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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动,高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况,常常考查临界状态,其问题可分为以下两种模型 . 一、两种模型模型 1：“ 轻绳类”图 1 图 2 绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力 圆圈轨道问题可归结为轻绳类,即只能沿某一个方向给物体力的作用,如图 过最高点的情形：1、图 2 所示,没有物体支撑的小球,在竖直平面做圆周运动1 临界条件：在最高点,绳子 或圆圈轨道 对小球没有力的作用,v 0 gR2 小球能通过最高点的条件：v gR ,当 v gR 时绳对球产生拉力,圆圈轨道对球
2、产生向下的压力 . 3 小球不能过最高点的条件：vgR ,实际上球仍没到最高点就脱离了圆圈轨道,而做斜抛运动 . 模型 2：“ 轻杆类”图 3 图 4 有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情形,如图 道内做圆周运动的情形类似“ 轻杆类”, 如图 4 所示, ：3 所示, 小球在圆环轨1 临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用,小球恰能到达最高点的临界速度v002 小球过最高点时,轻杆对小球的弹力情形：当v0时,轻杆对小球有竖直向上的支持力N ,其大小等于小球的重力,即Nmg ；mgN0当 0 v gR 时,因 mg N m 2v, 就 N mg m v. 2R R轻杆对小球的支持力 N
3、 竖直向上,其大小随速度的增大而减小,其取值范畴是当 vgR 时,N0；当 v gR 时,就 mg N m v,即 N m 2vmg,2R R杆对小球有指向圆心的拉力,其大小随速度的增大而增大,留意杆与绳不同,在最高点,杆对球既能产生拉力,也能对球产生支持力,仍可对球的作用力为零 . 小结 假如小球带电, 且空间存在电磁场时,临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力,此时临界速度 v gR 应依据详细情形详细分析 另外, 如在月球上做圆周运动就可将上述的 g 换成 g月 ,如在其他天体上就把 g 换成 g天体 . 二、两种模型的应用名师归纳总结 【例 1】如图 5 所示,质量为m
4、 的小球从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑,如小球恰能通第 1 页,共 8 页过半径为 R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动,问A 点的高度 h 至少应为多少 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【解析】此题属于“ 轻绳类”,其中“ 恰能” 是隐含条件,即小球在最高点的临界速度是v 临界 Rg,依据机械能守恒定律得 mgh mg 2 R 1mv临界 22把 v 临界 Rg 代入上式得：h min 5 R2 图 5 【例 2】如图 6 所示,在竖直向下的匀强电场中,一个带负电 q 、质量为 m 且重力大于所受电场力的小球,从光滑
5、的斜面轨道的 A 点由静止下滑, 如小球恰能通过半径为 R 的竖直圆形轨道的最高点 B 而做圆周运动, 问 A点的高度 h 至少应为多少 . 【解析】此题属于“ 轻杆类” ,带电小球在圆形轨道的最高点 B 受到三个力作用 : 电场力F qE , 方 向 竖 直 向 上 ； 重 力 mg ； 弹 力 N , 方 向 竖 直 向 下 由 向 心 力 公 式 , 有2mg N qE m v BR要使小球恰能通过圆形轨道的最高点 B 而做圆周运动, 说明小球此时处于临界状态,其速率2v 为临界速度,临界条件是 N 0由此可列出小球的临界状态方程为 mg qE m v BR依据动能定理,有 mg qE
6、h 2 1mv B 22解之得：h min 5 R22说明 把式中的 mg qE 换成 m v B,较简单求出 h min 5 RR 2【例 3】如图 6 所示,在竖直向下的匀强电场中,一个带正电 q 、质量为 m 且重力大于所受电场力的小球,从光滑的斜面轨道的 A 点由静止下滑,如小球恰能通过半径为 R 的竖直圆形轨道的最高点 B 而做圆周运动,问 A 点的高度 h 至少应为多少 . 【解析】此题属于“ 轻绳类” ,题中“ 恰能” 是隐含条件,要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点 B 而做圆周运动,说明小球此时处于临界状态,其速率v 为临界速度,临界条件是N0由此可列出小球的临界状态方程为：
