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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载平抛运动小结(一)平抛运动的基础学问1. 定义:水平抛出的物体只在重力作用下的运动;2. 特点:(1)平抛运动是一个同时经受水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动;(2)平抛运动的轨迹是一条抛物线,其一般表达式为 y ax 2 bx c;(3)平抛运动在竖直方向上是自由落体运动,加速度 a g 恒定,所以竖直方向上在相等的时间内相邻的位移的高度之比为 s 1 : s 2 : s 3 1 : 3 : 5 竖直方向上在相等的时间内相邻的位移之差是2一个恒量 s III s II s II s I gT;(4)在同一
2、时刻,平抛运动的速度(与水平方向之间的夹角为)方向和位移方向(与水平方向之间的夹角是)是不相同的,其关系式tan2tan(即任意一点的速度延长线必交于此时物体位移的水平重量的中点);3. 平抛运动的规律描画平抛运动的物理量有v 、v 、 v 、 x 、 y 、 s 、 t ,已知这八个物理量中的任意两个,可以求出其它六个;运动分类x 方向加速度速度位移22轨迹分运动0 v0xv0t直线合运动y 方向ggty1 gt 22直线gv2gt2大小 v 0t21gt抛物线02与 x 方向90tangttangt的夹角v02 v0(二)平抛运动的常见问题及求解思路 关于平抛运动的问题,有直接运用平抛运动
3、的特点、规律的问题,有平抛运动与圆周运动组合的问题、有平抛运动与天体运动组合的问题、有平抛运动与电场(包括一些复合场)组合的问题等;本文主要争论直接运用平抛运动的特点和规律来求解的问题,即有关平抛运动的常见问题;1. 从同时经受两个运动的角度求平抛运动的水平速度求解一个平抛运动的水平速度的时候,我们第一想到的方法,就应当是从竖直方向上的自由落 体运动中求出时间,然后,依据水平方向做匀速直线运动,求出速度;名师归纳总结 例 1 如图 1 所示, 某人骑摩托车在水平道路上行驶,要在 A 处越过x5 m的壕沟, 沟面对面比A第 1 页,共 12 页处低h.1 25 m,摩托车的速度至少要有多大?-
4、- - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载Axh图 1 解析: 在竖直方向上,摩托车越过壕沟经受的时间t2 h21 . 25s5.0 sg10在水平方向上,摩托车能越过壕沟的速度至少为v 0x5m/s10m/st0 .52. 从分解速度的角度进行解题对于一个做平抛运动的物体来说,假如知道了某一时刻的速度方向,就我们经常是“ 从分解速度” 的角度来争论问题;例 2 如图 2 甲所示,以 9.8m/s 的初速度水平抛出的物体,飞行一段时间后, 垂直地撞在倾角为 30的斜面上;可知物体完成这段飞行的时间是()A. 3sB. 233sC. 3sD. 2 s
5、3v0甲3030vxvyvt乙图 2 解析: 先将物体的末速度tv 分解为水平分速度v 和竖直分速度v (如图 2 乙所示);依据平与抛运动的分解可知物体水平方向的初速度是始终不变的,所以vxv0;又由于tv 与斜面垂直、vy水平面垂直, 所以tv 与v 间的夹角等于斜面的倾角;再依据平抛运动的分解可知物体在竖直方向做自由落体运动,那么我们依据vygt 就可以求出时间t 了;就tanvxvy所以vyvxv098.m/s98.3 m/s,依据平抛运动竖直方向是自由落体运动tantan3013名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - -
6、- - 可以写出:v ygt,所以tvy学习必备3 s欢迎下载C;.9 83,所以答案为g9 8.3. 从分解位移的角度进行解题对于一个做平抛运动的物体来说,假如知道了某一时刻的位移方向(如物体从已知倾角的斜面上水平抛出,这个倾角也等于位移与水平方向之间的夹角),就我们可以把位移分解成水平方向和竖直方向,然后运用平抛运动的运动规律来进行争论问题(这种方法,暂且叫做“ 分解位移法” )例 3 在倾角为 的斜面上的 P 点,以水平速度 v 向斜面下方抛出一个物体,落在斜面上的 Q 点,证明落在 Q 点物体速度 v v 0 1 4 tan 2;解析: 设物体由抛出点 P 运动到斜面上的 Q 点的位移
