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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 常见数列通项公式的求法公式：1、 定义法如数列是等差数列或等比数列, 求通公式项时, 只需求出a 与 d 或a 与 q , 再代入公式ana 1n1d或的b b b ,ana 1qn1中即可 . 例 1、成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13 后成为等比数列b n求数列b n的的通项公式 . nN*都 有练 习 ： 数 列a n是 等 差 数 列 , 数 列nb是 等 比 数 列 , 数 列nc中 对 于 任 何cna nb c 10,c 21,c 32,c47,分别求出此三个数列的通项公式. 6954不同的信念,打
2、算不同的命运名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、 累加法形如a n 1a nfn已知a 1型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1）当 fnd 为常数时,a n为等差数列,就a na 1n1d ；（2）当 fn 为 n 的函数时,用累加法. 方法如下：由an 1anfn得当n2时,a na n1fn1,a n1a n2f n2,La 3a 2f2,22Lf2f1a 2a 1f1,以上n1个等式累加得a na 1fn1 +fnana 1f n1 +fnLf2f1（3）已知a ,an 1anfn,其中 f n 可
3、以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项. 如 f n 可以是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和；如 f n 可以是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和；如 f n 可以是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和；如 f n 可以是关于n的分式函数,累加后可裂项求和求和 . 例 2、数列 a n 中已知 a 1 1, a n 1 a n 2 n 3 , 求 a n 的通项公式 . 不同的信念,打算不同的命运名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习 1：已知数列a n满意a
4、n1an3 n2且a 12,求an.练习 2：已知数列a n中,a 11, an1ann 32n , 求na的通项公式 . 练习 3：已知数列a n满意a 11,an1an2 n1n,求求a n的通项公式 . 23、 累乘法a n1fnf已知1a型的的递推公式均可用累乘法求通项公式. n1个式子：形如an给递推公式an1fn,nN中的 n 依次取 1,2,3 , ,n1, 可得到下面ana2f1 ,a32 ,a4f3 ,L,an1fn1 .a1a2a3an利用公式ana 1fa 2a3a 4La n1,an0,nN可得：a 1a2a 3ana na 1f12f3Lf n1 .不同的信念,打算不
5、同的命运名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3、已知数列a n满意a 12 , 3a n1nn1a n,求an. 练习 1：数列a n中已知a 11,an1nn2, 求a n的通项公式 . a n练习 2: 设a n是首项为 1的正项数列,且n1 a21na2a n1 an0,求a n的通项公式 . nn4、 奇偶分析法1 对于形如a n1a nfn 型的递推公式求通项公式2,其通项分奇数项和偶当a n1a nd d为常数时,就数列为“ 等和数列” ,它是一个周期数列,周期为数项来争论 . 当f n为 n的 函
6、数 时 , 由a n1a nfn,a na n1f n1两 式 相 减 , 得 到a n+1a n1f nfn1,分奇偶项来求通项. 例 4、数列a n满意a 11,an1an4,求a n的通项公式 . 不同的信念,打算不同的命运名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习：数列a n满意a 16,an1a n6,求a n的通项公式 . 例 5、数列a n满意a 10,an1an2 n ,求a n的通项公式 . 练习 1: 数列a n满意a 11,an1ann1,求a n的通项公式 . 练习 2：数列a n满意a 12,
7、an1an3 n1,求a n的通项公式 . 不同的信念,打算不同的命运名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 对于形如a n1a nfn 型的递推公式求通项公式当a n1a nd d为常数时,就数列为“ 等积数列” ,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来争论 . 当 fn 为 n 的函数时,由a n1a nf n ,a na n1fn1两式相除,得到a n+1ffnn1,分奇偶项a n1来求通项 . 例 6、已知数列na满意a 12,an11a n4,求a n的通项公式 . 练习：已知数列na满意a
8、12 , 3ana n2,求na的通项公式 . 例 7、已知数列na满意a 13,a n1a n1n,求a n的通项公式 . 2不同的信念,打算不同的命运名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习 1: 数列a n满意a 12,an1an3n,求a n的通项公式 . 练习 2：数列a n满意a 11,an1a n2n,求a n的通项公式 . 5、 待定系数法（构造法）如给出条件直接求a 较难 , 可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列, 从而依据等差或者等比数列的定义求出通项 . 常见的有 : 1a n1pa n