7、mgqEm2 v BR依据动能定理,有 mgqE h2 12 mv B2由上述二式解得：h min 5 R 小 结 上2 图 6 述两题条件虽然不同,但结果相同,为什么 . 因 为 电 场力与重力做功具有相同的特点,重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中,电场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关我们不妨可以这样认为,例 2 中的“ 等效重力加速度 g ” 比例 1 中的重力加速度 g 减小,例 3 中的“ 等效重力加速度 g ” 比例 1 中的重力加速度 g 增大名师归纳总结 例 2 中v 临界Rg 1,mghmg 12R1mv临界；第 2 页,共 8 页2- - - - - - -
8、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 3 中 v 临界 Rg 2,mg h mg 2 2 R 1 mv临界25把 v临界 代入各自对应的式子,结果 mg 、mg 分别都约去了,故 h min R 2【例 4】如图 7 所示,一个带正电 q 、质量为 m 的电荷,从光滑的斜面轨道的 A 点由静止下滑,如小球恰能通过半径为 R 的竖直圆形轨道的最高点 B 圆弧左半部分加上垂直纸面对外的匀强磁场 ,问点 A 的高度至少应为多少 . 【解析】此题属于“ 轻绳类” ,题中“ 恰能”是隐含条件,要使小球恰能通过圆形轨道的最高点 B ,说明小球此时处于临界状态,其速率 v
9、为临界速率,临界条件是 N 0,由此可列出小球的临界状态方程为mgqv Bm2 v B2 4 m g竖直向下的匀称电场中,一个带正电Rmghmg2R12 mv ,2由式可得 : v BRqBqB 242 m g2 mR因v 只能取正值,即v BRqBqB 22mR就h min2R82 RqBqB242 m g22 m gR【例 5】如图 8 所示,在q 、质量为m 的电荷,从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑,如小球恰能通过半径为 R 的竖直圆形轨道的最高点B 圆弧左半部分加上垂直纸面对外的匀强磁场 ,问点 A的 高 度 h 至 少 应 为 多少. 图 7 图 8 名师归纳总结 【解析】 此题属
10、于“ 轻绳类” ,题中“ 恰能” 是隐含条件,要使小球恰能通过圆形轨道的最第 3 页,共 8 页高点 B ,说明小球此时处于临界状态,其速率v 为临界速率,临界条件是N0,由此可列出小球的临界状态方程为mgqv BqEm2 v BR mgqE h2 12 mv B2由式可得 : v BRqBqB24mmgqE2 mR因v 只能取正值,即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - vBRqBqB24mmgqE2学习必备欢迎下载2mR就h min2RR2qE qBqB 4 mmg2qE8 m mgR小结 小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特点,即都与速度小球都不
11、做功,而临界条件是N0v 的方向垂直,它们对【例 6】如图 9 所示, ABD 为竖直平面内的光滑绝缘轨道,其中 AB 段是水平的,BD 段为半径 R 0.2m 的半圆, 两段轨道相切于 B 点,整个轨道处在竖直向下的匀强电场中,场强大小 E 5.0 10 V/m 3. 一不带电的绝缘小球甲,以速度 v 沿水平轨道向右运动,与静止在 B 点带正电的小球乙发生弹性碰撞；已知甲、乙两球的质量均为 m 1.0 10 2kg,乙所带电荷量5 2q 2.0 10 C, g 取 10m/s . 水平轨道足够长,甲、乙两球 可视为质点, 整个运动过程无电荷转移 （1）甲乙两球碰撞后,乙恰能通过轨道的最高点
