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1、12016 年第十四届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第 2 试）一、填空题（每题 5 分,共 60 分） 1 （5 分）2016201420132015+2012201520132016 2 （5 分）60 的不同约数（1 除外）的个数是 3 （5 分）今年丹丹 4 岁,丹丹的爸爸 28 岁,a 年后爸爸年龄是丹丹年龄的 3 倍,则 a 的值是 4 （5 分）已知 a 比 c 大 2,则三位自然数与的差是 5 （5 分）正方形 A 的边长的 10,若正方形 B,C 的边长都是自然数,且 B,C 的面积和等于 A的面积,则 B 和 C 的边长的和是 6 （5 分）已知 9 个数的平均数
2、是 9,如果把其中一个数改为 9 后,这 9 个数的平均数变为 8,那么这个被改动的数原来是 7 （5 分）在下面的格点图中,水平相邻和竖直相邻的两个格点的距离都是 1,则图中阴影部分的面积是 8 （5 分）两个数的和是 363,用较大的数除以较小的数,得商 16 余 6,则这两个数中较大的是 9 （5 分）如图,阴影部分是一个边长为 6 厘米的正方形,在它的四周有四个长方形,若四个长方形的周长的和是 92 厘米,则四个长方形的面积的和是 平方厘米210 （5 分）有一根长 240 厘米的木棒,先从左端开始每隔 7 厘米划一条线,再从右端开始每隔 6 厘米划一条线,并且从划线处截断木棒,则在所
3、截得的小木棒中,长度 3 厘米的木棒有 根11 （5 分）在如图的 9 个方格中,每行、每列及每条对角线上三个数的和都相等,则x+y+a+b+c+d 12 （5 分）甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发,相向而行,4 小时可相遇;若两人时速都增加 3 千米,则出发后 3 小时 30 分可相遇A、B 两地相距 千米二、解答题（每题 15 分,共 60 分） 13 （15 分）如图,用正方形 a、b、c、d、e 拼成一个长 30 厘米,宽 22 厘米的长方形,求正方形 e 的面积14 （15 分）有两块地,平均亩产粮食 675 千克,其中第一块地 5 亩,亩产粮食 705 千克如果第二块地亩产粮
4、食 650 千克,第二块地有多少亩?15 （15 分）4 个连续的自然数,从小到大依次是 11 的倍数、7 的倍数、5 的倍数、3 的倍数,求这 4 个自然数的和最小值16 （15 分）有 6 个密封的盒子,分别装有红球、白球和黑球,每个盒子里只有一种颜色的球,且球的个数分别是 15,16,18,19,20,31,已知黑球的个数是红球个数的 2 倍,白球只有1 盒,问：（1）装有 15 个球的盒子里装的是什么颜色的球?（2）有多少个盒子装的是黑球?32016 年第十四届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第 2 试）参考答案与试题解析一、填空题（每题 5 分,共 60 分） 1 （5 分）
5、2016201420132015+20122015201320161【分析】根据乘法的分配律,提取公因数简算即可【解答】解：2016201420132015+2012201520132016201620142013201620132015+201220152016（20142013）（20132012）20152016112015201620151故答案为：1【点评】本题考查了学生对整数四则混合运题目进行计算的能力完成本题要注意分析式中数据,运用合适的简便方法计算2 （5 分）60 的不同约数（1 除外）的个数是11【分析】先将 60 分解质因数,602235,再写成标准式是 2235,再利用
6、约数个数公式,约数个数不同质因数指数加 1 然后再相乘,最后减去 1,即得答案【解答】60 分解质因数 602235,再下称标准式是 2235,再利用约数个数公式,约数个数不同质因数指数加 1 然后再相乘60 的不同约数（1 除外）的个数是（2+1）（1+1）（1+1）111 个答：答案是 11 个【点评】约数个数公式的推导要用乘法原理,当然此题也可以用列举法求解43 （5 分）今年丹丹 4 岁,丹丹的爸爸 28 岁,a 年后爸爸年龄是丹丹年龄的 3 倍,则 a 的值是8【分析】根据“今年丹丹 4 岁,丹丹的爸爸 28 岁”,知道今年爸爸与丹丹相差 28424岁,再根据年龄差不会随时间的变化而
7、改变,利用差倍公式,用 24 除以倍数差（31）即可求出当爸爸的年龄是丹丹年龄的 3 倍时丹丹的年龄,进而求出答案【解答】解：年龄差：28424（岁）,丹丹的年龄：24（31）24212（岁）,1248（年）,所以,a 的值是 8答：a 年后爸爸年龄是丹丹年龄的 3 倍,则 a 的值是 8故答案为：8【点评】关键是根据年龄差不会随时间的变化而改变,再根据差倍问题差（倍数1）较小数,较小数倍数较大数,（或 较小数+差较大数）与基本的数量关系解决问题4 （5 分）已知 a 比 c 大 2,则三位自然数与的差是198【分析】两个数字对调顺序的字母正好是 a 和 c,而我们知道 ac2b 在中间可以约
