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1、学习必备欢迎下载平抛运动小结（一）平抛运动的基础知识1. 定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动。2. 特点：（1）平抛运动是一个同时经历水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。（2）平抛运动的轨迹是一条抛物线，其一般表达式为cbxaxy2。（3）平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，加速度ga恒定，所以竖直方向上在相等的时间内相邻的位移的高度之比为5:3:1:321sss竖直方向上在相等的时间内相邻的位移之差是一个恒量2gTssssIIIIIIII。（4）在同一时刻，平抛运动的速度（与水平方向之间的夹角为）方向和位移方向（与水平方向之间的夹角是）是不相同的，其关系式tan2t
2、an（即任意一点的速度延长线必交于此时物体位移的水平分量的中点）。3. 平抛运动的规律描绘平抛运动的物理量有0v、yv、v、x、y、s、t，已知这八个物理量中的任意两个，可以求出其它六个。运动分类加速度速度位移轨迹分运动x方向0 0vtvx0直线y方向ggt221gty直线合运动大小g220)(gtv2220)21()(gttv抛物线与x方向的夹角900tanvgt02tanvgt（二）平抛运动的常见问题及求解思路关于平抛运动的问题，有直接运用平抛运动的特点、规律的问题，有平抛运动与圆周运动组合的问题、有平抛运动与天体运动组合的问题、有平抛运动与电场（包括一些复合场）组合的问题等。本文主要讨论
3、直接运用平抛运动的特点和规律来求解的问题，即有关平抛运动的常见问题。1. 从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的方法，就应该是从竖直方向上的自由落体运动中求出时间，然后，根据水平方向做匀速直线运动，求出速度。例 1 如图 1 所示， 某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在 A 处越过mx5的壕沟， 沟面对面比A处低mh25. 1，摩托车的速度至少要有多大？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载Axh图 1 解析： 在竖直方向上，摩托车越过壕沟经历的时间s
4、sght5 . 01025.122在水平方向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为smsmtxv/10/5.0502. 从分解速度的角度进行解题对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度方向，则我们常常是“从分解速度”的角度来研究问题。例 2 如图 2 甲所示，以 9.8m/s 的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后， 垂直地撞在倾角为30的斜面上。可知物体完成这段飞行的时间是（）A. s33B. 332sC. s3D. s230vxvtvy30甲乙v0图 2 解析： 先将物体的末速度tv分解为水平分速度xv和竖直分速度yv（如图 2 乙所示）。根据平抛运动的分解可知物体水平方向的初速度
5、是始终不变的，所以0vvx； 又因为tv与斜面垂直、yv与水平面垂直， 所以tv与yv间的夹角等于斜面的倾角。再根据平抛运动的分解可知物体在竖直方向做自由落体运动，那么我们根据yvgt就可以求出时间t了。则yxvvtan所以smsmvvvxy/38 .9/318 .930tantan0，根据平抛运动竖直方向是自由落体运动精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载可以写出：gtvy，所以sgvty38 .938. 9，所以答案为C。3. 从分解位移的角度进行解题对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻
6、的位移方向（如物体从已知倾角的斜面上水平抛出，这个倾角也等于位移与水平方向之间的夹角），则我们可以把位移分解成水平方向和竖直方向，然后运用平抛运动的运动规律来进行研究问题（这种方法，暂且叫做“分解位移法”）例 3 在倾角为的斜面上的P 点，以水平速度0v向斜面下方抛出一个物体，落在斜面上的Q 点，证明落在Q 点物体速度20tan41vv。解析： 设物体由抛出点P 运动到斜面上的Q 点的位移是l，所用时间为t，则由“分解位移法”可得，竖直方向上的位移为sinlh；水平方向上的位移为cosls。又根据运动学的规律可得竖直方向上221gth，gtvy水平方向上tvs0则002221tanvvtvgt