7、是 l ,所用时间为 t ,就由“ 分解位移法”可得,竖直方向上的位移为 h l sin;水平方向上的位移为 s l cos;又依据运动学的规律可得竖直方向上h1 gt 22,v ygt020vtan22水平方向上sv0tvy,v y1 2gt就tanhs2v 0v0t所以 Q 点的速度vv2 0v2 yv14tan例 4 如图 3 所示,在坡度肯定的斜面顶点以大小相同的速度v 同时水平向左与水平向右抛出两个小球 A 和 B,两侧斜坡的倾角分别为37 和 53 ,小球均落在坡面上,如不计空气阻力,就A 和 B两小球的运动时间之比为多少?37v0ABv053图 3 解析: 37 和 53 都是物
8、体落在斜面上后,位移与水平方向的夹角,就运用分解位移的方法可名师归纳总结 以得到tany1 2gt2gt就所以有tan37gt 1第 3 页,共 12 页2 v 0xv0t2v 0同理tan53gt2t1t29:162 v0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4. 从竖直方向是自由落体运动的角度动身求解 在争论平抛运动的试验中,由于试验的不规范,有很多同学作出的平抛运动的轨迹,经常不能 直接找到运动的起点(这种轨迹,我们暂且叫做“ 残缺轨迹” ),这给求平抛运动的初速度带来了 很大的困难;为此,我们可以运用竖直方向是自由落体的规律来进行
9、分析;例 5 某一平抛的部分轨迹如图4 所示,已知x1x 2a,y1b,y2c,求v ;y1Ax1x 2y2BC图 4 解析: A 与 B、B 与 C 的水平距离相等,且平抛运动的水平方向是匀速直线运动,y1可设 A 到 B、B 到 C 的时间为 T,就x 1x2v 0 T,又竖直方向是自由落体运动,就yy2gT2代入已知量,联立可得:Tcgbv0acgb5. 从平抛运动的轨迹入手求解问题例 6 从高为 H 的 A 点平抛一物体,其水平射程为2 ,在 A 点正上方高为2H 的 B 点,向同一方向平抛另一物体,其水平射程为 求屏的高度;s;两物体轨迹在同一竖直平面内且都恰好从同一屏的顶端擦过,B
10、yAOFEx图 5 解析: 此题假如用常规的“ 分解运动法” 比较麻烦,假如我们换一个角度,即从运动轨迹入手进行摸索和分析,问题的求解会很简单,如图 5 所示,物体从顶点在 y 轴上的抛物线,即可设 A、B 两方程分别为y ax 2bx c,y a x 2 b x cA 、B 两点抛出后的运动的轨迹都是名师归纳总结 就把顶点坐标A(0,H)、 B(0,2H)、 E(2s ,0)、 F( s ,0)分别代入可得方程组第 4 页,共 12 页yH2x2H,这个方程组的解的纵坐标y6H,即为屏的高;4 sy2 H2 x2H7s2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -
11、- 学习必备 欢迎下载6. 敏捷分解求解平抛运动的最值问题例 7 如图 6 所示,在倾角为的斜面上以速度v 水平抛出一小球,该斜面足够长,就从抛出开头计时,经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大,最大距离为多少?xv0yO图 6 解析: 将平抛运动分解为沿斜面对下和垂直斜面对上的分运动,虽然分运动比较复杂一些,但易将物体离斜面距离达到最大的物理本质凸显出来;取沿斜面对下为 x 轴的正方向,垂直斜面对上为 y轴的正方向,如图 6 所示,在 y 轴上,小球做初速度为 v 0 sin、加速度为 g cos 的匀变速直线运动,所以有2 2vy v 0 sin 2 gy cos v y v 0 sin
