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1、学习必备欢迎下载竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型. 一、两种模型模型 1： “轻绳类”绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力( 圆圈轨道问题可归结为轻绳类)， 即只能沿某一个方向给物体力的作用，如图1、图 2 所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：(1) 临界条件：在最高点，绳子( 或圆圈轨道 ) 对小球没有力的作用，vgR0(2) 小球能通过最高点的条件：vgR，当vgR时绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力 . (3) 小球不能过最高点的条件：vgR，实际上
2、球还没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动 . 模型 2： “轻杆类”有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3 所示， ( 小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”， 如图 4 所示， ) ：(1) 临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度0v0(2) 小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：当0v时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N ，其大小等于小球的重力，即Nmg ；当0vgR时，因2vmgNmR, 则2vNmgmR. 轻杆对小球的支持力N 竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是0mgN当vgR时，0N；当vgR时，则2vmgNmR
3、，即2vNmmgR，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零. 小结如果小球带电， 且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度vgR( 应根据具体情况具体分析) 另外， 若在月球上做圆周运动则可将上述的g 换成g月，若在其他天体上则把g 换成g天体. 二、两种模型的应用【例 1】如图 5 所示，质量为m的小球从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度 h至少应为多少? 图 1 图 2 图
4、3 图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是vRg临界，根据机械能守恒定律得2122mghmgRmv临界把vRg临界代入上式得：min52hR【例 2】如图 6 所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电 q 、质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑， 若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动， 问A点的高度 h 至少应为多少 ? 【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道
5、的最高点B受到三个力作用: 电场力FqE ， 方 向 竖 直 向 上 ； 重 力 mg ； 弹 力 N ， 方 向 竖 直 向 下 由 向 心 力 公 式 ， 有2BvmgNqEmR要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B而做圆周运动， 说明小球此时处于临界状态，其速率Bv 为临界速度，临界条件是0N由此可列出小球的临界状态方程为2BvmgqEmR根据动能定理，有21() (2)2BmgqEhRmv解之得：min52hR说明把式中的mgqE换成2BvmR，较容易求出min52hR【例 3】如图 6 所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电q 、质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A
6、点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度 h 至少应为多少 ? 【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点B而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率Bv 为临界速度，临界条件是0N由此可列出小球的临界状态方程为：2BvmgqEmR根据动能定理，有21() (2)2BmgqEhRmv由上述二式解得：min52hR小 结上述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么?因 为 电 场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关我们不妨可
7、以这样认为，例 2 中的“等效重力加速度1g ”比例 1 中的重力加速度g 减小，例3 中的“等效重力加速度2g ”比例 1 中的重力加速度 g 增大例 2 中1vRg临界，211122mg hmgRmv临界；图 5 图 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载例 3 中2vRg临界，222122mg hmgRmv临界把v临界代入各自对应的式子，结果1mg 、2mg 分别都约去了，故min52hR【例 4】如图 7 所示，一个带正电q、质量为m的电荷，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径