7、shy，tan20vvy所以 Q 点的速度20220tan41vvvvy例 4 如图 3 所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度0v同时水平向左与水平向右抛出两个小球 A 和 B，两侧斜坡的倾角分别为37和53，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A 和 B两小球的运动时间之比为多少？ABv0v03753图 3 解析：37和53都是物体落在斜面上后，位移与水平方向的夹角，则运用分解位移的方法可以得到002221tanvgttvgtxy所以有01237tanvgt同理02253tanvgt则16:9:21tt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
8、- -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载4. 从竖直方向是自由落体运动的角度出发求解在研究平抛运动的实验中，由于实验的不规范，有许多同学作出的平抛运动的轨迹，常常不能直接找到运动的起点（这种轨迹，我们暂且叫做“残缺轨迹”），这给求平抛运动的初速度带来了很大的困难。为此，我们可以运用竖直方向是自由落体的规律来进行分析。例 5 某一平抛的部分轨迹如图4 所示，已知axx21，by1，cy2，求0v。x1x2y1y2ABC图 4 解析： A 与 B、B 与 C 的水平距离相等，且平抛运动的水平方向是匀速直线运动，可设 A 到 B、B 到 C 的时间为 T，则Tvxx021，又竖直方向是自由落体
9、运动，则212gTyyy代入已知量，联立可得：gbcTbcgav05. 从平抛运动的轨迹入手求解问题例 6 从高为 H 的 A 点平抛一物体，其水平射程为s2，在 A 点正上方高为2H 的 B 点，向同一方向平抛另一物体，其水平射程为s。两物体轨迹在同一竖直平面内且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的高度。ABOFExy图 5 解析： 本题如果用常规的“分解运动法”比较麻烦，如果我们换一个角度，即从运动轨迹入手进行思考和分析，问题的求解会很容易，如图5 所示，物体从A、B 两点抛出后的运动的轨迹都是顶点在y轴上的抛物线，即可设A、B 两方程分别为cbxaxy2，cxbxay2则把顶点坐标A（0，H
10、）、 B（0，2H）、 E（2s，0）、 F（s，0）分别代入可得方程组HxsHyHxsHy2242222，这个方程组的解的纵坐标Hy76，即为屏的高。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载6. 灵活分解求解平抛运动的最值问题例 7 如图 6 所示，在倾角为的斜面上以速度0v水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大，最大距离为多少？Oxv0y图 6 解析： 将平抛运动分解为沿斜面向下和垂直斜面向上的分运动，虽然分运动比较复杂一些，但易将物体离斜面距离达到最
11、大的物理本质凸显出来。取沿斜面向下为x轴的正方向，垂直斜面向上为y轴的正方向，如图6 所示，在y轴上，小球做初速度为sin0v、加速度为cosg的匀变速直线运动，所以有cos2)sin(202gyvvytgvvycossin0当0yv时，小球在y轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。由式可得小球离开斜面的最大距离cos2)sin(20gvyH当0yv时，小球在y轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运动到离开斜面最大距离的时间。由式可得小球运动的时间为tan0gvt7. 利用平抛运动的推论求解推论 1：任意时刻的两个分速度与合速度构成一个矢量直角三角形。例 8 从空中同一点沿水
12、平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大小分别为1v和2v，初速度方向相反，求经过多长时间两小球速度之间的夹角为90？v1v2v1yv2y图 7 解析： 设两小球抛出后经过时间t，它们速度之间的夹角为90，与竖直方向的夹角分别为和，对两小球分别构建速度矢量直角三角形如图7 所示，由图可得1cotvgt和gtv2tan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载又因为90，所以tancot，由以上各式可得gtvvgt21，解得211vvgt推论 2：任意时刻的两个分位移与合位移构成一个矢量直角三角形推论 3：平抛
13、运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。证明： 设平抛运动的初速度为0v，经时间t后的水平位移为x，如图 10 所示， D 为末速度反向延长线与水平分位移的交点。根据平抛运动规律有水平方向位移tvx0竖直方向gtvy和221gty由图可知，ABC与ADE相似，则yDEvvy0，联立以上各式可得2xDE该式表明平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。OABExyv0vyC图 10 例 10 如图 11 所示，与水平面的夹角为的直角三角形木块固定在地面上，有一质点以初速度0v从三角形木块的顶点上水平抛出，求在运动过程中该质点距斜面的最远距离。Ov0图 11 解析： 当质点做