12、 g cos t 当 v y 0 时,小球在 y 轴上运动到最高点,即小球离开斜面的距离达到最大;2由式可得小球离开斜面的最大距离 H y v 0 sin 2 g cos当 v y 0 时,小球在 y 轴上运动到最高点,它所用的时间就是小球从抛出运动到离开斜面最大距离的时间;由式可得小球运动的时间为 t v 0 tang7. 利用平抛运动的推论求解推论 1:任意时刻的两个分速度与合速度构成一个矢量直角三角形;例 8 从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球,它们的初速度大小分别为 v 和2v ,初速度方向相反,求经过多长时间两小球速度之间的夹角为90 ?v2v1v1yv2y图 7 名师归纳总结
13、解析: 设两小球抛出后经过时间t ,它们速度之间的夹角为90 ,与竖直方向的夹角分别为和第 5 页,共 12 页,对两小球分别构建速度矢量直角三角形如图7 所示,由图可得cotgt和tanv2v1gt- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又由于90 ,所以cot学习必备欢迎下载gtv 2,解得t1v 1v2tan,由以上各式可得v 1gtg推论 2:任意时刻的两个分位移与合位移构成一个矢量直角三角形推论 3:平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点;证明: 设平抛运动的初速度为v ,经时间 t 后的水平位移为x ,如图 10 所示, D 为末速
14、度反向延长线与水平分位移的交点;依据平抛运动规律有水平方向位移xv0t1 gt 22v 0DE,联立以上各式可得DEx竖直方向v ygt和y由图可知,ABC 与ADE 相像,就vyy2该式说明平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点;OExAv0C vyBy图 10 例 10 如图 11 所示,与水平面的夹角为的直角三角形木块固定在地面上,有一质点以初速度v0从三角形木块的顶点上水平抛出,求在运动过程中该质点距斜面的最远距离;Ov0图 11 解析: 当质点做平抛运动的末速度方向平行于斜面时,质点距斜面的距离最远,此时末速度的名师归纳总结 方向与初速度方向成角;如图 12 所示,图中
15、A 为末速度的反向延长线与水平位移的交点,AB 即第 6 页,共 12 页为所求的最远距离;依据平抛运动规律有:v ygt,xv 0和 tvytan0v由上述推论3 知OAx,据图 9 中几何关系得ABAOsin2由以上各式解得AB2 v 0tansin,即质点距斜面的最远距离为v2tangsin02 g2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - O学习必备欢迎下载A Bv图 12 推论 4:平抛运动的物体经时间 t 后,其速度 tv 与水平方向的夹角为,位移 s 与水平方向的夹角为,就有 tan 2 tan证明: 如图 13,设平抛运动的初速度为 0v ,经
16、时间 t 后到达 A 点的水平位移为 x 、速度为 tv ,如下列图,依据平抛运动规律和几何关系:在速度三角形中tanv ygt,在位移三角形中tanygt2gtv 0v 0x2 v0t2 v 0由上面两式可得tan2tanO sxA vyv 0yvt图 13 例 11 一质量为m的小物体从倾角为 30 的斜面顶点 A 水平抛出,落在斜面上 B 点,如物体到达B 点时的动能为 35J,试求小物体抛出时的初动能为多大?(不计运动过程中的空气阻力)v0 Av0 Bv t vy图 14 名师归纳总结 解析: 由题意作出图14,依据推论4 可得,tan2tan2tan30,所以tan23v ,第 7
17、页,共 12 页3由三角学问可得cos3,又由于vtv0,所以初动能EkA1mv29EkB15J21cos2021例 12 如图 15 所示,从倾角为斜面足够长的顶点A,先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出,第一次初速度为1v ,球落到斜面上前一瞬时的速度方向与斜面的夹角为1,其次次初速度球落在斜面上前一瞬时的速度方向与斜面间的夹角为2,如v2v 1,试比较1和2的大小;- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载AB 1v1v2C 2图 15 解析: 依据上述关系式结合图中的几何关系可得tan22tan所以arctan2tan,即以不同初
