角函数的定义。( 注意：尽量避免使用中间数据和除法) 9、应用举例：(1)仰
4、角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2) 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度( 坡比 ) 。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1: m的形式，如1:5i等。把坡面与水平面的夹角记作( 叫做坡角 ) ，那么tanhil。10、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD的方向角分别是：45、135、 225。11、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角， 叫做方向角。 如图 4,OA、OB 、OC 、OD的方向角分别是：北偏东 30（东北方向），南偏东 45（东南方向） ，南偏西
5、 60（西南方向） ，北偏西 60（西北方向） 。12、解斜三角形所根据的定理(在 ABC 中) 正弦定理：SinCcSinBbSinAa=2R. (R 是 ABC 外接圆半径 ). 余弦定理：c2=a2+b22abCosC； b2=c2+a22ca CosB； a2=c2+b22cbCosA. 互补的两个角的三角函数的关系：Sin(180A)= sinA ，Cos(180 A)= cosA ，tan(180A)= cotA ，cotA(180A)=tanA. SABC21absinC=21bcsinA=21casinB. :ihlhl名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
6、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 三角函数中考试题分类例题解说河北王树梅锐角三角函数是初中数学的重要组成部分，也是中考热点内容之一，而锐角三角函数的概念及锐角三角函数值的求法又是这一章的基础，学好这部分知识对进一步学习锐角三角函数的应用有着至关重要的意义。2007 年中考这部分试题主要涉及以下几类。一、三角函数的定义例 1： （滨州市）如图 1，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）Asin A的值越大，梯子越陡B
7、cosA的值越大，梯子越陡Ctan A的值越小，梯子越陡D陡缓程度与A的函数值无关分析： 由锐角的正切、 正弦和余弦的定义可知：锐角的正切、 正弦值越大，梯子越陡，余弦值越小，梯子越陡。因此选A。例 2：（孝感市） 在 RtABC中， C=90 ， AB=5 ， BC=4 ， 则 cosA = . 所以 cosA =35分析：本题主要考查三角函数的概念。根据AB=5 ，BC=4 ，可求得AC=3 ，点评：和三角函数定义有关的中考题，多以选择题或填空题的形式出现，解决问题的关键是正确理解三角函数的概念，找准对边、邻边和斜边。二、确定特殊角的三角函数值例 3： （南京市）如果a是等腰直角三角形的一
8、个锐角，则tan的值是（）122212分析：本题可根据特殊角的三角函数值直接求解。由a是等腰直角三角形的一个锐角得a=450，而 tan450=1，故选C。三、利用特殊角的三角函数值计算例 4： （辽宁省十二市）计算：242(2cos 45sin60 )4解：232 62(2)224原式662222点评：熟记特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键。四、求线段的长度例 5： （云南省）已知：如图3，在ABC中， B = 45， C = 60 ， AB = 6 。求 BC的长（结果保留根号） 分析：解决此类问题需要根据题意构造直角三角形，在直角三角形中加以研究。如图4，过点 A作 AD BC于点
9、D。 在RtABD中， B =45，则 AD = BD 。不妨设AD = x，又 AB = 6，所以有 x 2 x 2 = 62，解得 x =3，即 AD = BD =3。在 RtACD中，由 ACD = 60得 CAD = 30而 tan30 =CDAD，即3 2CD，解得CD =。因此BC = BD + DC =3+6。下面也是2007 年关于锐角三角函数的中考题，请同学们自图 2 A CB图 1 图 3 图 4 ACBcba图 5 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第
10、 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 己完成。1、 （江西省）如图5，在RtABC中，90C，abc， ，分别是ABC，的对边，若2ba，则tan A2、 （大连市）在ABC 中， C90， AB 10cm，sinA54，则 BC 的长为 _cm。AC=3 米，3cos4BAC，3、 （丽水市）如图6，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离则梯子AB的长度为米。4、 （天津市）45cos45sin的值等于（）A. 2B. 213C. 3D. 1 5、 （连云港市）计算：02122sin 45o6、 （岳阳市）计算：10)21()13(|2-3|sin2457、 （眉山市）计
11、算：2sin450cos300 tan6002)3(8、 （中山市）如图 7，RtABC的斜边 AB 5，cosA53。(1) 用尺规作图作线段AC的垂直平分线l( 保留作图痕迹，不要求写作法、证明 ) ；(2) 若直线 l 与 AB 、AC分别相交于D、 E两点，求DE的长。答案： 1、12。 2、8。 3、4。 4、A。 5、2。 6 、12。7、- 12。8、2。中考真题选编要点一：锐角三角函数的基本概念一、选择题1.（2009 漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan的值是（）A35B43C34D45【解析】 选 C. tan43角的邻边角的对边. 2.（2008 威海中考）
12、在ABC 中， C 90 ，tanA13，则 sinB（）A1010B23C34D3 1010图 6 A B C 图 7 A CB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 【解析】 选 D. 31tanABBCA,设 BC=k, 则 AC=3k, 由勾股定理得,10)3(2222kkkBCACAB3 10sin10ACBAB3.（2009 齐齐哈尔中考）如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，若O的半径为32，2AC，