14、平抛运动的末速度方向平行于斜面时，质点距斜面的距离最远，此时末速度的方向与初速度方向成角。如图 12 所示，图中A 为末速度的反向延长线与水平位移的交点，AB 即为所求的最远距离。根据平抛运动规律有：gtvy，tvx0和tan0vvy由上述推论3 知2xOA，据图 9 中几何关系得sinAOAB由以上各式解得gvAB2sintan20，即质点距斜面的最远距离为gv2sintan20精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载OABv图 12 推论 4：平抛运动的物体经时间t后，其速度tv与水平方向的夹角为，位
15、移s与水平方向的夹角为，则有tan2tan证明： 如图 13，设平抛运动的初速度为0v，经时间t后到达 A 点的水平位移为x、速度为tv，如图所示，根据平抛运动规律和几何关系：在速度三角形中00tanvgtvvy，在位移三角形中00222tanvgttvgtxy由上面两式可得tan2tansv0vyOxyAvt图 13 例 11 一质量为m的小物体从倾角为30的斜面顶点A 水平抛出，落在斜面上B 点，若物体到达B 点时的动能为35J，试求小物体抛出时的初动能为多大？（不计运动过程中的空气阻力）v0ABv0vtvy图 14 解析： 由题意作出图14，根据推论4 可得，30tan2tan2tan，
16、所以332tan由三角知识可得213cos，又因为cos0vvt，所以初动能JEmvEkBkA152192120例 12 如图 15 所示，从倾角为斜面足够长的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为1v， 球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为1， 第二次初速度2v，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为2，若12vv，试比较1和2的大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载AB1v1v2C2图 15 解析： 根据上述关系式结合图中的几何关系可得tan2)tan
17、(所以)tan2arctan(此式表明仅与有关，而与初速度无关，因此21，即以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。推论 5：平抛运动的物体经时间t后，位移s与水平方向的夹角为，则此时的动能与初动能的关系为)tan41 (20kktEE证明： 设质量为m的小球以0v的水平初速度从A 点抛出，经时间t到达 B 点，其速度tv与水平方向的夹角为，根据平抛运动规律可作出位移和速度的合成图，如图16 所示。图 16 由上面推论4 可知tan2tan，从图 16 中看出tan2tan00vvvy小球到达 B 点的速度为20220tan41vvvvyt所以 B 点的动能为)tan41(
18、21212202mvmvEtkB)tan41(20kE例 13 如图 17 所示，从倾角为30的斜面顶端平抛一个物体，阻力不计，物体的初动能为9J。当物体与斜面距离最远时，重力势能减少了多少焦耳？v0vtABv0图 17 解析： 当物体做平抛运动的末速度方向平行于斜面时，物体距斜面的距离最远，此时末速度的方向与初速度方向成30角，如图17 所示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载由tan2tan可得tan21tan所以当物体距斜面的距离最远时的动能为JJEEkkt12)30tan1(9)tan41(2
19、20根据物体在做平抛运动时机械能守恒有JJEEkp3)912(即重力势能减少了3J 【模拟试题】1. 关于曲线运动，下列叙述正确的是（）A. 物体之所以做曲线运动，是由于物体受到垂直于速度方向的力（或者分力）的作用B. 物体只有受到一个方向不断改变的力，才可能做曲线运动C. 物体受到不平行于初速度方向的外力作用时，物体做曲线运动D. 平抛运动是一种匀变速曲线运动2. 关于运动的合成，下列说法中正确的是（）A. 合速度的大小一定比每个分速度的大小都大B. 合运动的时间等于两个分运动经历的时间C. 两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动D. 只要两个分运动是直线运动，合运动一定也是直线运动3
20、. 游泳运动员以恒定的速率垂直河岸横渡，当水速突然增大时，对运动员横渡经历的路程、时间发生的影响是（）A. 路程增加、时间增加B. 路程增加、时间缩短C. 路程增加、时间不变D. 路程、时间均与水速无关4. 从同一高度、同时水平抛出五个质量不同的小球，它们初速度分别为v、v2、v3、v4、v5。在小球落地前的某个时刻，小球在空中的位置关系是（）A. 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面平行B. 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面垂直C. 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面既不平行，也不垂直D. 五个小球的连线为一条曲线5. 如图 1 所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个