18、速度平抛的物体落在斜1此式说明仅与有关,而与初速度无关,因此面上各点的速度方向是相互平行的;推论 5:平抛运动的物体经时间 t 后,位移 s 与水平方向的夹角为,就此时的动能与初动能的关系为 E kt E k 0 1 4 tan 2 证明: 设质量为 m 的小球以 v 的水平初速度从 A 点抛出,经时间 t 到达 B 点,其速度 tv 与水平方向的夹角为,依据平抛运动规律可作出位移和速度的合成图,如图 16 所示;图 16 由上面推论4 可知tan2tan,从图 16 中看出vyv0tan2 v0tan9J;当小球到达 B 点的速度为vt2 v 0v2v014tan2y所以 B 点的动能为Ek
19、B12 mv t1mv214tan2Ek0 14tan2022例 13 如图 17 所示,从倾角为30 的斜面顶端平抛一个物体,阻力不计,物体的初动能为物体与斜面距离最远时,重力势能削减了多少焦耳?Av0Bv0v t图 17 解析: 当物体做平抛运动的末速度方向平行于斜面时,物体距斜面的距离最远,此时末速度的名师归纳总结 方向与初速度方向成30 角,如图 17 所示第 8 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载4tan2J391tan230J12J由tan2tan可得tan1tanEk0 12所以当物体距斜面的距离最远时的动
20、能为Ekt依据物体在做平抛运动时机械能守恒有EpEk 129J即重力势能削减了3J 【模拟试题】1. 关于曲线运动,以下表达正确选项()A. 物体之所以做曲线运动,是由于物体受到垂直于速度方向的力(或者分力)的作用 B. 物体只有受到一个方向不断转变的力,才可能做曲线运动 C. 物体受到不平行于初速度方向的外力作用时,物体做曲线运动 D. 平抛运动是一种匀变速曲线运动 2. 关于运动的合成,以下说法中正确选项()A. 合速度的大小肯定比每个分速度的大小都大 B. 合运动的时间等于两个分运动经受的时间 C. 两个匀速直线运动的合运动肯定也是匀速直线运动 D. 只要两个分运动是直线运动,合运动肯定
21、也是直线运动 3. 游泳运动员以恒定的速率垂直河岸横渡,当水速突然增大时,对运动员横渡经受的路程、时间发生的影响是()v 、2 、 v 3 、4 、 v 5 ;A. 路程增加、时间增加B. 路程增加、时间缩短C. 路程增加、时间不变D. 路程、时间均与水速无关4. 从同一高度、同时水平抛出五个质量不同的小球,它们初速度分别为在小球落地前的某个时刻,小球在空中的位置关系是()A. 五个小球的连线为一条直线,且连线与水平地面平行 B. 五个小球的连线为一条直线,且连线与水平地面垂直 C. 五个小球的连线为一条直线,且连线与水平地面既不平行,也不垂直 D. 五个小球的连线为一条曲线 5. 如图 1
22、所示,在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体与圆筒一起运动,物体相对桶壁静止;就()A. 物体受到 4 个力的作用 C. 物体所受向心力是物体所受的弹力供应的B. 物体所受向心力是物体所受的重力供应的 D. 物体所受向心力是物体所受的静摩擦力供应的NvM名师归纳总结 图 1 1v 和图 2 t ,那么()第 9 页,共 12 页6. 一物体做平抛运动,在两个不同时刻的速度分别为v ,时间间隔为A. 1v 和v 的方向肯定不同B. 如v 是后一时刻的速度,就v1v2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C. 由1v 到v 的速度变化量学习必备欢迎下载v 的方向