8、为R的竖直圆形轨道的最高点B( 圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场 ) ，问点A的高度至少应为多少? 【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能” 是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B，说明小球此时处于临界状态，其速率Bv 为临界速率，临界条件是0N，由此可列出小球的临界状态方程为2BBvmgqv BmR2122BmghmgRmv，由式可得 : 224()2BRm gvqBqBmR因Bv 只能取正值，即224()2BRm gvqBqBmR则2222min242()8Rm ghRqBqBRm g【例 5】如图 8 所示，在竖直向下的均匀电场中，一个带正电q 、质量为m的电荷，从光滑的斜
9、面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B( 圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场) ，问点A的 高 度 h 至 少 应 为 多少? 【解析】 此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B，说明小球此时处于临界状态，其速率Bv 为临界速率，临界条件是0N，由此可列出小球的临界状态方程为2BBvmgqv BqEmR21() (2)2BmgqEhRmv由式可得 : 24()()2BRmvqBqBmgqEmR因Bv 只能取正值，即图 7 图 8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
10、 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载24()()2BRmvqBqBmgqEmR则222min42()()8()RmhRqBqBmgqEm mgqER小结小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特点，即都与速度v的方向垂直，它们对小球都不做功，而临界条件是0N【例 6】如图 9 所示，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段为半径0.2mR的半圆， 两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小35.0 10 V/mE. 一不带电的绝缘小球甲，以速度0v 沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量均为21.010kgm，乙所
11、带电荷量52.010Cq， g 取210m/s .( 水平轨道足够长，甲、乙两球 可视为质点， 整个运动过程无电荷转移 ) （1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离；（2）在满足 (1) 的条件下。求的甲的速度0v ；（3）若甲仍以速度0v 向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围 . 【解析】（1）在乙恰能通过轨道最高点的情况下，设乙到达最高点速度为Dv，乙离开D点到达水平轨道的时间为t，乙的落点到B点的距离为x，则2DvmgqEmR212()2mgqERtmDxv t联立得0.4xm（2）设碰撞后甲、乙的速度
12、分别为v甲、 v乙，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有0mvmvmv乙甲2220111222mvmvmv乙甲联立得0vv乙由动能定理，得22D112222mgRqERmvmv乙联立得05()2 5m/smgEq Rvm（3）设甲的质量为M，碰撞后甲、乙的速度分别为Mmvv、，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有0MmMvMvmv图 9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载2220111222MmMvMvmv联立得02mMvvMm11由11和Mm，可得002mvvv12设乙球过D点时速度为Dv，由动能定理得
13、22112222DmmgRqERmvmv13联立1213得2m/s8m/sDv14设乙在水平轨道上的落点距B点的距离x ，有Dxv t15联立1415得：0.4m1.6mx 【例 7】如图 10 所示，杆长为L，一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动210m/sg求：(1) 小球在最高点A的速度Av 为多少时，才能使杆和小球m的作用力为零? (2) 小球在最高点A时，杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度分别是多少? (3) 若0.5kgm，0.5mL，0.4m/sAv，则在最高点A和最低点B，杆对小球m的作用力多大 ? 【解析】 此题属于“
14、轻杆类”若杆和小球m之间无相互作用力，那么小球做圆周运动的向心力仅由重力mg 提供，根据牛顿第二定律，有：2AvmgmL解得AvgL(2) 若小球m在最高点A时，受拉力F，受力如图11 所示，由牛顿第二定律，有: 21vFmgmL解得1FLvgLgLm若小球m在最高点A时， 受推力F， 受力如图 12 所示，由牛顿第二定律， 有: 22vmgFmL解得：2FLvgLgLm可见AvgL是杆对小球m的作用力F在推力和拉力之间突变的临界速度(3) 杆长0.5mL时，临界速度02.2m/svgL，00.4m/sAvv ，杆对小球有推力AF ，有2AAvmgFmL，则4.84NAF由A至B只有重力做功，