9、q p q为常数a n1tp a nt, 构造a nt为等比数列 . 12an1pantpn1t p 为常数两边同时除以pn1an1antpn1pntqn1t p q 为常数两边同时除以pn1anpanan1pant,再参考类型31qn1q qn4a n1pa nqnr p q r是常数a n1n1p a nn5an2pan1+qana n2ta n1p a n1ta n,构造等比数列a n1ta n不同的信念,打算不同的命运名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 8、已知数列an中,1a1,an12 an3,求a
10、.练习： 已数列a n中,a 11且a n11a n1, 就an_.2例 9、已知数列a n中,a 1a 13,an1an3 anann 31, 求nan的通项公式 . 练习 1：已知数列a n中,3,212n,就a_练习 2：已知数列a n中,a 12, 3an12n3a n4 3n, 求a n的通项公式 . 例 10、已知数列a n满意a n16 an1,a 11,求an.不同的信念,打算不同的命运名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习 1：设数列 a 满意a1,1an13 an2n,就an_练习 2：已知数列
11、a n中,a 15,an11 3an11n1,求a . 3 an1n2,k1,kR62练习 3：已知数列a nnN的满意：a 13 , k an4n17（1）判定数列a na nn 4是否成等比数列；7（2）求数列的通项公式 . 不同的信念,打算不同的命运名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 11、数列a n中已知a 11,a n12 an3 n , 求a n的通项公式 . 练习 1：数列a n中已知a 12,an13 ann2, 求a n的通项公式 . 练习 2：数列a n中已知a 12,an13 an2 n2n
12、2, 求a n的通项公式 . 不同的信念,打算不同的命运名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 12、已知数列a n中,a 15,a 22,a n2a n1+3 a n2n3,求 求a n的通项公式 . 练习 1：已知数列a n中,a 11,a22,an+22an+1+1a ,求 求a n的通项公式 . 33练习 2：在数列 a n中,a 11,a23,an23an12a ,令b nan1an；5531 求证 : 数列 b n是等比数列,并求b n；2 求数列 an的通项公式；不同的信念,打算不同的命运名师归纳总结
13、 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6、利用a 与S 的关系假如给出条件是a 与S 的关系式 , 可利用a na 1nn12求解 .S nS n1,例 13、已知数列an的前 n 项和为Snn22n3,求a n的通项公式 . 练习 1：已知数列an的前 n 项和为S n1n2n3,求a n的通项公式 . 4练习 2：如数列na的前 n 项和为S n3an3,求a n的通项公式 . 2练习 3：已知数列a n前 n 项和S n4a n212, 求a n的通项公式 . n不同的信念,打算不同的命运名师归纳总结 - - - - -
14、- -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7、 倒数法（1）a n1pa np11qa np=1q,构造1是等差数列qa na npa na npa n2 a n1panta11qannt=t1qqannpap anp例 14、已知数列a n满意a 1=1,an12 an2,求a n的通项公式 . 3 an练习：已知数列a n中,a 13,a n11anan,就an_.2例 15、已知数列a n满意a 1=1,an32an14,求a n的通项公式 . a n1练习：已知数列a n中,a 12 , 3an12 ann,就an_.1a不同的信念,打算不同的命
15、运名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8、a n1r pa np0,a n0两边取对数lga n1lgprlga n,转化为a n1pa nq 型例 16、已知数列a n中,a 1100,an110a2,求ann练习：已知数列a n中,a 12,a n12a3,求ann9、其他例 17、已数列 例 18、在数列an中,a 11,an1ana n1a ,就数列通项an_. an中,a 1, n 2 时,a 、S 、S 1 2成等比数列 . （1）求a2,a 3,a ； （2）求数列an的通项公式 . 不同的信念,打算
16、不同的命运名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 19、已知在等比数列 an 中,a 11,且a 是a 和a31的等差中项 . （1）求数列 an的通项公式；（2）如数列 b n 满意 b 1 2 b 2 3 b 3 L nb n a n n N,求数列 b n 的通项公式例 20、已知等差数列 an 的首项 a1 1,公差 d0,且其次项,第五项,第十四项分别是等比数列 bn 的其次项,第三项,第四项（1）求数列 an与 bn 的通项公式；（2）设数列 cn 对任意正整数n,均有c 1c 2c 3cna n1,求 cn.b 1b 2b 3b n不同的信念,打算不同的命运名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页