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1、学习必备欢迎下载数列通项公式的几种求法注：一道题中往往会同时用到几种方法求解，要学会灵活运用。一、公式法二、累加法三、累乘法四、构造法五、倒数法六、递推公式为nS与na的关系式 ( 或()nnSf a（七） 、对数变换法（当通项公式中含幂指数时适用）（八） 、迭代法（九） 、数学归纳法已知数列的类型一、公式法*11(1)()naanddnad nN1*11()nnnaaa qqnNq已知递推公式二、累加法)(1nfaann（1）f nd（2）fnn（3）2nfn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载例
2、1 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。2nan例2 已 知 数 列na满 足112313nnnaaa， 求 数 列na的 通 项 公 式 。（31.nnan）三、累乘法nnanfa)(1（1）f nd（2）fnn，1nn，2n例 3 已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。（(1)12325!.n nnnan）评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana， 进而求出13211221nnnnaaaaaaaaa，即得数列na的通项公式。例4（20XX 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列
3、na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，求na的通项公式。 （!.2nna）评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)nnanan转化为11(2)nnanna，进而求出132122nnnnaaaaaaa， 从而可得当2nna时，的表达式，最后再求出数列na的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载四、构造法qpaann 1nfpaann 1nnnqapaa12（其中p，q 均为常数）。（1）qpaann 1（构造等比）1nnatpatq1nnqtatp apqttp1qt
4、p例5已知数列na满足134nnaa（2）nfpaann 11.nnnapaq m（2.1）构造等比数列111nnnnnat mpaqmt m111nnnnnq mt mat mp ap11()nnnnqt mmat mp apqtmtpqtpm（当pm时用构造成累加的形式求）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载例6已 知 数 列na满 足112356nnnaaa， 求 数 列na的 通 项 公 式 。（125nnna）评注：本题解题的关键是把递推关系式1235nnnaa转化为1152(5 )nnnn
5、aa，从而可知数列5 nna是等比数列，进而求出数列5 nna的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。（2.2）够造成累加法1.nnnapaq m111nnnnnnaaqmppp111nnnnnnaaqmppp（回归到累加法）例 7 已知数列na满足1132313nnnaaa，求数列na的通项公式。解：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnn
6、nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan因此11(1 3)2(1)21131331 3322 3nnnnnann，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载则21133.322nnnan评注：本题解题的关键是把递推关系式13231nnnaa转化为111213333nnnnnaa，进而求出112232111122321()()()()333333333nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa，即得数列3nna的通项公式，最后再求数列na的通项公式。例 8 已知数列na满足1135241nnnaaa，求
7、数列na的通项公式。（1133522nnna）评注：本题解题的关键是把递推关系式13524nnnaa转化为115223(522)nnnnaa，从而可知数列522nna是等比数列，进而求出数列522nna的通项公式，最后再求数列na的通项公式。例 9 已知数列na满足21123451nnaanna，求数列na的通项公式。（42231018nnann）评注：本题解题的关键是把递推关系式212345nnaann转化为2213(1)10(1)182(31018)nnannann，（设222111211345nnap nq nfap nq nfnn）2111nap nq nf=232452222nppq
8、pqfann32pp，242pqq，52pqff）从而可知数列231018nann是等比数列， 进而求出数列231018nann的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载五、倒数法1nnnkaapaq例 10 已知数列na满足121nnnaaa，例 11 已知数列na满足1221nnnaaa六、递推公式为nS与na的关系式 (或()nnSf a) 解法：这种类型一般利用)2() 1(11nSSnSannn例 10 已知数列na前 n 项和2214nnnaS.（1）求
9、1na与na的关系；（2）求通项公式na. 七、对数变换法（当通项公式中含幂指数时适用）例 10 已知数列na满足512 3nnnaa，17a，求数列na的通项公式。解：因为511237nnnaaa，所以100nnaa，。在512 3nnnaa式两边取常用对数得1lg5lglg3lg 2nnaan设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny11精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载将式代入11 式，得5lglg 3lg 2(1)5(lgnnanx nyaxny，两边消去5 lgna并整理，得(lg3)