12、D ,求乙在轨道上的首次落点到 B 点的距离；（2）在满意 1 的条件下；求的甲的速度 v ；（3）如甲仍以速度 v 向右运动,增大甲的质量,保持乙的质量不变,求乙在轨道上的首次落点到 B 点的距离范畴 . 图 9 【解析】（1）在乙恰能通过轨道最高点的情形下,设乙到达最高点速度为vD,乙离开 D 点到达水平轨道的时间为t ,乙的落点到B 点的距离为x ,就mgqEm2 v D2 R1mgmqEt2R2xv t D联立得x0.4 m（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为mv0mv 甲mv乙12 mv乙1 2 1 2mv 0 mv 甲2 2联立得 v 乙2v 0v甲 、 v乙 ,依据动量守恒定律和机械
13、能守恒定律有由动能定理,得mg2RqE2R12 mv D1mv乙v M、v m,依据动量守恒定律和机械能守22联立得v 05mgmEq R25m/s（3）设甲的质量为M ,碰撞后甲、乙的速度分别为恒定律有名师归纳总结 Mv0MvMmv m第 4 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1 Mv 0 2 1 Mv M 2 1 mv m 22 2 2联立得 v m 2 Mv 011M m由11 和 Mm,可得 v 0v m2 v 012设乙球过 D 点时速度为 v ,由动能定理得mg 2 R qE 2 R 1 mv D 2 1 m
14、v m 2132 2联立1213得 2m/sv D 8m/s14设乙在水平轨道上的落点距 B 点的距离 x ,有 x v t 15联立14 15 得：0.4m 1.6m【例 7】如图 10 所示,杆长为 L ,一端固定一质量为 m的小球,杆的质量忽视不计,整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动g 10m/s 2求：1 小球在最高点 A 的速度 v 为多少时,才能使杆和小球 m 的作用力为零 . 2 小球在最高点 A 时,杆对小球的作用力 F 为拉力和推力时的临界速度分别是多少 . 3 如 m 0.5kg,L 0.5m,v A 0.4m/s,就在最高点 A 和最低点 B ,杆对小球 m 的作
15、用力多大 . 图 10 图 11 图 12 名师归纳总结 【解析】 此题属于“ 轻杆类” 如杆和小球m之间无相互作用力,那么小球做圆周运动的向第 5 页,共 8 页心力仅由重力mg 供应,依据牛顿其次定律,有：mgmv2 AL解得v AgL2 如小球m 在最高点A 时,受拉力F ,受力如图11 所示,由牛顿其次定律,有: Fmgm2 1vL解得v 1gLFLgLm如小球 m 在最高点 A 时,受推力 F ,受力如图 12 所示,由牛顿其次定律, 有: mgFm2 2vL解得：v 2gLFLgLm可见vAgL 是杆对小球 m 的作用力 F 在推力和拉力之间突变的临界速度3 杆长L0.5m时,临界
16、速度v 0gL2.2m/s,vA0.4m/sv ,杆对小球有推力F ,有mgF Amv2 A,就FA4.84N由 A 至 B 只有重力L做功,机械能守恒设B 点所处水平面为参考平面, 就12 mv Amg2L12 mv , 22解得v Bv24gL4.5m/sA- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2在最低点 B ,小球 m 受拉力 F ,由 F B mg m v BL2解得 F B mg m v B25.3NL【例 8】如图 13 所示,光滑的圆管轨道 AB 部分平直,BC 部分是处于竖直平面内半径为 R的半圆,圆管截面半径 r ,有质
17、量为 m 、半径比 r 略小的光滑小球以水平初速度度 v 射入圆管. 1 如要小球能从C 端出来,初速v 多大 . v 各应满意什么条件. 2 在小球从 C 端出来瞬时,对管壁压力有哪几种典型情形,初速度图 13 【解析】此题综合考查了竖直平面内圆周运动临界问题；属于“ 轻杆类”12 mv 0mg2 R ,1 小球恰好能到达最高点的条件是vC0,由机械能守恒, 初速度应满意：2即v 04gR 要使小球能从C 端出来,需v C0,所以入射速度v 04gR 2 在小球从 C 端出来瞬时,对管壁压力有以三种典型情形：刚好对管壁无压力,此时重力恰好充当向心力,即2v Cmg m . L由机械能守恒定律
18、,知 1mv 0 2mg 2 R 1mv C 22 2联立解得 : v 0 5 gR2对下管壁有压力,应有 mg m Cv,相应的入射速度 v 应满意 4 gR v 0 5 gR L2对上管壁有压力,此时应有 mg m v C,相应的入射速度 0v 应满意 v 0 5 gRL小结 此题中的小球不能做匀速圆周运动,它的合力除最高点与最低点过圆心外,其他条件下均不过圆心,因而在一般位置处,它具有切向加速度 . 【例 9】如图 14 所示,一内壁光滑的环形细圆管位于竖直平面内,环的半径 R 比细管的半径大得多 ,在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球 A、B,质量分别为 m A、m B,沿环形管顺时
