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1、 20212021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学 一一选择题：本题共选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是是符合题目要求的符合题目要求的. . 1. 设集合24Axx ，2,3,4,5B ，则AB （ ） A. 2 B. 2,3 C. 3,4 D. 2,3,4 2. 已知2 iz ，则iz z （ ） A. 62i B. 42i C. 62i D. 42i 3. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（
2、 ） A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2 4. 下列区间中，函数 7sin6fxx单调递增的区间是（ ） A. 0,2 B. ,2 C. 3,2 D. 3,22 5. 已知1F，2F是椭圆C：22194xy的两个焦点，点M在C上，则12MFMF的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 6. 若tan2，则sin1 sin2sincos（ ） A 65 B. 25 C. 25 D. 65 7. 若过点, a b可以作曲线exy 的两条切线，则（ ） A. eba B. eab C. 0eba D. 0eab 8. 有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，
3、5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1” ，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2” ，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8” ，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7” ，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 二二选择题：本题共选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求. .全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2
4、分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分. . 9. 有一组样本数据1x，2x，nx，由这组数据得到新样本数据1y，2y，ny，其中iiyxc(1,2, ),in c为非零常数，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样数据的样本极差相同 10. 已知O为坐标原点， 点1cos ,sinP，2cos , sinP，3cos,sinP，()1,0A，则（ ） A. 12OPOP B. 12APAP C. 312OA OPOP OP D. 123OA OPOP OP 11. 已知点P在圆225516xy上，点4
5、,0A、0,2B，则（ ） A. 点P到直线AB的距离小于10 B. 点P到直线AB的距离大于2 C. 当PBA最小时，3 2PB D. 当PBA最大时，3 2PB 12. 在正三棱柱111ABCABC中，11ABAA，点P满足1BPBCBB，其中0,1，0,1，则（ ） A. 当1时，1AB P的周长为定值 B. 当1时，三棱锥1PABC的体积为定值 C. 当12时，有且仅有一个点P，使得1APBP D. 当12时，有且仅有一个点P，使得1AB 平面1AB P 三三填空题：本题共填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13. 已知函数 3
6、22xxxaf x是偶函数，则a _. 14. 已知O为坐标原点，抛物线C：22ypx(0p )的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP，若6FQ ，则C的准线方程为_. 15. 函数 212lnf xxx 的最小值为_. 16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时， 发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折， 规格为20dm 12dm的长方形纸，对折 1 次共可以得到10dm 12dm，20dm 6dm两种规格的图形，它们的面积之和 21240dmS ，对折 2 次共可以得到5dm 12dm，10dm 6dm，20dm 3dm三种规格的图形，它们的面积之和22180dm
7、S ，以此类推，则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折n次，那么1nkkS_2dm. 四四解答题：本题共解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. . 17. 已知数列 na满足11a ，11,2,.nnnanaan为奇数为偶数 （1）记2nnba，写出1b，2b，并求数列 nb的通项公式； （2）求 na的前 20 项和. 18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答
8、正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答， 无论回答正确与否， 该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得 20 分， 否则得 0 分：B类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，己知小明能正确回答A类问题的概率为 0.8，能正确回答B类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； （2）为使累计得分期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 19. 记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2bac，点D在边AC上，sinsinBDABCaC. （1）证明：BDb； （2）若
9、2ADDC，求cosABC. 20. 如图，在三棱锥A BCD中，平面ABD 平面BCD，ABAD，O为BD的中点. （1）证明：OACD； （2）若OCD是边长为 1等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA，且二面角EBCD的大小为45，求三棱锥A BCD的体积. 21. 在平面直角坐标系xOy中，已知点117,0F 、21217,02FMFMF，点M的轨迹为C. （1）求C的方程； （2） 设点T在直线12x 上， 过T两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点， 且TA TBTP TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 22. 已知函数 1 lnf xxx. （1） 讨论 fx的单调性； （2） 设a，b为两个不相等的正数， 且lnlnbaabab， 证明：112eab.