10、lg 255x nxyxny，则lg35lg 25xxxyy，故lg34lg3lg2164xy代入11 式，得1lg3lg3lg2lg3lg3lg 2lg(1)5(lg)41644164nnanan12由1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg1lg 71041644164a及12 式，得lg3lg3lg 2lg04164nan，则1lg3lg3lg 2lg(1)41645lg3lg3lg 2lg4164nnanan，所以数列lg3lg3lg 2lg4164nan是以lg3lg3lg 2lg 74164为首项，以5 为公比的等比数列，则1lg3lg3lg2lg3lg3lg 2lg(lg 7)
11、541644164nnan，因此1111111116164444111111161644441111111616444455514lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg(lg 7)54164464(lg 7lg 3lg 3lg 2 )5lg 3lg 3lg 2lg(7332 )5lg(332 )lg(7 332 )5lg(332 )lg(733nnnnnnnnnnnnan1115116454151511642)lg(732)nnnnn则11541515164732nnnnna。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5123nnnaa转化为精选学习资料 - - - - -
12、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg(1)5(lg)41644164nnanan，从而可知数列lg3lg3lg 2lg4164nan是等比数列，进而求出数列lg3lg3lg2lg4164nan的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。八、迭代法例 11 已知数列na满足3(1)2115nnnnaaa，求数列na的通项公式。解：因为3(1)21nnnnaa，所以121323(1) 23212nnnnnnnnnaaa2(2)(1)32(2)(1)3(3)(2) (1)11 2(3) (2)(1
13、)(1)123 (1)223(2) 23 (1)233 (2)(1)2332 3(2) (1)213! 21nnnnnnnnnnnnn nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaa又15a，所以数列na的通项公式为(1)123! 25n nnnna。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)21nnnnaa两边取常用对数得1lg3(1)2lgnnnana，即1lg3(1)2lgnnnana，再由累乘法可推知(1)123! 213211221lglglglglglglg5lglglglgn nnnnnnnnaaaaaaaaaa，从而1(1)3! 225nn nn
14、na。九、数学归纳法例 12 已知数列na满足11228(1)8(21) (23)9nnnaaann， 求数列na的通项公式。解：由1228(1)(21) (23)nnnaann及189a，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载2122322243228(1 1)88224(21 1) (213)9925258(21)248348(221) (223)252549498(31)488480(231) (233)49498181aaaaaa由此可猜测22(21)1(21)nnan，往下用数学归纳法证明这
15、个结论。（1）当1n时，212(2 1 1)18(2 1 1)9a，所以等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk时，1228(1)(21) (23)kkkaakk222222222222222222222(21)18(1)(21)(21) (23)(21)1(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(21)(21) (23)(23)1(23)2(1) 112(1) 1kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk2由此可知，当1nk时等式也成立。根据（ 1） ， （2）可知，等式对任何*
16、nN都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载十、换元法例 13 已知数列na满足111(1 41 24)116nnnaaaa， 求数列na的通项公式。解：令124nnba，则21(1)24nnab故2111(1)24nnab，代入11(14124)16nnnaaa得221111(1)14(1)241624nnnbbb即2214(3)nnbb因为1240nnba，故111240nnba
17、则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，所以3nb是以1131243124 132ba为首项，以21为公比的等比数列，因此121132( )( )22nnnb，则21( )32nnb，即21124()32nna，得2 111( )( )3 423nnna。评注：本题解题的关键是通过将124na的换元为nb，使得所给递推关系式转化11322nnbb形式，从而可知数列3nb为等比数列， 进而求出数列3nb的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载课后习题1:已知数列na满足211a，nnaann211，求na。2:已知数列na满足321a，nnanna11，求na。3:已知31a，nnanna23131)1(n，求na。4:已知数列na中，11a，321nnaa，求na. 5:已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。6:数列na：),0(025312Nnnaaannn，baaa21,，求数列na的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页