19、针运动,当 A 球运动到最低点时,速度为 v , B 球恰到最高点,如要此时圆管的合力为零,B 的速度 v 为多大？图 14 图 15 图 16 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【解析】此题综合考察了竖直平面内圆周运动临界问题的分析,属于“ 轻杆类”在最低点2对 A 球进行受力分析,如图 15 所示,应用牛顿其次定律有 N A m g m A v AR由牛顿第三定律,球 A 对管有向下的压力 N A N ,依据题意 A N A N B , 即球 B 对对管有向上的压力 N B ,球 B 受力情形,
20、如图 16 所示,由牛顿第三定律,管对球 B 有向下的压力2N , N B N ,对球 B 应用牛顿其次定律,有：N B m g m B v , 由于 N A N BR联立可得 v B m Av A 2 m A1 gRm B m B三、小球在凸、凹半球上运动如图 17 所示,小球在凸半球上最高点运动时：1 当 0vgR ,小球不会脱离凸半球且能通过凸半球的最高点2 当 vgR,因轨道对小球不能产生弹力,故此时小球将刚好脱离轨道做平抛运动图 17 图 18 3 当 v gR,小球已脱离凸半球最高点做平抛运动如图 18 所示,小球如通过凹半球的最低点时速度只要 v 0 即可由以上分析可知,通过凸
21、或凹 半球最高点 或最低点 的临界条件是小球速度0 v gR 或 v 0 【例 10】如图 19 所示,汽车质量为 1.5 10 kg ,以不变速率通过凸形路面,4路面半径为 15m ,如汽车安全行驶,就汽车不脱离最高点的临界速度为多少 运动 .水平运动位移为多少 . 图 19 .如汽车达到临界速度时将做何种【解析】 1 此题属于“ 轻绳类”,即轨道只能沿某一方向给物体作用力,临界条件为汽车对2轨道压力 N 0,就汽车不脱离最高点的临界速度为 v ,就有：mg m 0v,可得 0v gR ；R2 当 0v gR 时,汽车在轨道最高点仅受重力作用,且有初速度 gR ,故做平抛运动,就R 1 gt
22、 ,2x v t , 可得 : x 2 R 2【例 11】小明站在水平地面上,手握不行伸长的轻绳一端,绳的另一端系有质量为 m的小球,甩动手腕,使球在竖直平面内做圆周运动当球某次运动到最低点时,绳突然断掉,球飞离水平距离d 后落地,如图20 所示已知握绳的手离地面高度为d ,手与球之间的绳长为3 d ,重力加速度为 g 忽视手的运动半径和空气阻力4（1）求绳断时球的速度大小 1v 和球落地时的速度大小 v （2）问绳能承担的最大拉力多大？名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3）转变绳长,使球重复上述
23、运动；如绳仍在球运动到最低点时断掉,要使球抛出的水平距离最大,绳长应为多少？最大水平距离为多少？图 20 【解析】（1）设绳断后球飞行时间为t ,由平抛运动规律,有：竖直方向1d1gt242水平方向dv t ,得：v 12gd由机械能守恒定律,有：12 mv 22（2）设绳能承担的最大拉力为1 mv 1 2mg d 3 d ,得：v 2 5 gd2 4 2T ,这也是球受到绳的最大拉力大小,球做圆周运动的半径为R3dTmgm2 1v,解得T11mg12 gt ,xv t 3 14由向心力公式,有R3（3）设绳长为l ,绳断时球的速度大小为v ,绳承担的最大拉力不变,有Tmgmv 32,得v 3
24、8gll3绳断后球做平抛运动,竖直 位移为 dl ,水平位移为x ,时间为1t ,有：dl2得：x4l dl,3当ld时, x 有极大值x max2 3d3类仍是 “ 轻杆”2总结竖直平面内圆周运动两种模型的临界问题,其关键是分清属于 “ 轻绳”类,“ 轻绳” 只能对物体产生沿绳收缩方向的拉力,在最高点对物体拉力为零是临界条件,名师归纳总结 即F拉0；在最高点, “ 轻杆” 对物体既可以产生拉力,也可以产生支持力,仍可以对物体第 8 页,共 8 页的作用力为零,杆与物体之间的作用力为零是临界条件,即N0在处理带电小球在竖直平面内做圆周运动时,肯定要区分 “ 几何最高点”与“ 力学最高点”不肯定是对应的,上面总结的“ 轻绳类和“ 轻杆类” 规律必需是“ 力学最高点”- - - - - - -