15、机械能守恒设B点所处水平面为参考平面, 则2211222ABmvmgLmv, 解得244.5m/sBAvvgL图 10 图 11 图 12 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载在最低点B，小球m受拉力BF ，由2BBvFmgmL解得225.3NBBvFmgmL【例 8】如图 13 所示，光滑的圆管轨道AB部分平直，BC 部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r，有质量为m、半径比r略小的光滑小球以水平初速度度0v 射入圆管. (1) 若要小球能从C 端出来，初速0v 多大 ? (2) 在小球从
16、 C 端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速度0v 各应满足什么条件? 图 13 【解析】本题综合考查了竖直平面内圆周运动临界问题；属于“轻杆类”(1) 小球恰好能到达最高点的条件是0Cv，由机械能守恒， 初速度应满足：20122mvmgR，即04vgR要使小球能从C 端出来，需0Cv，所以入射速度04vgR(2) 在小球从 C 端出来瞬间，对管壁压力有以三种典型情况：刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，即2CvmgmL. 由机械能守恒定律，知22011222CmvmgRmv联立解得 : 05vgR对下管壁有压力，应有2CvmgmL，相应的入射速度0v应满足045gRvgR对上管壁
17、有压力，此时应有2CvmgmL，相应的入射速度0v应满足05vgR小结本题中的小球不能做匀速圆周运动，它的合力除最高点与最低点过圆心外，其他条件下均不过圆心，因而在一般位置处，它具有切向加速度. 【例 9】如图 14 所示，一内壁光滑的环形细圆管位于竖直平面内，环的半径R( 比细管的半径大得多 ) ，在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球AB、，质量分别为ABmm、，沿环形管顺时针运动，当A球运动到最低点时，速度为Av ，B球恰到最高点，若要此时圆管的合力为零，B的速度Bv 为多大？图 14 图 15 图 16 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
18、 - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载【解析】本题综合考察了竖直平面内圆周运动临界问题的分析，属于“轻杆类”在最低点对A球进行受力分析，如图15 所示，应用牛顿第二定律有2AAAAvNm gmR由牛顿第三定律，球A对管有向下的压力AANN，根据题意ABNN, 即球B对对管有向上的压力BN，球B受力情况，如图16 所示，由牛顿第三定律，管对球B有向下的压力BN ,BBNN，对球B应用牛顿第二定律，有：2BBBvNm gmR, 由于ABNN联立可得2(1)AABABBmmvvgRmm三、小球在凸、凹半球上运动如图 17 所示，小球在凸半球上最高点运动时：(1) 当0vgR，小球不会脱离凸半
19、球且能通过凸半球的最高点(2) 当vgR，因轨道对小球不能产生弹力，故此时小球将刚好脱离轨道做平抛运动(3) 当vgR，小球已脱离凸半球最高点做平抛运动如图 18 所示，小球若通过凹半球的最低点时速度只要0v即可由以上分析可知，通过凸( 或凹 ) 半球最高点( 或最低点) 的临界条件是小球速度0vgR( 或0v) 【例 10】 如图 19 所示，汽车质量为41.5 10 kg， 以不变速率通过凸形路面，路面半径为 15m ，若汽车安全行驶，则汽车不脱离最高点的临界速度为多少?若汽车达到临界速度时将做何种运动 ?水平运动位移为多少? 【解析】 (1) 此题属于“轻绳类” ，即轨道只能沿某一方向给
20、物体作用力，临界条件为汽车对轨道压力0N，则汽车不脱离最高点的临界速度为0v ，则有：20vmgmR，可得0vgR；(2) 当0vgR时，汽车在轨道最高点仅受重力作用，且有初速度gR，故做平抛运动，则212Rgt，0 xv t , 可得 :2xR【例11】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离d 后落地，如图20 所示已知握绳的手离地面高度为d ，手与球之间的绳长为34d，重力加速度为g 忽略手的运动半径和空气阻力（1）求绳断时球的速度大小1v 和球落地时的速度大小2v （
21、2）问绳能承受的最大拉力多大？图 17 图 18 图 19 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载（3）改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？【解析】（1）设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有：竖直方向21142dgt水平方向1dv t ，得：12vgd由机械能守恒定律，有：2221113()224mvmvmg dd，得：252vgd（2）设绳能承受的最大拉力为T，这也是球受到绳的最大拉力大小，球做圆周运动的半径为34R
22、d由向心力公式，有21vTmgmR，解得113Tmg（3）设绳长为l ，绳断时球的速度大小为3v ，绳承受的最大拉力不变，有23vTmgml，得383vgl绳断后球做平抛运动，竖直 位移为 dl ，水平位移为x，时间为1t ，有：2112dlgt，3 1xv t得：()43l dlx，当2dl时，x有极大值max2 33xd总结竖直平面内圆周运动两种模型的临界问题，其关键是分清属于“轻绳” 类还是 “轻杆”类， “轻绳”只能对物体产生沿绳收缩方向的拉力，在最高点对物体拉力为零是临界条件，即0F拉；在最高点， “轻杆”对物体既可以产生拉力，也可以产生支持力，还可以对物体的作用力为零，杆与物体之间的作用力为零是临界条件，即0N在处理带电小球在竖直平面内做圆周运动时，一定要区分 “几何最高点” 与“力学最高点”不一定是对应的，上面总结的“轻绳类和“轻杆类”规律必须是“力学最高点”图 20 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页