23、肯定竖直向下D. 由v 到v 的速度变化量v 的大小为gt7. 一个物体在光滑水平面上以初速度v 做曲线运动,已知物体在运动过程中只受到水平恒力的作用,其运动轨迹如图 2 所示,那么,物体在由 M 点运动到 N 点的过程中, 速度大小的变化情形是 ()A. 逐步增大 B. 逐步减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大8. 以下关于物体运动的几个论述,其中正确选项()A. 物体做匀速圆周运动的周期肯定与线速度成反比B. 物体做匀速圆周运动的周期肯定与角速度成反比C. 不计空气阻力,水平抛出的物体的运动是匀变速运动D. 汽车关闭发动机后,连续滑行时的加速度方向与速度方向相同9. 如图 3 所示
24、,在河岸上用细绳拉船,为了使船匀速靠岸,拉绳的速度必需是()A. 加速拉B. 减速拉C. 匀速拉D. 先加速后减速F.v图 3 10. 将甲、乙、丙三个小球同时水平抛出后落在同一水平面上,已知甲和乙抛射点的高度相同,乙和丙抛射速度相同,以下判定中正确选项()A. 甲和乙肯定同时落地 B. 乙和丙肯定同时落地C. 甲和乙水平射程肯定相同D. 乙和丙水平射程肯定相同11. 一辆汽车的质量为 M,当它通过拱形桥时,可能由于速度过快而飞离桥面,导致汽车失去控制;所以为了车内车外人的安全,我们应当限制汽车的车速;这辆汽车要想安全通过拱形桥,在桥顶处车速不应当超过;(已知拱形桥的曲率半径为 R)12. 如
25、图 4 所示,圆弧形轨道 AB 是在竖直面内的 1 圆周,在 B 点,轨道的切线是水平的,一物4体自 A 点滑下,到达 B 点时的速度为 2.8m/s,已知轨道半径为 0.4m,就在小球刚到达 B 点时的加速度大小为 m/s2,刚滑过 B 点时的加速度大小为 m/s2;A 20 40x/cmA O 20 Br40 CBy/cm名师归纳总结 图 4 图 5 第 10 页,共 12 页13. 一根长为 l 的轻绳悬吊着一个质量为m 的物体沿着水平方向以速度v 做匀速直线运动, 突然悬点遇到障碍物停下来,小球将做运动;此刻轻绳受到小球的拉力大小为;(g9 .8 m/s2)14. 某同学在做“ 争论平
26、抛物体运动” 的试验中,遗忘了记录小球做平抛运动的起点位置O,A为物体运动一段时间后的位置,依据如图5 所示,求出物体做平抛运动的初速度为m/s;(g10m/2 s)- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 15. 如图 6 所示,有一倾角为学习必备欢迎下载10 m,一小球从斜面顶端以10 m/s的速30 光滑斜面,斜面长l度在斜面上沿水平方向抛出,求:(1)小球沿斜面滑究竟端时水平位移;(2)小球到达斜面底端时的速度大小;(g10m/s2)v030s图 6 16. 如图 7 所示,在竖直面内有一个半径为 R 的光滑圆轨道,一个质量为 m 的小球在圆轨道上做圆
27、周运动且恰能通过最高点 C,求:(1)小球在最低点 A 的速度大小;(2)小球在最低点 A 时对轨道的压力;CRA.图 7 17. 如图 8 所示,在竖直平面内固定着光滑的1 圆弧槽,它的末端水平,上端离地面高 4H,一个小球从上端无初速下滑,问圆弧槽的半径R 为何值时小球的水平射程最大?求此水平射程;RH vs图 8 18. 如图 9 所示,一个光滑圆筒直立于水平桌面上,圆筒的直径为 l ;一条长也为 l 的细绳一端固定在圆筒中心轴线上的 O 点,另一端拴一质量为 m 的小球; 当小球以速率 v 绕中心轴线 O O 在水平面内做匀速圆周运动时(小球和绳在图中都没有画出),求:(1)当v1gl
28、时,绳对小球的拉力;(2)当v3gl时,绳对小球的拉力;62OO图 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【试题答案】名师归纳总结 1. ACD 2. BC 3. C 4. A 5. C 6. ABCD 27. D 8. BC 9. B 10. A 第 12 页,共 12 页11. Rg12. 19.6;9.8 13. 圆周;mgmv14. 2.0 l15.(1)s20 m(2)14 . 1 m/s15mg16.(1)5 Rg( 2)6mg17. RH时, S 有最大值;SmaxH218.(1)FT1 .09mg( 2)FT1.- - - - - - -