21、物体与圆筒一起运动，物体相对桶壁静止。则（）A. 物体受到4 个力的作用B. 物体所受向心力是物体所受的重力提供的C. 物体所受向心力是物体所受的弹力提供的D. 物体所受向心力是物体所受的静摩擦力提供的NMv图 1 图 2 6. 一物体做平抛运动，在两个不同时刻的速度分别为1v和2v，时间间隔为t，那么（）A. 1v和2v的方向一定不同B. 若2v是后一时刻的速度，则21vv精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载C. 由1v到2v的速度变化量v的方向一定竖直向下D. 由1v到2v的速度变化量v的大小为t
22、g7. 一个物体在光滑水平面上以初速度v做曲线运动，已知物体在运动过程中只受到水平恒力的作用， 其运动轨迹如图2 所示， 那么， 物体在由 M 点运动到 N 点的过程中， 速度大小的变化情况是 （）A. 逐渐增大B. 逐渐减小C. 先增大后减小D. 先减小后增大8. 以下关于物体运动的几个论述，其中正确的是（）A. 物体做匀速圆周运动的周期一定与线速度成反比B. 物体做匀速圆周运动的周期一定与角速度成反比C. 不计空气阻力，水平抛出的物体的运动是匀变速运动D. 汽车关闭发动机后，继续滑行时的加速度方向与速度方向相同9. 如图 3 所示，在河岸上用细绳拉船，为了使船匀速靠岸，拉绳的速度必须是（）
23、A. 加速拉B. 减速拉C. 匀速拉D. 先加速后减速Fv.图 3 10. 将甲、乙、丙三个小球同时水平抛出后落在同一水平面上，已知甲和乙抛射点的高度相同，乙和丙抛射速度相同，下列判断中正确的是（）A. 甲和乙一定同时落地B. 乙和丙一定同时落地C. 甲和乙水平射程一定相同D. 乙和丙水平射程一定相同11. 一辆汽车的质量为M，当它通过拱形桥时，可能因为速度过快而飞离桥面，导致汽车失去控制。所以为了车内车外人的安全，我们应该限制汽车的车速。这辆汽车要想安全通过拱形桥，在桥顶处车速不应该超过。（已知拱形桥的曲率半径为R）12. 如图 4 所示，圆弧形轨道AB 是在竖直面内的41圆周，在B 点，轨
24、道的切线是水平的，一物体自 A 点滑下，到达B 点时的速度为2.8m/s，已知轨道半径为0.4m，则在小球刚到达B 点时的加速度大小为m/s2，刚滑过B 点时的加速度大小为m/s2。AOBrAC20402040Bx/cmy/cm图 4 图 5 13. 一根长为l的轻绳悬吊着一个质量为m的物体沿着水平方向以速度v做匀速直线运动， 突然悬点遇到障碍物停下来，小球将做运动。此刻轻绳受到小球的拉力大小为。（2/8.9smg）14. 某同学在做“研究平抛物体运动”的实验中，忘记了记录小球做平抛运动的起点位置O，A为物体运动一段时间后的位置，根据如图5 所示，求出物体做平抛运动的初速度为m/s。（2/10
25、smg）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载15. 如图 6 所示，有一倾角为30光滑斜面，斜面长ml10，一小球从斜面顶端以sm/10的速度在斜面上沿水平方向抛出，求：（1）小球沿斜面滑到底端时水平位移；（2）小球到达斜面底端时的速度大小。（2/10smg）v0s30图 6 16. 如图 7 所示，在竖直面内有一个半径为R 的光滑圆轨道，一个质量为m的小球在圆轨道上做圆周运动且恰能通过最高点C，求：（1）小球在最低点A 的速度大小；（2）小球在最低点A 时对轨道的压力。CRA.图 7 17. 如图
26、 8 所示，在竖直平面内固定着光滑的41圆弧槽，它的末端水平，上端离地面高H，一个小球从上端无初速下滑，问圆弧槽的半径R 为何值时小球的水平射程最大？求此水平射程。sHRv图 8 18. 如图 9 所示，一个光滑圆筒直立于水平桌面上，圆筒的直径为l。一条长也为l的细绳一端固定在圆筒中心轴线上的O 点，另一端拴一质量为m的小球。 当小球以速率v绕中心轴线OO在水平面内做匀速圆周运动时（小球和绳在图中都没有画出），求：（1）当glv61时，绳对小球的拉力；（2）当glv23时，绳对小球的拉力。OO图 9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载【试题答案】1. ACD 2. BC 3. C 4. A 5. C 6. ABCD 7. D 8. BC 9. B 10. A 11. Rg12. 19.6；9.8 13. 圆周；lvmmg214. 2.0 15.（1）ms20（2）sm/1.1416.（1）Rg5（ 2）mg617. 2HR时， S 有最大值；HSmax18.（1）mgFT09.1（ 2）mgFT15.1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页