13、则sin B的值是（）A23B32C34D43【解析】 选 A.连接 CD,由O的半径为32.得 AD=3.sinB=.32sinADACD4.（2009 湖州中考）如图，在RtABC中，ACBRt，1BC，2AB，则下列结论正确的是（）A3sin2AB1tan2AC3cos2BDtan3B【解析】 选 D 在直角三角形ABC 中，1BC，2AB，所以 AC3；所以1sin2A，3cos2A，3tan3A；3sin2B，1cos2B，tan3B；5.（2008 温州中考）如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，已知2CD，3AC，则sin B的值是（）A23B32C34D43【解析】 选
14、 C.由CD是RtABC斜边AB上的中线，得AB=2CD=4. sin B43ABAC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 6.（2007泰安中考）如图，在ABC中，90ACBo，CDAB于D，若2 3AC，3 2AB，则tanBCD的值为（）（A）2（B）22（C）63（D）33答案： B 二、填空题7.（2009 梧州中考）在ABC 中， C 90 ， BC6 cm，53sin A，则 AB 的长是cm【解析】,
15、536sinABABBCA解得 AB=10cm答案： 10 8. （ 2009孝感中考） 如图，角的顶点为 O， 它的一边在x 轴的正半轴上， 另一边 OA 上有一点P （3， 4） ，则sin【解析】 因为 P（3，4） ，所以 OP5，所以4sin5；答案：45；9.（2009 庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm，DEAB，3sin5A，则这个菱形的面积= cm2【解析】.5310sinDEADDEA解得 DE=6cm. 10660LINGSABDEcm2. 答案： 60 三、解答题10.(2009河北中考 ) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB 是河底线，弦C
16、D 是水位线，CDAB，且CD = 24 m ， OECD 于点 E已测得sinDOE =1213A C B D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - （1）求半径 OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【解析】（1） OECD 于点 E，CD=24（ m） ，ED =12CD =12（ m） 在 RtDOE 中， sinDOE =EDOD =1213，OD =13（
17、m） （2）OE=22ODED= 2213125=（m）将水排干需：5 0.5=10（小时）11.（2009綦江中考）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AEBC，DFAE，垂足为F，连接DE（1）求证：ABEDFA；（2）如果10ADAB，=6，求sinEDF的值【解析】（1）在矩形ABCD中，90BCADADBCB，DAFAEBDFAEAEBCQ，90AFDB=AEADABEDFA（2）由（ 1）知ABEDFA6ABDF在直角ADF中，22221068AFADDFD A B C E F A O B E C D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
18、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2EFAEAFADAF在直角DFE中，2222622 10DEDFEF210sin102 10EFEDFDE12.（2008宁夏中考）如图，在ABC中，C=90 ，sinA=54，AB=15，求ABC的周长和tanA的值【解析】 在Rt ABC中, C=90 , AB=15 Asin=ABBC=54, 12BC912152222BCABAC周长为36,BC124tanA.AC9313.（2008肇庆中考）在Rt ABC 中， C = 90 ，a =3
19、，c =5，求 sinA 和 tanA 的值 . 【解析】 在 Rt ABC 中， c=5，a=322acb2235453sincaA43tanbaA14.（2007芜湖中考）如图，在ABC 中， AD 是 BC 上的高，tancosBDAC，(1) 求证： AC=BD ；(2)若12sin13C，BC=12，求 AD 的长【解析】 (1)AD 是 BC 上的高， ADBC ADB =90 ， ADC=90 在 Rt ABD 和 RtADC 中，tanB=ADBD，cosDAC=ADAC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -
20、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 又已知tancosBDACADBD=ADAC AC=BD(2)在 RtADC 中，12sin13C，故可设AD=12k，AC=13k22DCACAD5kADADBD13ktanBcosDACBC13k5k122k,AD8.3要点二、特殊角的三角函数值一、选择题1.（2009 钦州中考） sin30 的值为（）A32B22C12D33答案： C 2. （2009长春中考） 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOCOC ，则点B的坐标为（）A(2 1)，B(12)，C(2
21、11)，D(121)，答案： C 3.(2009定西中考 )某人想沿着梯子爬上高4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60 ，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A8 米B8 3米C8 33米D4 33米答案： C 4.（2008 宿迁中考）已知为锐角，且23)10sin(，则等于（）50607080答案： 5.（2008 毕节中考）A（cos60 ， tan30 ）关于原点对称的点A1的坐标是（）A1323，B3323，C1323，D1322，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -
22、 - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 答案： A 6.（2007 襄樊中考）计算：2cos 45tan60 cos30ooog等于（）（A）1（B）2（C）2（ D）3答案： C 二、填空题7. （2009 荆门中考）104cos30 sin 60( 2)( 20092008)=_【解析】104cos30 sin 60( 2)(20092008)3314()122213()1232答案：238.（2009 百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60o ，则这条钢缆在电线杆上的固定点A