8、掉所以最终的差需要用 a 和 c 的差表示出来【解答】解：100a+10b+c（100c+10b+a）100a+10b+c100c10ba99a99c99（ac）ac25992198故答案为：198【点评】针对位值原理必须明白什么是完全拆分和不完全拆分知道两数的差,我们就按照位值原理展开做差即可5 （5 分）正方形 A 的边长的 10,若正方形 B,C 的边长都是自然数,且 B,C 的面积和等于 A的面积,则 B 和 C 的边长的和是14【分析】本题是说明两个正方形 B 和 C 的面积与 A 的面积相等,符合勾股定理,根据勾股定理 a2+b2c2即可求解【解答】解：根据勾股定理 a2+b2c2
9、得,其中一个正方形的边长是 10,根据 6,8,10 是一组勾股数得62+82102满足条件6+814,故答案为：14【点评】本题考查对勾股定理的理解与运用,同时要掌握一些常见的勾股数组合,做题的时候比较快同时加强准确率 （3,4,5） （6,8,10,） （5,12,13）等6 （5 分）已知 9 个数的平均数是 9,如果把其中一个数改为 9 后,这 9 个数的平均数变为 8,那么这个被改动的数原来是18【分析】改动之前的总数是 9981,改动后的总数是 8972,前后相差99899,说明这个数比原来减少了 9,这个被改动的数原来是 9+918;据此解答即可【解答】解：9989817299+
10、9186答：这个被改动的数原来是 18故答案为：18【点评】此题考查了平均数的意义及求平均数的方法的拓展运用;知识点：总数量平均数总份数7 （5 分）在下面的格点图中,水平相邻和竖直相邻的两个格点的距离都是 1,则图中阴影部分的面积是17【分析】红色正方形的面积是 339,每个外部的角的面积都是 2121,8 个一共是 8,然后求整个的面积即可【解答】解：33+21289+817答：图中阴影部分的面积是 17故答案为：17【点评】本题关键是把图中阴影部分进行合理的分割,再根据正方形和三角形的面积公式解答8 （5 分）两个数的和是 363,用较大的数除以较小的数,得商 16 余 6,则这两个数中
11、较大的是3427【分析】根据较大数除以较小数,商 16 余数是 6,所以较大数减去 6 后是较小数的 16 倍,则和 363 减去 6 就是较小数的（16+1）倍,因此,根据除法的意义,较小数可求得,然后进一步可以求出较大数【解答】解：（3636）（16+1）357172136321342答：两个数中较大的一个是 342故答案为：342【点评】此题属于和倍问题的应用题,解答的关键是理解较大数减去 6 后是较小数的 16倍9 （5 分）如图,阴影部分是一个边长为 6 厘米的正方形,在它的四周有四个长方形,若四个长方形的周长的和是 92 厘米,则四个长方形的面积的和是132平方厘米【分析】按题意,
12、可以将图中长方形进行剪切拼接,如图可以得出剪切和拼接后得图形,易知,原图的四个长方形边长两个长方形,周长和面积仍不变,再利用题中已知的正方形的边长和四个长方形的周长和,即可求得四个长方形的面积和【解答】解：根据分析,将图中长方形进行剪切拼接,如图所示,四个长方形的周长之和642+2边长 1+2边长 2;边长 1+边长 2（922424）22;8则四个长方形的面积之和为：6边长 1+6边长 2622132（平方厘米） 故答案是：132 平方厘米【点评】本题考查了剪切和拼接,突破点是：利用剪切和拼接,将图化简,最后算的面积之和10 （5 分）有一根长 240 厘米的木棒,先从左端开始每隔 7 厘米
13、划一条线,再从右端开始每隔 6 厘米划一条线,并且从划线处截断木棒,则在所截得的小木棒中,长度 3 厘米的木棒有12根【分析】都看作从左端开始每隔 6、7 厘米划一条线,求出 6 和 7 最小公倍数,即 42 厘米,看每个 42 厘米里面有几个 3 厘米即可【解答】解：240 刚好能被 6 整除,所以“从右端开始每隔 6 厘米划一条线”等价于“从左端开始每隔 6 厘米划一条线”,6 跟 7 的最小公倍数为：6742,所以每 42 厘米一个周期 分析一个周期的截口长度：端点,6 厘米,7 厘米,12 厘米,14 厘米,18 厘米,21 厘米,24厘米,28 厘米,30 厘米,35 厘米,36 厘
14、米,42 厘米21183（厘米）,24213（厘米）,所以一个周期有 2 段 3 厘米的木棒 240425（组）30（厘米）,5 组里面共有 5210（段）,余下的 30 厘米中,还有 2 段 3 厘米的, 故共有 10+212 段 3 厘米的木棒;9答：长度 3 厘米的木棒有 12 根故答案为：12【点评】解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔 7 厘米截断木棒,转化为自左向右截断木棒,便于利用最小公倍数发现周期现象,化难为易11 （5 分）在如图的 9 个方格中,每行、每列及每条对角线上三个数的和都相等,则x+y+a+b+c+d68【分析】首先根据幻方的规律每一条线的数字和相等,根据
15、比较法可知 y 是 7,那么可以设幻和为 22+c 来表示继续进行计算即可解决【解答】解：依题意可知：y4+15127幻和表示为 15+7+c22+c所以 a10,d18xc+3,bc3幻和 3+c+c+c322+c解 c11,则 11+14+8+10+18+768故答案为：68【点评】本题考查对幻方的理解和综合运用,关键是用字母表示幻和,求出字母问题解决12 （5 分）甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发,相向而行,4 小时可相遇;若两人时速都增加 3 千米,则出发后 3 小时 30 分可相遇A、B 两地相距168千米【分析】要想求出两地的距离,需要求出对应的速度,根据速度路程差时间差即可
16、求出速度,再乘对应的时间即可解决问题【解答】解：根据后来行驶的时间是 3.5 小时,在 3.5 小时中,每小时多走的速度和是3+36 千米/时10原来的速度为：63.5（43.5）42 千米/时A、B 两地距离为：424168（千米） 故答案为：168【点评】本题的关键问题是速度公式,突破口就在 3.5 小时和 4 小时的时间差上,同时要注意两人的时速同时增加每小时 3 千米求出的速度是原来的不要乘以 3.5 的时间问题解决二、解答题（每题 15 分,共 60 分） 13 （15 分）如图,用正方形 a、b、c、d、e 拼成一个长 30 厘米,宽 22 厘米的长方形,求正方形 e 的面积【分析
17、】按题意,可以利用各个图形拼接的边长之和,求出 e 的边长,然后再算面积【解答】解：根据分析,正方形 a、b、c 的边长的和30 厘米,正方形 a、b 的边长的和22 厘米,正方形 c 的边长是：30228 厘米;又正方形 c 边长的 2 倍+e 的边长22 厘米;正方形 e 的边长22826 厘米;从而可知正方形 e 的面积是：6636 平方厘米答：正方形 e 的面积是 36 平方厘米【点评】本题考查剪切和拼接,突破点是：利用各个图形拼接的边长之和,求出 e 的边长即可求得 e 的面积14 （15 分）有两块地,平均亩产粮食 675 千克,其中第一块地 5 亩,亩产粮食 705 千克如11果
18、第二块地亩产粮食 650 千克,第二块地有多少亩?【分析】假设两块地的平均亩产量都是 675 千克,则第一块地就比两块地的平均亩产量,每亩产多算了 70567530 千克,5 亩多 305150 千克两块地实际平均亩产量比第二块的平均亩产量多 67565025 千克,所以第二块有 150256 亩,据此解答即可【解答】解：假设两块地的平均亩产量都是 675 千克,（705675）5（675650）150256（亩）答：第二块地有 6 亩【点评】本题考查了复杂的平均数问题,关键是通过假设求出两个产量差15 （15 分）4 个连续的自然数,从小到大依次是 11 的倍数、7 的倍数、5 的倍数、3
19、的倍数,求这 4 个自然数的和最小值【分析】设最小的数位 11k,从小到大依次为 llk+1、llk+2、llk+3;llk+l 为 7 的倍数,k5,12,19,26,33,40;llk+2 为 5 的倍数,k3,8,13,18,23,28,33,38;llk+3 为 3的倍数,k3,6,9,12,15,18,24,27,30,33,可得 k 最小的值为 33,四个数从小到大依次为 363、364、365、366,即可求出四个数的和的最小值【解答】解：设最小的数位 11k,从小到大依次为 llk+1、llk+2、llk+3;llk+l 为 7 的倍数,k5,12,19,26,33,40llk
20、+2 为 5 的倍数,k3,8,13,18,23,28,33,38llk+3 为 3 的倍数,k3,6,9,12,15,18,24,27,30,33显然,k 最小的值为 33,四个数从小到大依次为 363、364、365、366,四个数的和的最小值为 363+364+365+3661458【点评】本题主要考查了整除的性质及约数与倍数的知识,难度适中,根据整除的性质得到 k 最小的值为 33,四个数从小到大依次为 363、364、365、366 是解题的关键1216 （15 分）有 6 个密封的盒子,分别装有红球、白球和黑球,每个盒子里只有一种颜色的球,且球的个数分别是 15,16,18,19,
21、20,31,已知黑球的个数是红球个数的 2 倍,白球只有1 盒,问：（1）装有 15 个球的盒子里装的是什么颜色的球?（2）有多少个盒子装的是黑球?【分析】首先分析黑球的个数是红球个数的 2 倍,那么数字就是 3 的倍数,根据总球数除以 3 的余数即可找到白色球继续推理即可【解答】解：依题意可知：6 个盒子的总数为 15+16+18+19+20+31119,1193392,黑球的个数是红球个数的 2 倍,白球只有 1 盒,所以白球的个数是除以 3 余数是 2所以白球的个数为 20剩余 5 盒的总数为：1192099 个黑球的个数是红球个数的 2 倍,黑球有 66 个,红球有 33 个只有 15+1833 是红球所以装有 15 个球的盒子里装的是红色球6 个盒子中 2 个是红色,1 个是白色其余的 3 个就是黑色答：（1）装有 15 个球的盒子里装的是红色的球（2）有 3 个盒子装的是黑球【点评】本题考查筛选和枚举,关键问题是找到题中的分类和倍数余数之间的关系,问题解决