23、 到地面的距离AB 是米 （结果保留根号） 答案：4 39.（2008 江西中考）计算： （1）1sin 60 cos302oog【解析】1sin60cos302oog.412143212323答案：1410.（2007济宁中考）计算sin60tan45cos30的值是。答案： 0 三、解答题11.（ 2009黄石中考）计算：31+(2 1)033tan30 tan45 【解析】 31+(2 1)033tan30 tan45 1111330名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
24、第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 12.（2009崇左中考）计算：0200912sin 603tan 30( 1)3【解析】 原式 =33231 123=013.（2008 义乌中考）计算：33sin602 cos458oo【解析】33sin 602 cos458oo3232222=2.5 要点三、解直角三角形在实际问题中的运用一、选择题1.（2009白银中考）某人想沿着梯子爬上高4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60 ，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A8 米B8 3米C8 33米D4 33米【解析】 选 C. 梯子的长至少为33860s
25、in40（米） . 2.（2009 衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米 )，则该坡道倾斜角的正切值是（）A14B4 C117D417答案： A 3.（2009 益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5 米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（）A. cos5B. cos5C. sin5D. sin5名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 答案
26、： B 4.（2009 兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m如果在坡度为0.75 的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A5m B6m C7m D8m 【解析】 选 A 由坡度为0.75 知，相邻两树间的水平距离为4m，相邻两树间的垂直距离为h，则0.754h，则 h3m，所以坡面距离为5m；5.(2009潍坊中考 )如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在 A 点测得30BAD，在 C 点测得60BCD，又测得50AC米，则小岛B 到公路 l 的距离为（）米A25 B25 3C100 33D2525 3【解析】 选 B
27、 过点 B 作 BEAD 于点 E，在直角三角形BAE 中，0tan30,BEAE则0,tan30BEAE在直角三角形BCE 中，0tan60,BECE则0tan60BECE。所以 AE-CE=AC=50, 即0050,tan30tan60BEBE解得 BE25 3；二、填空题6.（2009 沈阳中考）如图，市政府准备修建一座高AB6m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面 BC 的夹角 ACB 的正弦值为 3 5，则坡面 AC 的长度为m【解析】 因为 sinACB =536ACACAB,所以 AC=10 5 米A B 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
28、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 答案： 10. 7.（2009 衡阳中考）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个坡面的坡度为_. 答案： 1:2 8. （ 2009 南宁中考）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为_海里（结果保留根号） 【解析】 402224045sin0APPCAC, 340334030tan0PCBC
29、40340ACBCAB答案：40 3409 (2009 安徽中考 ) 长为 4m 的梯子搭在墙上与地面成45 角，作业时调整为60 角（如图所示） ，则梯子的顶端沿墙面升高了m【解析】 当梯子与地面夹角为045时，梯子顶端高为04sin 452 2()m；当梯子与地面夹角为060时，梯子顶端高为04sin 602 3()m，所以梯子顶端升高了2(32);m答案：2(32)；10.(2008庆阳中考 )如图， 一架梯子斜靠在墙上， 若梯子底端到墙的距离AC=3米，3cos4BAC， 则梯子长 AB = 米. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
30、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 答案： 4 11.（2007湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15 的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75 ，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道_m （结果保留三个有效数字，参考数据：sin15 26，cos150.97）答案： 1.28 三、解答题12.（2009庆阳中考）如图（1） ，一扇窗户打开后用窗钩AB 可将其固定如图（2）是如图（ 1）中窗子开到一定位置时的平面图，若 AOB=
31、45 ， OAB=30 ，OA=60cm，求点 B 到 OA 边的距离（31.7，结果精确到整数）【解析】 如图，过点B 作 BC OA 于点 C AOB=45 ， CBO=45 ，BC=OC设 BC=OC=x， OAB=30 ， AC=BC tan60 =3 xOC+CA=OA， x+3x=60，x=3160 22 （cm） 即点 B 到 OA 边的距离是22 cm13.（2009郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB 的高度为 1.5 米，测得仰角为30，点 B 到电灯杆底端N 的距离 BN 为 10 米，求路灯的高度MN 是多少米？（取2=1.414
32、，3=1.732，结果保留两位小数）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 【解析】 在直角三角形MPA中，30，10AP=米MP=10 tan300 =1033 5.773 米因为1.5AB=米所以 MN=1.5+5.77=7.27 米答：路灯的高度为7.27 米名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -